Analytische meetkunde > Coördinaten in het vlak
123456Coördinaten in het vlak

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

De uitwerking wordt later gegeven. Puzzel nu eerst zelf.

Opgave 1
a

Omdat je alleen dan echte lengtes en hoeken kunt meten. Anders vervormt elk figuur waarvan de hoekpunten als coördinaten zijn gegeven.

b

Doen.

c

`| AB |=sqrt( (4 -1 ) ^2+ (3 -1 ) ^2)=sqrt(13 )`

d

`M=( (1 +4) /2, (3 +1) /2)=(2 1/2 , 2 )`

Opgave 2
a

`| AB |=sqrt( (1 -text(-)1 ) ^2+ (4 -3 ) ^2)=sqrt(5 )` .

b

`M=( (text(-)1 +1) /2, (3 +4) /2)=(0 , 3 1/2)` .

Opgave 3
a

`| AB |=sqrt( (20 -text(-)10 ) ^2+ (45 -33 ) ^2)=sqrt(1044 )`

b

`M=( (text(-)10 +20) /2, (33 +45) /2)=(5 , 39 )`

Opgave 4
a

Het verschil van de twee `x` -coördinaten is `x_A - x_B` en dat van de `y` -coördinaten is `y_A - y_B` . Met de stelling van Pythagoras vind je:

`|AB| = sqrt((x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2)`

b

`M( (x_A + x_B)/2 , (y_A + y_B)/2 )`

Opgave 5
a

Teken punt `E` op lijnstuk `AC` zo, dat `ME text(//) BC` . Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken `AME` en `ABC` volgt dat `|AE| =|MD|= 1/2 |AC|` .
`y_m=y_c+0,5 * |AC| = 12 +3 1/2 = 15 1/2`

b

`|AC| = 7` , dus `y_m= y_c +0,5|AC|= 12+ 3 1/2=15 1/2`

Opgave 6

`M=((6+text(-)3)/2, (5+4)/2)=(1 1/2, 4 1/2)`

Opgave 7
a

Pas de stelling van Pythagoras toe in de rechthoekige driehoek `CBA` .
Ga eerst na, dat `|CB|=40 -11 =29` en `|CA|=19 -12 =7` .
Je vindt: `|AB| = sqrt(29^2 + 7^2) = sqrt(890)`

b

`|CD|= sqrt( (47 -text(-)15 ) ^2+ (text(-)13 -32 ) ^2)= sqrt(5869 )`

Teken een rechthoekige driehoek `CDE` met `E(47 , 32)` . Pas in die driehoek de stelling van Pythagoras toe om je antwoord te controleren.

Opgave 8
a

`|AB|=sqrt( (text(-)3 -6 ) ^2+ (6 -0 ) ^2)=sqrt(117 )`
`|BC|=sqrt(12^2+18^2)=sqrt(468 )`
`|AC|=sqrt(21^2+12^2)=sqrt(585 )`

b

Als in deze driehoek geldt dat `|AB| ^2+ |BC| ^2= |AC| ^2` dan is de driehoek rechthoekig (omgekeerde stelling van Pythagoras).

Hier wordt dat: `(sqrt(117))^2 + (sqrt(468))^2 = 117 + 468 = 585 = (sqrt(585))^2` , dus de driehoek is rechthoekig.

c

`D = ( (text(-)3 + 6)/2 , (6 + 0)/2) = (1,5 ; 3 )`
`E = ( (6 + 18)/2 , (0 + 18)/2 ) = (12 , 9 )`
`F= ( (text(-)3 + 18)/2 , (6 + 18)/2 ) = (7,5 ; 12 )`

d

Bereken eerst de lengtes van de drie zijden van deze driehoek:
`|DE|=sqrt(146,25 )`
`|DF|=sqrt(117 )`
`|EF|=sqrt(29,25 )`

`|DF|^2 + |EF|^2 = 117 + 29,25 = 146,25 = |DE|^2`

De driehoek is dus rechthoekig (omgekeerde stelling van Pythagoras).

Opgave 9
a

Ga na, dat `P(2 , 1 )` en `Q(4 ,1 )` .
Het midden van `EQ` is dan `S(1,5 ; 1,5 )` .

b

Probeer het eerst zelf en bekijk daarna eventueel het voorbeeld.

`S=(1,5 ; 1,5 )` en is dus niet afhankelijk van de waarden `x` en `y` .

Opgave 10
a

`|AB|=sqrt((text(-)11 - 106)^2 + (23 - 133)^2)=sqrt(25789)`
`M = ( (text(-)11 + 106)/2 , (23 + 133)/2 ) = (47,5 ; 78)`

b

`(text(-)11 + x_C)/2 = 106` en `(23 + y_C)/2 = 133` geeft `x_C = 223` en `y_C = 243` .

De coördinaten van `C` zijn `(223 , 243)` .

Opgave 11
a

Je kunt laten zien of hoeken recht zijn door in een driehoek de stelling van Pythagoras te controleren. Neem bijvoorbeeld de hoek bij `A` , de hoek tussen `AB` en `AD` . Deze hoek zit in `∆ABD` .

`|AB| = sqrt((6 - 10)^2 + (0 - 8)^2) = sqrt(80)`

`|AD| = sqrt((2 - 6)^2 + (2 - 0)^2) = sqrt(20)`

`|BD| = sqrt((2 - 10)^2 + (2 - 8)^2) = sqrt(100) = 10`

Dus klopt in `Delta ABD` de stelling van Pythagoras en is hoek `A` recht.

Zo kun je bij alle hoeken nagaan of ze rechthoekig zijn.

b

`S` is het midden van bijvoorbeeld `AC` . Dus `S = ((6+6)/2 , (0+10)/2) = (6,5)` .

c

Maak gebruik van de basis `AS` en als hoogte lijnstuk door `B` en loodrecht op het verlengde van `AS` . Je krijgt dan: `1/2 * |AS| * 4 = 1/2 * 5 * 4 = 10` .

Opgave 12
a

Een vlieger is een vierhoek die lijnsymmetrisch is. Dat betekent dat de diagonalen loodrecht op elkaar staan en de ene diagonaal de andere middendoor deelt.

b

Omdat de diagonalen loodrecht op elkaar staan. De assen van een cartesisch coördinatenstelsel staan namelijk ook loodrecht op elkaar.

c

`A((text(-)3+0)/2 , (0 + text(-)4)/2) = (text(-)1,5 ; text(-)2)`
`B(1,5 ; text(-)2 )`
`C(1,5 ; 1 )`
`D(text(-)1,5 ; 1 )`

d

`∠A` zit in `∆ABD` . Er geldt:
`|AB|=3`
`|AD|=3`
`|BD|=3sqrt(2)`

Controleer nu met de omgekeerde stelling van Pythagoras of  `∆ABD` rechthoekig is.

`|AB|^2+|AD|^2` `=` `|BD|^2`
`3^2+3^2` `=` `(3sqrt(2))^2`
`9+9` `=` `18`

Dat klopt. `∆ABD` is rechthoekig. Hoek `A` is dus recht.

Dit kun je voor alle vier de hoeken `A` , `B` , `C` en `D` doen. Als alle vier de hoeken recht zijn, is `ABCD` dus een rechthoek.

Opgave 13
a

`|AB|=sqrt((3-text(-)2)^2+(1-text(-)1)^2)=sqrt(29)`

b

De afstand tot `A` moet zijn `sqrt(a^2+b^2)=sqrt(29)` .
De enige combinaties van gehele getallen die hieraan voldoen zijn `a=+-5` en `b=+-2` of `a=+-2` en `b=+-5` .

De roosterpunten zijn dus `(text(-)2+-2, text(-)1+-5)` of `(text(-)2+-5, text(-)1+-2)` .
Ofwel:  `(text(-)4, text(-)6)` , `(text(-)4, 4)` , `(0, text(-)6)` , `(0, 4)` , `(text(-)7, text(-)3)` , `(3, text(-)3)` , `(text(-)7, 1)` , `(3, 1)` .

Opgave 14Rakende cirkel
Rakende cirkel
a

Noem `PQ=x` .

`|AP|= 1/2*(2-x)=1-1/2x` , dus `|AQ|=1-1/2x+x=1+1/2x` , `|RQ|=x` en `|AR|=2` (straal van de cirkel).

`Delta AQR` is een rechthoekige driehoek, dus `(1+1/2x)^2+x^2=2^2` (stelling van Pythagoras).

Haakjes wegwerken geeft `1 1/4x^2+x-3=0` , met de abc-formule vind je `x=6/5 vv x=2` .

Alleen `x=6/5` voldoet.

b

`r=39/160`

bron: pilotexamen vwo wiskunde B in 2013, eerste tijdvak

Opgave 15Schepen op zee
Schepen op zee

De afstand van het eerste schip ten opzichte van `S` is `a_1=80-20t` , met `t ` in uren en `a` in km. Voor het tweede schip geldt zo `a_2=60-10t` . De koersen van de schepen liggen loodrecht op elkaar, dus de onderlinge afstand tussen beide schepen is:

`a=sqrt( (80 -20 t) ^2+ (60 -10 t) ^2)` km.

Gebruik de grafische rekenmachine.
Voer in: Y1=√((80-20X)^2+(60-10X)^2) met venster bijvoorbeeld: `[0,10] xx [0,50]` .
`a` is minimaal als `t≈4,4` en een afstand van ongeveer `17,89` km.

Opgave 16
a

`|PQ|=sqrt(16609)≈128,88` .

b

Het midden is `M(text(-)60 ; text(-)11,5 )` en `|OM|≈61,09` .

Opgave 17

Neem `A(text(-)3 , 0)` , `B(3 , 0)` en `C(0 , 4)` .

Je krijgt dan `P (text(-)1,5 ; 2)` en `Q = (1,5 ; 2)` .

Uit `|PQ| = 3 = 1/2 |AB|` en `Delta ABS ∼ Delta QPS` volgt nu dat  `AS:SQ=BS:BP=2 :1` .

verder | terug