Functieonderzoek >

Examenopgaven

Opgave 9Getransformeerde grafiek
Getransformeerde grafiek
figuur I

De functies `f` en `g` worden gegeven door:
`f(x) = ln(x^2 + 1)` en `g(x) = ln(text(e)^2/(x^2 + 1))`
De grafieken van `f` en `g` staan in de figuur. Ze snijden elkaar in punten `S` en `T` .

Lijn `l` met vergelijking `x = p` snijdt de grafiek van `f` in punt `A` en de grafiek van `g` in punt `B` . Het punt op lijn `l` met `y` -coördinaat `1` noemen we `P` . In figuur I is de situatie weergegeven waarbij `l` rechts van `T` ligt.

a

Bewijs dat in deze situatie `AP = BP` .

figuur II

Ook voor waarden van `p` waarvoor `l` niet rechts van `T` ligt, geldt dat `AP = BP` . Hieruit volgt dat de grafieken van `f` en `g` elkaars gespiegelde zijn in de lijn met vergelijking `y = 1` . Deze lijn is getekend in figuur II.

In figuur II is het gebied rechts van de `y` -as dat wordt ingesloten door de grafieken van `f` en `g` en de `y` -as, grijsgemaakt. Dit gebied wordt gewenteld om de `y` -as.

b

Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam.

De grafiek van `f` wordt `2` naar rechts verschoven.

c

Bewijs dat de grafiek van `f` en de verschoven grafiek elkaar loodrecht snijden.

(bron: examen vwo wiskunde B in 2016, tweede tijdvak)

Opgave 10Het menselijk oog
Het menselijk oog

Om een voorwerp op verschillende afstanden scherp te kunnen zien heeft de mens de mogelijkheid om te accommoderen, dat wil zeggen de sterkte van zijn ogen aan te passen, zodat er een scherp beeld op zijn netvlies komt. Om een voorwerp op een afstand `a` van het oog scherp te kunnen zien is een bepaalde sterkte `S` van het oog nodig. Voor deze sterkte `S` gebruiken we het volgende model:
`S = (a + b)/(a*b)`
Hierbij is:

  • `a` de afstand in meters tussen het voorwerp en de ooglens;

  • `b` de afstand in meters tussen het netvlies en de ooglens;

  • `S` de sterkte in dioptrieën (dpt).

Zie figuur.

De afstand `b` hoeft niet voor beide ogen gelijk te zijn.
Iemand heeft een rechteroog met `b = 0,018` m. Hij kan de sterkte van zijn rechteroog variëren van `58` tot en met `63` dpt.

a

Bereken op welke afstanden dit rechteroog voorwerpen scherp kan zien. Rond de grenswaarden in je antwoord af op twee decimalen.

b

Voor zijn linkeroog geldt: `b = 0,017` m.
Hiermee kan hij voorwerpen op afstanden van `15` cm en verder scherp zien.
Bereken welke waarden `S` kan aannemen. Geef je antwoord in gehele dioptrieën.

(bron: examen vwo wiskunde B1 in 2004, eerste tijdvak)

Opgave 11Een eivorm
Een eivorm
figuur I

De functie `f` is gegeven door `f(x) = 1/6 sqrt(87x - 3x^2 - 2x^3)`
In figuur I is de grafiek van `f` getekend en ook het spiegelbeeld hiervan in de `x` -as. De twee grafieken vormen samen een figuur die lijkt op een doorsnede van een ei.

Op de `x` -as en de `y` -as is de eenheid `1` cm. In figuur I is aangegeven wat bedoeld wordt met de lengte en de breedte van het ei.
De lengte van het ei is ongeveer `5,9` cm.

a

Bereken op algebraïsche wijze de lengte van het ei in cm. Rond je antwoord af op twee decimalen.

b

Bereken met behulp van primitiveren de inhoud van het ei. Geef je antwoord in een geheel aantal cm3.

Een eierrekje bevat een aantal even grote ronde openingen. Zie de foto.

Wanneer we het ei van figuur I in een opening van het eierrekje plaatsen met de brede kant onder, steekt het `4,3` cm boven het rekje uit. Zie figuur II links.

figuur II
c

We kunnen het ei van figuur I ook met de smalle kant onder in een opening van het rekje plaatsen. Zie figuur II rechts.
Bereken hoeveel cm het ei dan boven het rekje uitsteekt. Rond je antwoord af op één decimaal.

(bron: examen vwo wiskunde B in 2013, eerste tijdvak)

Opgave 12Sinusoïde met perforaties
Sinusoïde met perforaties

De functie `f` wordt gegeven door:
`f(x) = (1 + cos(2x))/cos(x) + 1`
We bekijken in deze opgave alleen het deel van de grafiek van `f` waarvoor `x ge 0` en `x le 2pi` .

De grafiek van `f` is een sinusoïde met perforaties. In de figuur is de grafiek van `f` weergegeven. De perforaties van de grafiek zijn in de figuur niet aangegeven.

Bereken exact de coördinaten van de perforaties van de grafiek van `f` .

(bron: pilotexamen vwo wiskunde B in 2016, tweede tijdvak)

verder | terug