Analytische meetkunde > Coördinaten in het vlak
123456Coördinaten in het vlak

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

De uitwerking wordt later gegeven. Puzzel nu eerst zelf.

Opgave 1
a

Omdat je alleen dan echte lengtes en hoeken kunt meten. Anders vervormt elk figuur waarvan de hoekpunten als coördinaten zijn gegeven.

b

Doen.

c

d

Opgave 2
a

.

b

.

Opgave 3
a

b

Opgave 4
a

Het verschil van de twee -coördinaten is en dat van de -coördinaten is . Met de stelling van Pythagoras vind je:

b

Opgave 5
a

Teken punt op lijnstuk zo, dat . Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken en volgt dat .

b

, dus

Opgave 6

Opgave 7
a

Pas de stelling van Pythagoras toe in de rechthoekige driehoek .
Ga eerst na, dat en .
Je vindt:

b

Teken een rechthoekige driehoek met . Pas in die driehoek de stelling van Pythagoras toe om je antwoord te controleren.

Opgave 8
a



b

Als in deze driehoek geldt dat dan is de driehoek rechthoekig (omgekeerde stelling van Pythagoras).

Hier wordt dat: , dus de driehoek is rechthoekig.

c



d

Bereken eerst de lengtes van de drie zijden van deze driehoek:


De driehoek is dus rechthoekig (omgekeerde stelling van Pythagoras).

Opgave 9
a

Ga na, dat en .
Het midden van is dan .

b

Probeer het eerst zelf en bekijk daarna eventueel het voorbeeld.

en is dus niet afhankelijk van de waarden en .

Opgave 10
a


b

en geeft en .

De coördinaten van zijn .

Opgave 11
a

Je kunt laten zien of hoeken recht zijn door in een driehoek de stelling van Pythagoras te controleren. Neem bijvoorbeeld de hoek bij , de hoek tussen en . Deze hoek zit in .

Dus klopt in de stelling van Pythagoras en is hoek recht.

Zo kun je bij alle hoeken nagaan of ze rechthoekig zijn.

b

is het midden van bijvoorbeeld . Dus .

c

Maak gebruik van de basis en als hoogte lijnstuk door en loodrecht op het verlengde van . Je krijgt dan: .

Opgave 12
a

Een vlieger is een vierhoek die lijnsymmetrisch is. Dat betekent dat de diagonalen loodrecht op elkaar staan en de ene diagonaal de andere middendoor deelt.

b

Omdat de diagonalen loodrecht op elkaar staan. De assen van een cartesisch coördinatenstelsel staan namelijk ook loodrecht op elkaar.

c




d

zit in . Er geldt:


Controleer nu met de omgekeerde stelling van Pythagoras of  rechthoekig is.

Dat klopt. is rechthoekig. Hoek is dus recht.

Dit kun je voor alle vier de hoeken , , en doen. Als alle vier de hoeken recht zijn, is dus een rechthoek.

Opgave 13
a

b

De afstand tot moet zijn .
De enige combinaties van gehele getallen die hieraan voldoen zijn en of en .

De roosterpunten zijn dus of .
Ofwel: , , , , , , , .

Opgave 14Rakende cirkel
Rakende cirkel
a

Noem .

, dus , en (straal van de cirkel).

is een rechthoekige driehoek, dus (stelling van Pythagoras).

Haakjes wegwerken geeft , met de abc-formule vind je .

Alleen voldoet.

b

bron: pilotexamen vwo wiskunde B in 2013, eerste tijdvak

Opgave 15Schepen op zee
Schepen op zee

De afstand van het eerste schip ten opzichte van is , met in uren en in km. Voor het tweede schip geldt zo . De koersen van de schepen liggen loodrecht op elkaar, dus de onderlinge afstand tussen beide schepen is:

km.

Gebruik de grafische rekenmachine.
Voer in: Y1=√((80-20X)^2+(60-10X)^2) met venster bijvoorbeeld: .
is minimaal als en een afstand van ongeveer km.

Opgave 16
a

.

b

Het midden is en .

Opgave 17

Neem , en .

Je krijgt dan en .

Uit en volgt nu dat .

verder | terug