Functieonderzoek > Totaalbeeld
12345Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1
a

Voor `x!=0` is de functie te schrijven als:
`f(x) = 5/(x+5)`
Er geldt:
`lim_(x rarr oo) 5/(x+5) = lim_(x rarr text(-)oo) 5/(x+5) = 0`
`lim_(x uarr text(-)5) 5/(x+5) = text(-)oo` en `lim_(x darr text(-)5) 5/(x+5) = oo`
De functie heeft dus een horizontale asymptoot `y = 0` en een verticale asymptoot op `x = text(-)5` .
Verder geldt:
`lim_(x uarr 0) 5/(x+5) = lim_(x darr 0) 5/(x+5) = 1`
De functie heeft dus een perforatie op `(0, 1)` .

b

De functie heeft verticale asymptoten wanneer `x^2 - 4 = 0` :
`x = text(-)2 vv x = 2`
Er geldt:
`lim_(x uarr text(-)2) g(x) = lim_(x darr 2) g(x) = text(-)oo`
`g` heeft geen horizontale asymptoot.

c

De functie is ongedefinieerd wanneer `sin^2(x) = 0` , ofwel wanneer `sin(x) = 0` .
Dit geldt voor `x = kpi` .
`lim_(x uarr kpi) h(x) = lim_(x darr kpi) h(x) = oo`
De gevonden waarden zijn dus verticale asymptoten.

d

Er geldt:
`lim_(x rarr oo) (1/(x+4) - 1/(x+5)) = lim_(x rarr text(-)oo) (1/(x+4) - 1/(x+5)) = 0`
`lim_(x uarr text(-)5) (1/(x+4) - 1/(x+5)) = lim_(x darr text(-)4) (1/(x+4) - 1/(x+5)) = oo`
`lim_(x darr text(-)5) (1/(x+4) - 1/(x+5)) = lim_(x uarr text(-)4) (1/(x+4) - 1/(x+5)) = text(-)oo`
De functie `k` heeft dus een horizontale asymptoot `y = 0` en twee verticale asymptoten `x = text(-)4` en `x = text(-)5` .

Opgave 2
a

Bekijk de grafiek op je GR. De functie lijkt lijnsymmetrisch ten opzichte van `x = 1` .

`f(1-p) = text(e)^(text(-)(1-1+p)^2) = text(e)^(text(-)p^2)`

`f(1+p) = text(e)^(text(-)(1-1-p)^2) = text(e)^(text(-)p^2)`

`f(1-p) = f(1+p)` voor willekeurige `p` , dus `f` is lijnsymmetrisch in `x = 1` .

b

Het functievoorschrift kan herleid worden: `(ln(x^2-2x+2))/(x-1) + 2 = (ln((x-1)^2+1))/(x-1) + 2` .
De functie lijkt puntsymmetrisch ten opzichte van `(1, 2)` .

`g(1-p) = ln((1-p-1)^2+1)/(1-p-1)+2 = text(-)ln(p^2+1)/p+2`

`g(1+p) = ln((1+p-1)^2+1)/(1+p-1)+2 = ln(p^2+1)/p+2`

Dus `(g(1-p)+g(1+p))/2 = 4/2 = 2` voor willekeurige `p` , dus `g` is puntsymmetrisch in `(1, 2)` .

c

De functie heeft verticale asymptoten wanneer `cos(x) = 0` , en lijkt lijnsymmetrisch ten opzichte van bijvoorbeeld `x = pi/2` .

`h(pi/2 - p) = (sin(pi/2 - p) + 1)/(cos^2(pi/2 - p)) = (sin(pi/2 + p) + 1)/(cos^2(pi/2 + p))`

`h(pi/2 + p) = (sin(pi/2 + p) + 1)/(cos^2(pi/2 + p))`

`h(pi/2 - p) = h(pi/2 + p)` voor willekeurige `p` , dus `h` is lijnsymmetrisch in `x = pi/2` .

Opgave 3

`l: y = (1 - text(e))x + 2text(e)`

Opgave 4
a

Herleid: `f(x) = ((x-3)(x+1))/(x-2) = (x^2-2x-3)/(x-2) = x - 3/(x-2)` .

`lim_(x rarr text(-)oo) f(x) - x = lim_(x rarr oo)f(x) - x = 0`
De functie heeft dus een scheve asymptoot met vergelijking `y = x` .

b

`f` heeft een verticale asymptoot op `x = 2` . Als `f` puntsymmetrisch is, ligt het symmetriepunt op het snijpunt van de twee asymptoten, ofwel `(2, 2)` .

`f(2-p) = 2 - p - 3/(2-p-2) = 2 - p + 3/p`

`f(2+p) = 2 + p - 3/(2+p-2) = 2 + p - 3/p`

Dus `(f(2-p) + f(2+p))/2 = (2-p+3/p+2+p-3/p)/2 = 2` en voor willekeurige `p` is `(2, 2)` een symmetriepunt van `f` .

c

Noem het snijpunt van functie `f` en functie `g` punt `P` met `x_P=p` . Dan geldt:
`f(p) = g_k(p)` en `f'(p) = text(-)1/(g_k'(p))`

Dit oplossen geeft `k~~text(-)0,53 vv k~~3,13` .

Opgave 5

Je gaat puntsymmetrie aantonen rondom `(1, 1)` .
Voor `0 le a lt 2/3` is te bewijzen: `(h_2(1-a) + h_2(1+a))/2 = 1` .
Voor `2/3 le a le 1` is te bewijzen: `(h_1(1-a) + h_3(1+a))/2 = 1` .
Er geldt:

`h_2(1-a) = 1 + 2sin(pi/5 (1-a) - pi/5) = 1 - 2sin(pi/5 a)`

`h_2(1+a) = 1 + 2sin(pi/5 (1+a) - pi/5) = 1 + 2sin(pi/5 a)`

Dus voor `0 le a lt 2/3` klopt de te bewijzen vergelijking.

`h_1(1-a) = 1 + 2sin((3pi)/10 (1-a)^2 - pi/6) = 1 - 2sin(text(-)(3pi)/10 a^2 + (3pi)/5 a - (2pi)/15)`

`h_3(1+a) = 1 + 2sin(text(-)(3pi)/10 (1+a)^2 + (6pi)/5 (1+a) - (31pi)/30) = 1 + 2sin(text(-)(3pi)/10 a^2 + (3pi)/5 a - (2pi)/15)`

Dus voor `2/3 le a le 1` klopt de te bewijzen vergelijking ook.

(naar: examen vwo wiskunde B in 2014, tweede tijdvak)

Opgave 6Ondergedompelde bol
Ondergedompelde bol
a

`I = 1/3 pi*7^2(3*5 - 7) = 130 2/3 pi` cm3.

b

Voer in op de GR: `y_1 = 1/3 pi x^2(15 - x)` en `y_2 = 400` .
Venster bijvoorbeeld `[0, 10]xx[0, 500]` .
Je vindt: `h ~~ 6,84` cm.

c

`I = 1/3 pi (2r)^2(3r - 2r) = 4/3 pi r^3`

d

Er moet gelden `I = 1/32 * 4/3 pi r^3` .

Noem `h = a*r` , waarbij `0 le a le 2` en `r gt 0` .

Dit geeft `1/3 pi(ar)^2(3r - ar) = 1/24 pi r^3` en `a^2 - 1/3 a^3 = 1/24` .

Voer in op de GR: `y_1 = x^2 - 1/3 x^3` en `y_2 = 1/24` .
Venster bijvoorbeeld `[0, 1/12]xx[0, 2]` .
Je vindt: `x~~0,21` .

De hoogte van het waterpeil ten opzichte van de onderkant van de bal is `h~~0,21r` .

Opgave 7Prullenbak
Prullenbak
a

De hoogte van een trapeziumvormig zijvlak is `sqrt(h^2 + (1/6 a)^2) = sqrt(h^2 + 1/36 a^2)` .
De oppervlakte van een trapezium is dus: `1/2*a*sqrt(h^2 + 1/36 a^2) + 1/2*b*sqrt(h^2 + 1/36 a^2)`

Dit herleid je tot `1 1/6 a sqrt(h^2 + 1/36 a^2)`

De oppervlakte van de prullenbak is dus: `A = 4 * 1 1/6 a sqrt(h^2 + 1/36a^2) + a^2 = 4 2/3 a sqrt(h^2 + 1/36 a^2) + a^2` .

b

Gegeven is dat de inhoud gelijk is aan `30` L `=30000` cm3: `I = 30000` .

Tevens geldt `b = 1 1/3 a` . Invullen in de formule voor `I` geeft:

`30000 = 1/6 h(a^2 + 49/9 a^2 + 16/9 a^2)` en `30000 = 37/27 h a^2` , zodat `h = 810000/(37a^2)` .

Invullen in de formule voor `A` geeft: `A = 4 2/3 a sqrt((810000/(37a^2))^2 + 1/36 a^2) + a^2` .

c

GR: `a~~34,2` cm.

Opgave 8Massa-veer-systeem
Massa-veer-systeem
a

snelheid: `v(t) = text(-)lambda u text(e)^(text(-)lambda t)cos(omega t) - omega u text(e)^(text(-)lambda t)sin(omega t)`

versnelling: `a(t) = (lambda^2 - omega^2)u text(e)^(text(-)lambda t)cos(omega t) + 2lambda omega u text(e)^(text(-)lambda t)sin(omega t)`

b
c

`v(0) = text(-)3/16`
`a(0) = text(-)2 23/64`

d

Je ziet dat de afwijking van het evenwichtspunt vrijwel zonder te trillen naar nul gaat. De dempingscoëfficiënt is in dermate groot dat de trilling meteen wordt afgeremd.

Opgave 9Getransformeerde grafiek
Getransformeerde grafiek
a

Er geldt `f(p) = ln(p^2 + 1)` en `g(p) = ln(text(e)^2/(p^2 + 1))` .

`AP = f(p)-1 = ln(p^2 + 1) - 1 = ln(p^2 + 1) - ln(text(e)) = ln((p^2 + 1)/(text(e)))`

`BP = 1 - g(p) = 1 - ln(text(e)^2/(p^2 + 1)) = ln(text(e)) + ln((p^2 + 1)/(text(e)^2)) = ln((p^2 + 1)/(text(e)))`

Dus `AP = BP` .

b

De inhoud van het omwentelingslichaam is gelijk aan tweemaal de inhoud van het omwentelingslichaam tussen de grafiek van `f` , de `y` -as, en de lijn `y=1` , omdat de grafieken van `f` en `g` gespiegeld zijn in die lijn:

`int_(f(0))^1 pi*(f^text(inv)(y))^2 text(d)y + int_1^(g(0)) pi*(g^text(inv)(y))^2 text(d)y = 2*int_(f(0))^1 pi*(f^text(inv)(y))^2 text(d)y`

Er geldt `f(0) = 0` . De inverse van `f` bepaal je door `x = f(y)` te herleiden voor `y` : `x = ln(y^2 + 1)` geeft `text(e)^x = y^2 + 1` en `y = sqrt(text(e)^x - 1)` .

Dus `f^(text(inv)) (y) = sqrt(text(e)^y - 1)` . De inhoud van het omwentelingslichaam is dus: `2*int_0^1 pi*(sqrt(text(e)^y - 1))^2 text(d)y = 2pi*int_0^1 (text(e)^y - 1) text(d)y = 2pi*[text(e)^y - y]_0^1 = 2pi*(text(e) - 2)` .

c

Bij de verschoven grafiek hoort het functievoorschrift `h(x) = f(x - 2) = ln((x-2)^2 + 1)`

Snijpunt bepalen: `ln(x^2 + 1) = ln((x-2)^2 + 1)` geeft `x^2 = (x-2)^2` en `x = 1` , dus het snijpunt is `(1, ln(2))` .

`f'(x) = (2x)/(x^2 + 1)` geeft `f'(1) = 1` .

`h'(x) = (2(x - 2))/((x - 2)^2 + 1)` geeft `h'(1) = text(-)1` .

Nu geldt `f'(1) * h'(1) = 1 * text(-)1 = text(-)1` en dus staan beide grafieken loodrecht op elkaar in het snijpunt.

(bron: examen vwo wiskunde B in 2016, tweede tijdvak)

Opgave 10Het menselijk oog
Het menselijk oog
a

`S = 58` geeft `a~~ 0,409`
`S = 63` geeft `a ~~ 0,134`
`0,13 ≤ a ≤ 0,41`

b

`a = 0,15` geeft `S ~~ 65` .
Voor grote waarden van `a` nadert `S` tot `58,82` .
Dus `59 ≤ S ≤ 65` .

(bron: examen vwo wiskunde B1 in 2004, eerste tijdvak)

Opgave 11Een eivorm
Een eivorm
a

De lengte van het ei is het verschil tussen de snijpunten van de grafiek van `f` met de `x` -as. Los dus op `f(x) = 0` :

`87x - 3x^2 - 2x^3 = x(87 - 3x - 2x^2) = 0` geeft `x = 0 vv x = (3+-sqrt((text(-)3)^2-4*text(-)2*87))/(text(-)4)`

De lengte van het ei is afgerond `5,89` cm.

b

`int_0^(5,9) pi(f(x))^2 text(d)x = ` `int_0^(5,9) pi*1/36(87x - 3x^2 - 2x^3) text(d)x = pi/36*[87/2x^2 - x^3 - 1/2 x^4]_0^(5,9) ~~ 61` cm3.

c

`f(4,3)~~2,11`
Dat wil zeggen dat de straal van een ronde opening ongeveer `2,11` cm is. Je zoekt de andere waarde van `x` waarvoor geldt `f(x) = 2,11` .
Voer in op de GR:
`y_1 = 1/6 sqrt(87x - 3x^2 - 2x^3)` en `y_2 = 2,11`
De optie intersect geeft `x~~2,3` .
Het ei is ongeveer `5,9` cm hoog, dus hij steekt ongeveer `5,9-2,3 = 3,6` cm boven het rekje uit.

(bron: examen vwo wiskunde B in 2013, eerste tijdvak)

Opgave 12Sinusoïde met perforaties
Sinusoïde met perforaties

Herleid het functievoorschrift: `f(x) = (1 + cos(2x))/cos(x) + 1 = (1 + 2cos^2(x) - 1)/cos(x) + 1 = 2cos(x) + 1` mits `cos(x) != 0` .

De perforaties zitten op de `x` -waarden waarvoor `2 cos(x) + 1 = 0` .
Dit geeft `(1/2pi, 1)` en `(1 1/2pi, 1)` . Controleer de bijbehorende limieten.

(bron: pilotexamen vwo wiskunde B in 2016, tweede tijdvak)

verder | terug