Analytische meetkunde > Cirkels
123456Cirkels

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

De punten die aan deze vergelijking voldoen liggen op een rechte lijn door en .

b

Gebruik GeoGebra en voer deze formule in. Je ziet een cirkel ontstaan met straal en middelpunt .

c

Hier staat . Dit worden twee verticale roosterlijnen.

d

Ook dit kun je in GeoGebra invoeren en kijken wat er ontstaat. Je zou eigenlijk moeten weten dat dit een formule van een parabool is.

Opgave 1
a

Vul de punten in de vergelijking in:

  • geeft en dat klopt.

  • geeft en dat klopt.

  • geeft en dat klopt.

  • geeft en dat klopt.

b

Nagaan of de afstand van dit punt tot meer of minder dan is.

c

De getallen die tussen de haakjes staan bij en veranderen als je het middelpunt verandert. Het getal dat rechts van het isteken staat veranderd als je de straal verandert.

Opgave 2
a

b

c

Middelpunt en straal .

d

Met behulp van kwadraat afsplitsen kun je zo'n vergelijking weer herleiden tot . En daarvan is het middelpunt en de straal .

De afleiding met behulp van kwadraat afsplitsen:

Opgave 3

In dit geval kun je een roosterpunt op de cirkel vinden door in te zien dat .
Alle punten die rechts of links van en tegelijk onder of boven liggen zijn roosterpunten van de cirkel. Bijvoorbeeld . Ook punten die boven of onder liggen en links of rechts daarvan liggen op de cirkel.

Je vindt , , , , , , , .

Opgave 4

De cirkel heeft middelpunt en straal .

Omdat , liggen de roosterpunten van de cirkel rechts of links en onder of boven of onder of boven en links of rechts van .

Je vindt , , , , , , , .

Opgave 5

, maar in al die gevallen heb je geen twee kwadraten.

Opgave 6

De vergelijking wordt en invullen geeft .

De complete vergelijking wordt .

Om te controleren of deze cirkel door gaat vul je dit punt in: en dat klopt.

Opgave 7

Kwadraat afsplitsen geeft en dus .

Middelpunt en straal .

Opgave 8

Ga uit van , en pas kwadraat afsplitsen toe: en . De cirkel heeft dus als middelpunt en een straal van .

Opgave 9

Als je de eerste vergelijking uitwerkt, vind je de vergelijking van cirkel . De vergelijkingen zijn dus hetzelfde, en dus de tekeningen ook, als je ze zou tekenen in een assenstelsel.

Opgave 10
a

De vergelijking wordt

Middelpunt:
Straal:

b

De vergelijking wordt

Omdat geen reëel getal is, kun je geen straal bepalen. Deze figuur bestaat niet.

c

De vergelijking wordt

Omdat is dit een cirkel met middelpunt en straal . Dus dit wordt alleen het punt .

Opgave 11
a

De vergelijking is .

Vul in en je krijgt . De vergelijking wordt .

b

Het middelpunt van de cirkel is het midden van lijnstuk , dus .

De cirkel is daarom . Punt invullen geeft .

De gevraagde vergelijking is dus .

Vul je hier punt in, dan krijg je geen gelijkheid, dus ligt niet op de cirkel.

Opgave 12
a

De vergelijking wordt .

Middelpunt:
Straal:

b

De vergelijking wordt .

Middelpunt:
Straal

c

De vergelijking wordt .

Geen cirkel.

d

Deze vergelijking kun je niet in de vorm brengen, dus geen cirkel.

Opgave 13
a

Deze drie punten liggen op de hoekpunten van een vierkant, dus het middelpunt van de cirkel is het midden van lijnstuk .
Daaruit volgt .

b

De cirkel heeft vergelijking .
Punt invullen geeft .
Dus

Opgave 14

De snijpunten van de lijn met de assen zijn en .

Het middelpunt van de cirkel is daarom .

De cirkel gaat door en dus vind je

Opgave 15

wordt na kwadraat afsplitsen .

Dit stelt een cirkel voor met een straal groter dan als .
Los dus op: .
Dit geeft en .
Dus als dan is de straal van de cirkel groter dan .

Opgave 16

Ga uit van de algemene vergelijking van een cirkel: . Vul hierin een keer punt en een keer punt in:

Punt : dus

Punt : dus

Nu is het nog een kwestie van een stelsel oplossen van en . Trek de onderste van de bovenste af en je vindt dus .

Vul nu in bij en je vindt dus .

Er zijn dus twee cirkels die aan het gevraagde voldoen: en

Opgave 17Een ontdekking van Thales
Een ontdekking van Thales
a

De diagonalen van een rechthoek zijn even lang en delen elkaar in gelijke delen. Elke rechthoekige driehoek is een halve rechthoek: de hypotenusa is een van de diagonalen. Het midden daarvan ligt daarom even ver van elk van de hoekpunten van de driehoek. En dus kun je met dat punt als middelpunt een cirkel door de drie hoekpunten tekenen.

b

De rechthoekige driehoek heeft hoekpunten , en . De schuine zijde (hypotenusa) is . Het midden van de schuine zijde is . De cirkel met dit punt als middelpunt en door heeft vergelijking .

Ga nu na dat ook de punten en op deze cirkel liggen door hun coördinaten in te vullen in deze vergelijking.

Opgave 18Een parabool
Een parabool
a

, dus: en na uitwerken volgt

en dit herleid je tot .

b

Voer in: Y1=(1/4)X^2+1 

c

De parabool is nu gedraaid. Het idee is hetzelfde als bij a.
Noem het punt op de parabool , dan is:

, en dus .

d

Parabool wordt gespiegeld in de lijn met vergelijking

Opgave 19
a

en straal .

b

invullen geeft en die berekening klopt.

c

Opgave 20

De vergelijking van is te herleiden tot
Het middelpunt is . De straal is .

Opgave 21

Met roosterpunten: , , , , , , ,

verder | terug