Analytische meetkunde > Cirkels
123456Cirkels

Uitleg

Een cirkel in de meetkunde bestaat uit alle punten die even ver van het middelpunt liggen. Je ziet cirkel `c` met middelpunt `M(4, 3)` en straal `3` in een co├Ârdinatenstelsel. Het bijzondere van alle punten op deze cirkel is, dat ze op afstand `3` van `M` liggen. Punten die niet op de cirkel liggen, hebben een andere afstand tot  `M` .

Voor alle punten `P` op de cirkel geldt dus `|MP| = 3` .

`|MP|` kun je in een co├Ârdinatenstelsel met de stelling van Pythagoras berekenen: `| MQ |^2 + | QP |^2 = | MP |^2`
Noem nu de co├Ârdinaten van `P(x, y)` . Bekijk de figuur en controleer dat, afhankelijk van de plek van `P` op de cirkel, geldt:

  • `|MQ| = x - 4` of `|MQ| = 4 - x`

  • `|QP| = y - 3` of `|QP| = 3 - y`

Een vergelijking van een cirkel met `M(4, 3)` en straal `3` ontstaat door dit in de stelling van Pythagoras in te vullen: `(x-4)^2 + (y-3)^2 = 3^2` .

Opgave 1

Gegeven is de volgende formule voor een cirkel: `(x-4)^2 + (y-3)^2 =9` .

a

Controleer of de punten `(1 , 3)` , `(4 , 0)` , `(7 , 3)` en `(4 , 6)` inderdaad voldoen aan de formule voor de cirkel.

b

Hoe kun je nagaan of het punt `(6,5 ; 1)` binnen of buiten de gegeven cirkel ligt? (Denk er aan, dat alleen tekenen geen bewijs is!)

c

Experimenteer met de applet. Pas de straal van de cirkel aan en verplaats het middelpunt. Bekijk hoe de vergelijking verandert.

Opgave 2

Gebruik de applet in de Uitleg .

a

Stel een formule op bij een cirkel met middelpunt `M(0 , 0)` en straal `5` .

b

Welke vergelijking hoort bij een cirkel met middelpunt `M(3, 1)` en straal `2` ?

c

Welk middelpunt en welke straal heeft een cirkel met vergelijking `(x + 4)^2 + (y - 6)^2 = 15` ?

Iemand heeft bij de vergelijking van een cirkel de haakjes weggewerkt en `x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 = 0` gekregen.

d

Hoe kun je vanuit deze vergelijking middelpunt en straal van de cirkel bepalen?

verder | terug