Analytische meetkunde > Coördinaten in het vlak
123456Coördinaten in het vlak

Voorbeeld 3

Op een eiland is een schat begraven. De volgende aanwijzingen moeten je bij de schat brengen:

" Ga in een rechte lijn van de oude eik naar de grote zwerfkei. Ga vervolgens in een lijn loodrecht op de vorige richting dezelfde afstand. Loop vanaf het punt waar je bent gekomen in een rechte lijn naar de tweede zwerfkei en vervolg je route in de richting loodrecht op het laatst gelopen stuk, even ver als dit stuk. Ga ten slotte in een rechte lijn terug naar de oude eik. Halverwege zul je de schat aantreffen."

Er is echter een probleem: de oude eik is totaal verdwenen.

Maak eerst een schets van de situatie: `Z_1` en `Z_2` zijn de zwerfkeien, die punten liggen vast. De oude eik wordt zo maar ergens een punt, de rest construeer je. Bij `Z_1` en `Z_2` maak je rechte hoeken, de cirkels zijn nodig om gelijke afstanden op de goede plek te krijgen. Wat gebeurt er als je de oude eik verplaatst? De schat heb je gevonden, maar licht nu toe dat de positie van de oude eik onbelangrijk is.

Bekijk de figuur.

`E` is variabel, `Z_1` en `Z_2` liggen vast. Gegeven: `|EZ_1 |=|Z_1 P|` en `|PZ_2 |=|Z_2 Q|` en de hoeken `EZ_1 P` en `PZ_2 Q` zijn recht. Toon aan dat het midden `S` van `EQ` niet van plaats kan veranderen.

> antwoord

Je ziet in de figuur de congruente (gelijke) driehoekjes: `∆EAZ_1 ≅∆Z_1BP` en `∆PBZ_2 ≅∆Z_2 CQ` .

Neem `E(text(-)x, y)` , dan is `|EA|=y` en `|AZ_1 |=x` . En dus is ook `|Z_1 B|=y` en `|BP|=x` .

| `BZ_2| = 3 – y` . Ten slotte is `|Z_2 C|=|BP|=x` en `|CQ|=|BZ_2 |= 3 - y` .

De coördinaten van `Q` zijn daarom `(3 +x , 3 -y)` . Het midden van `EQ` is dus `S( (text(-)x+3 +x) /2 , (y+3 -y) /2 )` en dat geeft `S(1,5 ; 1,5 )` .

Kennelijk is de plaats van `S` niet van `x` en `y` afhankelijk, de plek van de schat ligt vast.

Opgave 9

Je ziet in de applet van het schatgraversprobleem in het Voorbeeld 3 dat het bewegen van punt `E` geen invloed heeft op de plaats van de schat, punt `S` .

a

Neem voor de oude eik het punt `E(text(-)1 , 2)` en toon door berekening aan dat de schat (het punt `S` ) niet verandert.

b

Neem voor de oude eik het punt `E(text(-)x,y)` en toon zelf door berekening aan dat de schat (het punt `S` ) niet verandert.

verder | terug