Analytische meetkunde > CirkelsAntwoorden van de opgaven
De punten die aan deze vergelijking voldoen liggen op een rechte lijn door `(0, 6)` en `(text(-)3, 0)` .
Gebruik GeoGebra en voer deze formule in. Je ziet een cirkel ontstaan met straal `5` en middelpunt `(0, 0)` . Bedenk ook, dat alle punten `(x, y)` voldoen aan een vorm die lijkt op de stelling van Pythagoras.
Hier staat `x = text(-)2 vv x = 2` . Dit worden twee verticale roosterlijnen.
Ook dit kun je in GeoGebra invoeren en kijken wat er ontstaat. Je zou eigenlijk moeten weten dat dit een formule van een parabool is.
Vul de punten in de vergelijking in:
-
`(1, 3)` geeft `(1 - 4)^2 + (3 - 3)^2 = (text(-)3)^2 = 9` en dat klopt.
-
`(4, 0)` geeft `(4 - 4)^2 + (0 - 3)^2 = (text(-)3)^2 = 9` en dat klopt.
-
`(7, 3)` geeft `(7 - 4)^2 + (3 - 3)^2 = 3^2 = 9` en dat klopt.
-
`(4, 6)` geeft `(4 - 4)^2 + (6 - 3)^2 = 3^2 = 9` en dat klopt.
Nagaan of de afstand van dit punt tot `M(1 , 2)` meer of minder dan `3` is.
De getallen die tussen de haakjes staan bij `x` en `y` veranderen als je het middelpunt verandert. Het getal dat rechts van het isteken staat veranderd als je de straal verandert.
`x^2 + y^2 = 25`
`(x-3)^2 + (y-1)^2 = 2^2 = 4`
Middelpunt `(text(-)4, 6)` en straal `sqrt(15)` .
Met behulp van kwadraat afsplitsen kun je zo'n vergelijking weer herleiden tot `(x-4)^2 + (y-3)^2 = 9` . En daarvan is het middelpunt `(4, 3)` en de straal `sqrt(9) = 3` .
De afleiding met behulp van kwadraat afsplitsen:
| `x^2+y^2-8x-6y+16` | `=` | `0` | |
| `x^2-8x+y^2-6y+16` | `=` | `0` | |
| `(x-4)^2-16+(y-3)^2-9+16` | `=` | `0` | |
| `(x-4)^2+(y-3)^2-9` | `=` | `0` | |
| `(x-4)^2+(y-3)^2` | `=` | `9` |
In dit geval kun je een roosterpunt op de cirkel vinden door in te zien dat
`sqrt(10) = sqrt(9 + 1) = sqrt(3^2 + 1^2)`
.
Alle punten die
`3`
rechts of links van
`M`
en tegelijk
`1`
onder of boven
`M`
liggen zijn roosterpunten van de cirkel. Bijvoorbeeld
`(4 + 3, 2 + 1) = (7, 3)`
. Ook punten die
`3`
boven of onder
`M`
liggen en
`1`
links of rechts daarvan liggen op de cirkel.
Je vindt `(3 , text(-)1)` , `(5 , text(-)1)` , `(3 , 5)` , `(5 , 5)` , `(1 , 1)` , `(1 , 3)` , `(7 , 1)` , `(7 , 3)` .
De cirkel heeft middelpunt `M(1, text(-)2)` en straal `sqrt(13)` .
Omdat `sqrt(13) = sqrt(9 + 4) = sqrt(3^2 + 2^2)` , liggen de roosterpunten van de cirkel `3` rechts of links en `1` onder of boven `M` of `3` onder of boven en `1` links of rechts van `M` .
Je vindt `(text(-)1 , text(-)5)` , `(3 , text(-)5)` , `(text(-)1 , 1)` , `(3 , 1)` , `(text(-)2 , 0)` , `(text(-)2 , text(-)4)` , `(4 , 0)` , `(4 , text(-)4)` .
`sqrt(7) = sqrt(1 + 6) = sqrt(2 + 5) = sqrt(3 + 4)` , maar in al die gevallen heb je geen twee kwadraten.
De vergelijking wordt `(x-3)^2 + (y-4)^2 = r^2` en `P` invullen geeft `(text(-)1-3)^2 + (7-4)^2 = 4^2 + 3^2 =25` .
De complete vergelijking wordt `(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25` .
Om te controleren of deze cirkel door `(0, 0)` gaat vul je dit punt in: `(0-3)^2 + (0-4)^2 = 25` en dat klopt.
Kwadraat afsplitsen geeft `(x + 5)^2 - 25 + (y - 6)^2 - 36 = 0` en dus `(x + 5)^2 + (y - 6)^2 = 61` .
Middelpunt `O(text(-)5, 6)` en straal `sqrt(61)` .
Ga uit van `x^2 + y^2 + 4x - 10y + 27 = 0` , en pas kwadraat afsplitsen toe: `(x+2)^2 + (y-5)^2 - 29 + 27 = 0` en `(x+2)^2 + (y-5)^2 = 2` . De cirkel heeft dus als middelpunt `M(text(-)2, 5)` en een straal van `sqrt(2)` .
Als je de eerste vergelijking uitwerkt, vind je de vergelijking van cirkel `d` . De vergelijkingen zijn dus hetzelfde, en dus de tekeningen ook, als je ze zou tekenen in een assenstelsel.
De vergelijking wordt `(x + 4)^2 + (y + 2)^2 = 20` .
Middelpunt:
`(text(-)4, text(-)2)`
.
Straal:
`sqrt(20)`
.
De vergelijking wordt `(x + 4)^2 + (y + 2)^2 = text(-)10` .
Omdat `sqrt(text(-)10)` geen reëel getal is, kun je geen straal bepalen. Deze figuur bestaat niet.
De vergelijking wordt `(x + 4)^2 + (y + 2)^2 = 0` .
Omdat `sqrt(0) = 0` is dit een cirkel met middelpunt `(text(-)4, text(-)2)` en straal `0` . Dus dit wordt alleen het punt `(text(-)4, text(-)2)` .
De vergelijking is `(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = r^2` .
Vul `C` in en je krijgt `(0-2)^2 + (5-0)^2 = 29` . De vergelijking wordt `(x - 2)^2 + y^2 = 29` .
Het middelpunt van de cirkel is het midden van lijnstuk `BC` , dus `((7+0)/2 , (3+5)/2) = (3,5 ; 4)` .
De cirkel is daarom `(x - 3,5)^2 + (y - 4)^2 = r^2` . Punt `C` invullen geeft `r^2 = 13,25` .
De gevraagde vergelijking is dus `(x - 3,5)^2 + (y - 4)^2 = 13,25` .
Vul je hier punt `A` in, dan krijg je geen gelijkheid, dus `A` ligt niet op de cirkel.
De vergelijking wordt `(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 52` .
Middelpunt:
`(4, 6)`
.
Straal:
`sqrt(52)`
.
De vergelijking wordt `(x - 2,5)^2 + y^2 = 6,25` .
Middelpunt:
`(2,5; 0)`
.
Straal
`2,5`
.
De vergelijking wordt `(x - 1)^2 + (y + 5)^2 = text(-)1` .
Geen cirkel.
Deze vergelijking kun je niet in de vorm `(x-a)^2 + (y-b)^2 =r^2` brengen, dus geen cirkel.
Deze drie punten liggen op de hoekpunten van een vierkant, dus het middelpunt
`M`
van de cirkel is het midden van lijnstuk
`PQ`
.
Daaruit volgt
`M = (2, 2)`
.
De cirkel heeft vergelijking
`(x-2)^2 + (y-2)^2 = r^2`
.
Punt
`O(0, 0)`
invullen geeft
`r^2 = 8`
.
Dus
`(x-2)^2 + (y-2)^2 = 8`
.
De snijpunten van de lijn met de assen zijn `(3, 0)` en `(0, 2)` .
Het middelpunt van de cirkel is daarom `((3+0)/2, (0+2)/2) = (1 1/2, 1)` .
De cirkel gaat door `A` en dus vind je `(x - 1 1/2)^2 + (y - 1)^2 = 3 1/4` .
`c_1: x^2 + y^2 + px + 12 = 0` wordt na kwadraat afsplitsen `(x+1/2 p)^2 + y^2 = 1/4 p^2-12` .
Dit stelt een cirkel voor met een straal groter dan
`3`
als
`1/4 p^2 - 12 > 3^2`
.
Los dus op:
`1/4 p^2 - 12 > 9`
.
Dit geeft
`1/4 p^2 > 21`
en
`p^2 > 84`
.
Dus als
`p < text(-)sqrt(84) vv p > sqrt(84)`
dan is de straal van de cirkel groter dan
`3`
.
Ga uit van de algemene vergelijking van een cirkel: `(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2` . Vul hierin een keer punt `A` en een keer punt `B` in:
Punt `A` : `(0-a)^2 + (0-b)^2 = 25` dus `a^2 + b^2 = 25` .
Punt `B` : `(6-a)^2 + (0-b)^2 = 25` dus `36 - 12a + a^2 + b^2 = 25` .
Nu is het nog een kwestie van een stelsel oplossen van `a^2 + b^2 = 25` en `36-12a+a^2+b^2 = 25` . Trek de onderste van de bovenste af en je vindt `36 - 12a + 25 = 25` dus `a = 3` .
Vul `a = 3` nu in bij `a^2 + b^2 = 25` en je vindt `9 + b^2 = 25` dus `b = text(-)4 vv b = 4` .
Er zijn dus twee cirkels die aan het gevraagde voldoen: `(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25` en `(x-3)^2 + (y+4)^2 = 25` .
De diagonalen van een rechthoek zijn even lang en delen elkaar in gelijke delen. Elke rechthoekige driehoek is een halve rechthoek: de hypotenusa is een van de diagonalen. Het midden daarvan ligt daarom even ver van elk van de hoekpunten van de driehoek. En dus kun je met dat punt als middelpunt een cirkel door de drie hoekpunten tekenen.
De rechthoekige driehoek heeft hoekpunten `O(0, 0)` , `A(a, 0)` en `B(0, b)` . De schuine zijde (hypotenusa) is `AB` . Het midden van de schuine zijde is `M(1/2 a, 1/2 b)` . De cirkel met dit punt als middelpunt en door `O(0, 0)` heeft vergelijking `(x - 1/2 a)^2 + (y - 1/2 b)^2 = 1/4 a^2 + 1/4 b^2` .
Ga nu na dat ook de punten `A` en `B` op deze cirkel liggen door hun coördinaten in te vullen in deze vergelijking.
`|PF| = sqrt(x^2 + (y - 2)^2) = y` , dus: `y^2 = x^2 + (y-2)^2` en na uitwerken volgt
`y^2 = x^2 + y^2 - 4y + 4` en dit herleid je tot `4y = x^2 + 4` .
Voer in: Y1=(1/4)X^2+1
De parabool is nu
`90^@`
gedraaid. Het idee is hetzelfde als bij a.
Noem het punt op de parabool
`Q`
, dan is:
`|QB| = sqrt(y^2 + (x-2)^2) = y` , en dus `4x = y^2 + 4` .
De parabool wordt gespiegeld in de lijn met vergelijking `y = x` .
`M(2 , text(-)1)` en straal `sqrt(13)` .
`(5, 1)` invullen geeft `(5 - 2)^2 + (1 + 1)^2 = 13` en die berekening klopt.
`(1 - 2)^2 + (3 + 1)^2 >13`
De vergelijking van
`c`
is te herleiden tot
`(x - 3)^2 + (y + 2,5)^2 = 15,25`
.
Het middelpunt is
`(3;text(-)2,5)`
. De straal is
`sqrt(15,25)`
.
`(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20`
Met roosterpunten: `(1 , 0)` , `(5 , 0)` , `(1 , 8)` , `(5, 8)` , `(text(-)1 , 2)` , `(text(-)1 , 6)` , `(7 , 2)` , `(7 , 6)`