Analytische meetkunde > Lijnen
123456Lijnen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`1+3*3=10` dus klopt.

b

`4+3*2=10` dus klopt.

c

Eigen antwoord.

d

`(text(-)4, 5)` , `(text(-)2, 4)` , `(0, 3)` , `(2, 2)` en `(4, 1)` .

e

`(text(-)4, text(-)5)` , `(text(-)2, text(-)4)` , `(0, text(-)3), (2, text(-)2)` en `(4, text(-)1)` .

f

`(3, text(-)3)` , `(3, text(-)2)` , `(3, text(-)1)` , `(3, 0)` , `(3, 1)` , `(3, 2)` en `(3, 3)` .

Opgave 1
a

Je ziet in de uitleg hoe lijn `AB` de vergelijking `y = text(-)1/3 x + 2 1/3` krijgt.

Je vermenigvuldigt deze vergelijking links en rechts met `3` . Dit levert `3y=text(-)x+7` op en daarna tel je aan beide zijden `x` op. Je krijgt `x + 3y = 7` .

b

Richtingscoëfficiënt is `text(-)1/3` . Dit getal betekent dat elke toename van `x` met `1` een toename van `y` met `text(-) 1/3` tot gevolg heeft.

Opgave 2

`A(1, 2 )` invullen: `2 =a+b` .

`C(1, 4 )` invullen: `4 =a+b` .

Dit geeft `2 =4` en dat kan niet.

Opgave 3

Beide punten voldoen aan deze vergelijking, want beide hebben `x` -coördinaat `1` .

Opgave 4

De eerste twee vergelijkingen kun je herleiden tot `y =text(-)1/2 x + 3` .

Opgave 5
a

Horizontaal, evenwijdig aan de `x` -as.

b

Verticaal, evenwijdig aan de `y` -as.

c

Er is geen richtingscoëfficiënt.

d

De vergelijking wordt `qx + qy = r` en dus `x + y = r/q` .

Dit kun je schrijven als `y =text(-)x + r/q` en dus is de richtingscoëfficiënt gelijk aan `text(-)1` .

e

Dan krijg je `px + qy = 0` en dus `y = text(-)p/q x` ; deze lijn gaat door de oorsprong `O(0, 0)` . Dit heet ook wel een rechtevenredig verband.

Opgave 6
a

Herleid de vergelijking tot `y = 3x - 6,5` .

Dus de richtingscoëfficiënt is `3` .

b

Schrijf de lijn als `x = 3,5` .
Dit is een verticale lijn en heeft dus geen richtingscoëfficiënt.

c

Schrijf de vergelijking als `y = text(-)1,5x + 7,5` .

De richtingscoëfficiënt is dus `text(-)1,5` .

d

Schrijf de vergelijking als `2x+4y=10` en herleid deze tot `y =text(-)0,5x + 1,25` .

De richtingscoëfficiënt  is dan `text(-)0,5` .

e

Schrijf de vergelijking als `y = 0x - 5` .

De richtingscoëfficiënt  is dan `0` .

f

Schrijf de vergelijking als `y =text(-)1/5 x + 8/5` .

De richtingscoëfficiënt  is dan `text(-)0,2` .

Opgave 7

Je berekent eerst de richtingscoëfficiënt: `a = (25 - text(-)35)/(12 - text(-)22) = 30/17` .

De vergelijking wordt dan `y = 30/17 x + b` .
Daarin vul je (bijvoorbeeld) `S(12 , 25)` in en je vindt `b=65/17` .
Dus wordt de vergelijking `y=30/17 x + 65/17` .

Dit kun je herleiden tot `30 x-17 y=text(-)65` .
De snijpunten met de assen zijn `(0 , 65/17 )` en `(text(-)13/6, 0 )` .

Opgave 8

De lijn heeft een vergelijking van de vorm `y = text(-)12x + b` . Vul `T(38 , text(-)15)` in en je krijgt `b = 441` . De vergelijking wordt dus `y = text(-)12x + 441` . Dat kun je omschrijven naar `12x+y=441`

Neem je `x = 0` dan krijg je `y = 441` en dus `(0, 441)` .

Neem je `y = 0` dan krijg je `x = 441/12` en dus `(441/12 , 0) = (36,75 ; 0)` .

Opgave 9

Lijn `m` is evenwijdig aan lijn `l` en heeft dus dezelfde richtingscoëfficiënt, namelijk `2` . Een vergelijking van lijn `m` is dus `y=2x+b` . De waarde van `b` kun je berekenen door `P(0, 10)` in te vullen: `10=2*0+b` en dit levert `b=10` op. Een vergelijking van lijn `m` is dus `y=2x+10` . Dit kun je schrijven als `text(-)2x+y=10` en dit is van de vorm `px+qy=r` met `p=text(-)2` , `q=1` en `r=10` .

Opgave 10
a

Begin met het zoeken van twee punten op de lijn. Kies om te beginnen punten waarin `x = 0` of `y = 0` .

b

Het snijpunt dat het dichtst bij de oorsprong ligt, is het snijpunt van de lijnen `y=2x` en `x-2y=4` .

`2x` `=` `0,5x-2`
`1,5x` `=` `text(-)2`
`x` `=` `text(-)1 1/3`

`y = 2x = 2* text(-)1 1/3 =text(-)2 2/3`

Het snijpunt is `(text(-)1 1/3,text(-)2 2/3)` .

Opgave 11
a

Herleid eerst alle vergelijkingen:

  • `l` wordt `y = text(-)3,5x + 2`

  • `m` wordt `x = text(-)2,4`

  • `n` wordt `y = text(-)3,5x + 2`

  • `p` wordt `y = text(-)3,5x + 7,5`

  • `q` wordt `y = 7/3 x + 5`

  • `r` blijft `y = text(-)3,5x + 3`

Lijnen met dezelfde richtingscoëfficiënt  zijn evenwijdig of vallen samen (als ze dezelfde vergelijking opgeleverd hebben). Dus zijn `l` , `n` , `p` en `r` evenwijdig (of vallen ze samen).

b

`l` en `n` .

c

Geen enkele vergelijking hoort bij een roosterlijn (zie de uitwerking bij a).

Opgave 12
a

De richtingscoëfficiënt van `l` is `(3 - 0)/(7 - 2) = 3/5`
De lijn heeft als vergelijking `y = 3/5 x + b` .
Bijvoorbeeld punt `A` invullen geeft `b = text(-) 6/5` .

Dus vind je `y = 3/5 x - 6/5` en dit kun je herleiden tot `3x - 5y = 6` .

b

Deze lijn heeft dezelfde richtingscoëfficiënt als die bij a.
De vergelijking is daarom `y = 3/5 x + b` .
Punt `C` invullen geeft `b = 5` en dus `y = 3/5 x + 5` .

Dit herleid je tot `3x - 5y = text(-)25` .

Opgave 13
a

Je kunt dit op verschillende manieren aanpakken.

Manier 1:

  • Teken eerst de lijn door twee punten te bepalen: `(6, 0)` en `(0, text(-)3)` .

  • Spiegel die twee punten tot `(6, 0)` en `(0,3)` .

  • Stel de vergelijking op van de nieuwe lijn: `y = text(-)0,5x + 3` ofwel `x + 2y = 6` .

Manier 2:

  • Bedenk dat bij spiegelen in de `x` -as `(x, y)` overgaat in `(x, text(-)y)` .

  • Vervang in de gegeven vergelijking `x` door `x` en `y` door `text(-)y` .

  • Je vindt `x - 2(-y) = 6` ofwel `x + 2y = 6` .

b

Je kunt dit op verschillende manieren aanpakken.

Manier 1:

  • Teken eerst de lijn door twee punten te bepalen: `(6, 0)` en `(0, text(-)3)` .

  • Spiegel die twee punten tot `(text(-)6, 0)` en `(0, text(-)3)` .

  • Stel de vergelijking op van de nieuwe lijn: `y = text(-)0,5x - 3` ofwel `x + 2y = text(-)6` .

Manier 2:

  • Bedenk dat bij spiegelen in de `y` -as `(x, y)` overgaat in `(text(-)x, y)` .

  • Vervang in de gegeven vergelijking `x` door `text(-)x` en `y` door `y` .

  • Je vindt `text(-)x - 2y = 6` ofwel `x + 2y = text(-)6` .

c

Je kunt dit op verschillende manieren aanpakken.

Manier 1:

  • Teken eerst de lijn door twee punten te bepalen: `(6, 0)` en `(0, text(-)3)` .

  • Spiegel die twee punten tot `(0, 6)` en `(text(-)3, 0)` .

  • Stel de vergelijking op van de nieuwe lijn: `y = 2x + 6` ofwel `text(-)2x + y = 6` .

Manier 2:

  • Bedenk dat bij spiegelen in de lijn `y = x` het punt `(x, y)` overgaat in `(y, x)` .

  • Vervang in de gegeven vergelijking `x` door `y` en `y` door `x` .

  • Je vindt `y - 2x = 6` ofwel `text(-)2x + y = 6` .

Opgave 14
a

Snijpunt `x` -as betekent dat `y=0` . Vul dit in de vergelijking van `l` in: `2x-0+7=0` dus `2x+7=0` en dan volgt `x=text(-)3,5` . Het snijpunt is dus `(text(-)3,5; 0)` .

Snijpunt `y` -as betekent dat `x=0` . Vul dit in de vergelijking van `l` in: `2*0-y+7=0` dus `y=7` . Het snijpunt is dus `(0, 7)` .

b

Bereken eerst de richtingscoëfficiënt van `m` . Dit kan door de vergelijking van `k` te herschrijven naar de vorm `y=ax+b` . Dit wordt `y=text(-)1,5x+3` . Lijn `m` heeft dus óók richtingscoëfficiënt `text(-)1,5` en gaat door `(0, 10)` . Door deze gegevens in te vullen in de vergelijking `y=ax+b` vind je `10=text(-)1,5*0+b` en dus geldt dat `b=10` . Een vergelijking van `m` is dus `y=text(-)1,5x+10` . In de vorm `ax+by=c` wordt dit `1,5x+y=10` .

c

Dit kan op verschillende manieren. Herleid bijvoorbeeld de vergelijking van `m` naar `y=text(-)1,5x+10` zoals je bij b hebt gedaan. Substitueer dit in de vergelijking van `l` : `2x-y+7=0` wordt dan `2x-(text(-)1,5x+10)+7=0` . Dit wordt `2x+1,5x-10+7=0` en dus `3,5x=3` zodat `x=6/7` . Dit levert ingevuld in `l` of `m` voor `y` de waarde `8 5/7` op. Dus `(6/7; 8 5/7)` .

Opgave 15Symmetrische ster
Symmetrische ster
a

Bereken eerst de snijpunten van de gegeven lijn met beide assen: `(4/3 , 0)` en `(0, 4)` . Omdat deze lijn ook door `D` gaat (controleren door dit punt in te vullen) is de gegeven lijn de lijn door `D(1, 1)` en `E(0, 4)` . Nu kun je alle andere hoekpunten van de ster vinden, omdat het spiegelbeelden zijn bij spiegeling in de `x` -as, de `y` -as of de lijn `y = x` . En daarmee stel je dan alle andere vergelijkingen op.

Je vindt:
`DE` : `3 x+ y=4`  
`AH` : `3 x+ y=text(-)4`  
`EF` : `text(-)3 x+ y=4`  
`AB` : `text(-)3 x+ y=text(-)4`  
`CD` : `x+3 y=4`  
`GH` : `x+3 y=text(-)4`  
`BC` : `x-3 y=4`  
`FG` : `x-3 y=text(-)4`

b

omtrek `=8sqrt(10)≈ 25,30` , oppervlakte `=16`

Opgave 16Loodrechte stand
Loodrechte stand

Elke lijn die niet evenwijdig is met de `y` -as heeft een vergelijking van de vorm `y=ax+b` . Als zo’n lijn loodrecht staat op de lijn `y=nx` , is `a` afhankelijk van `n` .
Een richtingscoëfficiënt van `n` betekent: als je `x` met `1` verhoogt, wordt `y` met `n` verhoogd. Er past daarom een rechthoekig driehoekje van `1` horizontaal bij `n` verticaal tegen die lijn.
Bij een lijn die hier loodrecht op moet staan, wordt dit driehoekje `n` horizontaal bij `text(-)1` verticaal. En dat driehoekje is gelijkvormig met een driehoekje van `1` bij `text(-) 1/n` . Van zo’n lijn is de richtingscoëfficiënt dus `text(-) 1/n` .
De algemene vorm van een lijn loodrecht op `y=nx` is daarom `y = text(-) 1/n * x + b` .

Opgave 17
a

`2 x+y=25`

b

rc `= text(-)2` , snijpunten met de assen zijn `(0, 25 ), (12,5 ;0 )`

Opgave 18
a

`y = 4/5 x - 2/5` of  `4x-5y=2`

b

`m: 4x + 5y = 20` of `y = text(-) 4/5 x + 4`

c

`n:5x - 4y = text(-)20` of `y = 5/4 x + 5`

verder | terug