Functieonderzoek > Families van functiesUitleg
Bekijk de grafiek van de familie van functies `f_p (x) = px^4-2x^2` .
De grafiek is afhankelijk van de waarde van de parameter `p` . Soms heeft die grafiek meerdere toppen, soms maar één. Maar altijd liggen de toppen van de grafiek van `f_p` op dezelfde kromme. Om van deze kromme een vergelijking op te stellen ga je de toppen van de grafiek bepalen.
De afgeleide van `f_p` is `f'_p(x) = 4px^3 - 4x` .
`f'_p(x) = 0` geeft `x = 0 vv x^2 = 1/p`
Bij `x = 0` hoort `y = 0` en dit levert `(0, 0)` als top op.
Bij
`x^2=1/p`
hoort
`p = 1/(x^2)`
en dus
`y= 1/(x^2) * x^4 - 2x^2 = text(-)x^2`
.
Dit levert voor
`x != 0`
de toppen
`(x, text(-)x^2)`
op.
Deze toppen liggen met
`(0, 0)`
op de kromme met vergelijking
`y = text(-)x^2`
.
Bekijk de
Voor welke waarde van `p` gaat de grafiek van `f_p` door het punt `A(2, 3)` ?
Voor welke waarde van `p` hebben twee toppen van de grafiek van `f_p` de `y` -waarde `text(-)2` ?
Uiteindelijk liggen alle toppen van de grafiek van
`f_p`
op de kromme
`y = text(-)x^2`
.
Laat zelf zien hoe je dit kunt afleiden door alle toppen uit te drukken in
`p`
.
Gegeven is de parabool met functievoorschrift `g_b (x) = 3x^2 + bx - 2` .
De parabool gaat door het punt `A(text(-)2, text(-)3)` . Bereken `b` .
Op welke kromme liggen alle toppen van de parabool? Laat alle tussenstappen zien in jouw afleiding.
Bekijk de grafieken van de functies `f(x) = x^2` en `g(x) = x^3` met domein `[0, 1]` .
De lijn met vergelijking `x = p` snijdt de grafiek van `g` in `A_p` en de grafiek van `f` in `B_p` . Druk de lengte van lijnstuk `A_p B_p` uit in `p` .
Bereken voor welke waarde van `p` de lengte van `A_p B_p` maximaal is.