Omdat je alleen dan echte lengtes en hoeken kunt meten. Anders vervormt elk figuur waarvan de hoekpunten als coördinaten zijn gegeven.

Doen.

`| AB | = sqrt((4 - 1)^2 + (3 - 1)^2) = sqrt(13)`

`M = ((1 + 4)/2, (3 + 1)/2) = (2 1/2 , 2)`

`| AB | = sqrt((1 - text(-)1)^2 + (4 - 3)^2) = sqrt(5)` .

`M = ((text(-)1 + 1)/2, (3 + 4)/2) = (0 , 3 1/2)` .

`| AB | = sqrt((20 - text(-)10)^2 + (45 - 33)^2) = sqrt(1044)`

`M = ((text(-)10 + 20)/2, (33 + 45)/2) = (5 , 39)`

Het verschil van de twee `x` -coördinaten is `x_A - x_B` en dat van de `y` -coördinaten is `y_A - y_B` . Met de stelling van Pythagoras vind je:

`|AB| = sqrt((x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2)`

`M( (x_A + x_B)/2 , (y_A + y_B)/2 )`

Teken punt `E` op lijnstuk `AC` zo, dat `ME text(//) BC` . Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken `AME` en `ABC` volgt dat `|AE| = |MD| = 1/2 |AC|` .
`y_M = y_C + 0,5 * |AC| = 12 + 3 1/2 = 15 1/2`

`|AC| = 7` , dus `y_M = y_C + 0,5|AC| = 12 + 3 1/2 = 15 1/2`

Pas de stelling van Pythagoras toe in de rechthoekige driehoek `CBA` .
Ga eerst na, dat `|CB| = 40 - 11 = 29` en `|CA| = 19 - 12 = 7` .
Je vindt: `|AB| = sqrt(29^2 + 7^2) = sqrt(890)`

`|CD| = sqrt( (47 -text(-)15)^2+ (text(-)13 -32)^2) = sqrt(5869)`

Teken een rechthoekige driehoek `CDE` met `E(47 , 32)` . Pas in die driehoek de stelling van Pythagoras toe om je antwoord te controleren.

`|AB| = sqrt((text(-)3 - 6)^2 + (6 - 0)^2) = sqrt(117)`
`|BC| = sqrt(12^2 + 18^2) = sqrt(468)`
`|AC| = sqrt(21^2 + 12^2) = sqrt(585)`

Als in deze driehoek geldt dat `|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2` dan is de driehoek rechthoekig (omgekeerde stelling van Pythagoras).

Hier wordt dat: `(sqrt(117))^2 + (sqrt(468))^2 = 117 + 468 = 585 = (sqrt(585))^2` , dus de driehoek is rechthoekig.

`D = ((text(-)3 + 6)/2 , (6 + 0)/2) = (1,5 ; 3)`
`E = ((6 + 18)/2 , (0 + 18)/2) = (12 , 9)`
`F= ((text(-)3 + 18)/2 , (6 + 18)/2) = (7,5 ; 12)`

Bereken eerst de lengtes van de drie zijden van deze driehoek:
`|DE| = sqrt(146,25)`
`|DF| = sqrt(117)`
`|EF| = sqrt(29,25)`

`|DF|^2 + |EF|^2 = 117 + 29,25 = 146,25 = |DE|^2`

De driehoek is dus rechthoekig (omgekeerde stelling van Pythagoras).

Ga na, dat `P(2, 1)` en `Q(4, 1)` .
Het midden van `EQ` is dan `S(1,5; 1,5)` .

Probeer het eerst zelf en bekijk daarna eventueel het voorbeeld.

`S = (1,5 ; 1,5)` en is dus niet afhankelijk van de waarden `x` en `y` .

`|AB| = sqrt((text(-)11 - 106)^2 + (23 - 133)^2) = sqrt(25789)`
`M = ((text(-)11 + 106)/2 , (23 + 133)/2) = (47,5 ; 78)`

`(text(-)11 + x_C)/2 = 106` en `(23 + y_C)/2 = 133` geeft `x_C = 223` en `y_C = 243` .

De coördinaten van `C` zijn `(223 , 243)` .

Je kunt laten zien of hoeken recht zijn door in een driehoek de stelling van Pythagoras te controleren. Neem bijvoorbeeld de hoek bij `A` , de hoek tussen `AB` en `AD` . Deze hoek zit in `∆ABD` .

`|AB| = sqrt((6 - 10)^2 + (0 - 8)^2) = sqrt(80)`

`|AD| = sqrt((2 - 6)^2 + (2 - 0)^2) = sqrt(20)`

`|BD| = sqrt((2 - 10)^2 + (2 - 8)^2) = sqrt(100) = 10`

Dus klopt in `Delta ABD` de stelling van Pythagoras en is hoek `A` recht.

Zo kun je bij alle hoeken nagaan of ze rechthoekig zijn.

`S` is het midden van bijvoorbeeld `AC` . Dus `S = ((6+6)/2 , (0+10)/2) = (6, 5)` .

Maak gebruik van de basis `AS` en als hoogte lijnstuk door `B` en loodrecht op het verlengde van `AS` . Je krijgt dan: `1/2 * |AS| * 4 = 1/2 * 5 * 4 = 10` .

Een vlieger is een vierhoek die lijnsymmetrisch is. Dat betekent dat de diagonalen loodrecht op elkaar staan en de ene diagonaal de andere middendoor deelt.

Omdat de diagonalen loodrecht op elkaar staan. De assen van een cartesisch coördinatenstelsel staan namelijk ook loodrecht op elkaar.

`A((text(-)3+0)/2 , (0 + text(-)4)/2) = (text(-)1,5 ; text(-)2)`
`B(1,5 ; text(-)2)`
`C(1,5 ; 1)`
`D(text(-)1,5 ; 1)`

`∠A` zit in `∆ABD` . Er geldt:
`|AB| = 3`
`|AD| = 3`
`|BD| = 3sqrt(2)`

Controleer nu met de omgekeerde stelling van Pythagoras of  `∆ABD` rechthoekig is.

`|AB|^2+|AD|^2`	`=`	`|BD|^2`
`3^2+3^2`	`=`	`(3sqrt(2))^2`
`9+9`	`=`	`18`

Dat klopt. `∆ABD` is rechthoekig. Hoek `A` is dus recht.

Dit kun je voor alle vier de hoeken `A` , `B` , `C` en `D` doen. Als alle vier de hoeken recht zijn, is `ABCD` dus een rechthoek.

`|AB| = sqrt((3-text(-)2)^2 + (1-text(-)1)^2) = sqrt(29)`

De afstand tot `A` moet zijn `sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(29)` .
De enige combinaties van gehele getallen die hieraan voldoen zijn `a = +-5` en `b = +-2` of `a = +-2` en `b = +-5` .

De roosterpunten zijn dus `(text(-)2+-2, text(-)1+-5)` of `(text(-)2+-5, text(-)1+-2)` .
Ofwel: `(text(-)4, text(-)6)` , `(text(-)4, 4)` , `(0, text(-)6)` , `(0, 4)` , `(text(-)7, text(-)3)` , `(3, text(-)3)` , `(text(-)7, 1)` , `(3, 1)` .

Noem `PQ = x` .

`|AP| = 1/2*(2-x) = 1 - 1/2 x` , dus `|AQ| = 1 - 1/2 x + x = 1 + 1/2 x` , `|RQ| = x` en `|AR| = 2` (straal van de cirkel).

`Delta AQR` is een rechthoekige driehoek, dus `(1 + 1/2 x)^2 + x^2 = 2^2` (stelling van Pythagoras).

Haakjes wegwerken geeft `1 1/4 x^2 + x - 3 = 0` , met de abc-formule vind je `x = 6/5 vv x = 2` .

Alleen `x = 6/5` voldoet.

`r = 39/160`

`|PQ| = sqrt(16609) ≈ 128,88` .

Het midden is `M(text(-)60 ; text(-)11,5 )` en `|OM| ≈ 61,09` .