Lijn door `(0, 5)` en `(10, 0)` : `y = text(-)0,5x + 5` .
Cirkel met middelpunt `O` en straal `5` : `x^2 + y^2 = 25` .
Snijpunten zijn `(0, 5)` en `(4, 3)` .
De gevraagde afstand is `sqrt(4^2 + 2^2) = sqrt(20)` cm.
`sqrt(20) * 10 ~~ 44,7` km.
`l: y = text(-)1/2 x + 4` en `m: y = 3/4 x - 3` geeft:
`text(-)1/2 x + 4 ` | `=` | ` 3/4 x - 3` | |
`text(-)2x + 16 ` | `=` | ` 3x - 12` | |
`5x` | ` =` | ` 28` | |
`x` | ` =` | ` 5,6` |
Het snijpunt wordt `(5,6 ; 1,2)` .
`l: y =text(-) 1/2 x + 4` invullen in de andere vergelijking geeft `3x - 4(-1/2 x + 4) = 12` .
Hieruit volgt `3x + 2x - 16 = 12` en dus `5x = 28` zodat `x = 5,6` .
Weer krijg je `(5,6 ; 1,2)` .
`{(x + 2y = 8),(3x - 4y = 12):}` geeft `{(2x + 4y = 16),(3x - 4y = 12):}` .
Nu beide vergelijkingen optellen (want dan valt `y` weg): `5x = 28` en dit geeft `x = 5,6` .
Weer vind je `(5,6 ; 1,2)` .
Neem bijvoorbeeld de substitutiemethode.
Schrijf `m: x =text(-)4y + 10` en vul dit in de andere vergelijking in: `2(text(-)4y + 10) - 3y = 6` .
Dit geeft: `text(-)8y + 20 - 3y = 6` en dus `text(-)11y = text(-)14` zodat `y = 14/11` .
Dan is `x = text(-)4 * 14/11 + 10 = 54/11` . Het snijpunt wordt `(4 10/11 , 1 3/11)` .
De vergelijking van `l` levert meteen op `x =text(-)3` .
Dit vul je in de andere vergelijking in: `text(-)15 + 2y = 20` geeft `y = 35/2 = 17 1/2` .
Het snijpunt wordt `(text(-)3, 17 1/2)` .
Gebruik de balansmethode als je veel gereken met breuken wilt vermijden.
`{(5x - 3y = 15),(2x - 6y = 11):}`
wordt:
`{(10x - 6y = 30),(2x - 6y = 11):}`
Beide vergelijkingen van elkaar aftrekken: `8x = 19` geeft `x = 2 3/8` .
Dit moet je nog wel in een van beide vergelijkingen invullen: `2 * 2 3/8 - 6y = 11` geeft `y = text(-)1 1/24` . Het snijpunt wordt `(2 3/8 , text(-)1 1/24 )` .
De vergelijking van `m` kun je meteen invullen in die van `l` : `2x + 3(4 - 2/3 x) = 6` geeft `12 = 6` .
Dat is onmogelijk, dus je kunt geen `x` en ook geen snijpunt berekenen.
Je kunt de vergelijking van `l` herleiden tot `y = text(-) 2/3 x + 2` en die van `m` tot `y = text(-) 2/3 x + 4` . Beide lijnen hebben dezelfde richtingscoëfficiënt, dus ze zijn evenwijdig.
Lijnen niet evenwijdig: één oplossing.
Lijnen vallen samen: oneindig veel oplossingen.
Lijnen evenwijdig en niet samenvallend: geen oplossing.
Probeer de snijpunten te berekenen en je zult zien dat het niet lukt.
Als je beide vergelijkingen omschrijft naar
`y=...`
, dan zie je dat beide lijnen dezelfde rc hebben en dus evenwijdig zijn (zonder samen
te vallen omdat de vergelijkingen toch verschillend zijn; de snijpunten met de
`y`
-as zijn verschillend).
Het aantal snijpunten is
`0`
.
Oneindig veel gemeenschappelijke punten, de lijnen vallen samen.
`m: y = 2x - 4` invullen in de cirkelvergelijking geeft `x^2 + (2x - 4)^2 = 25` .
Dit levert op: `5x^2 - 16x - 9 = 0` en dus `x ~~ text(-)0,49 vv x ~~ 3,69` .
De snijpunten zijn `(text(-)0,49 ; text(-)4,98 )` en `(3,69 ; 3,38 )` .
`0` , `1` , of `2` .
Vul de vergelijking van `k` in die van `c` in: `x^2 + (text(-)0,75x + 6,25)^2 = 25` .
Dit levert op: `1,5625x^2 - 9,375x + 14,0625 = 0` en met de abc-formule: `x = 3` .
Er is maar één snijpunt, namelijk `(3, 4)` .
`m: y = text(-)1/3 x + 4/3` invullen in de vergelijking van `l` geeft `2x - (text(-)1/3 x + 4/3) = 2` en dus `7/3 x = 10/3` , zodat `x = 10/7` .
`{(2x - y = 2),(x + 3y = 4):}`
omschrijven naar
`{(2x - y = 2),(2x + 6y = 8):}`
Beide vergelijkingen van elkaar aftrekken geeft: `text(-)7y = text(-)6` en dus `y = 6/7` .
Dit moet je nog invullen in één van beide gegeven vergelijkingen.
Snijpunt `(10/7 , 6/7)` .
`m: x = 10 - 4y` invullen in de vergelijking van `l` geeft `2(10 - 4y) - 3y = 6` en dus `y = 14/11` . Dit invullen geeft `x = 10 - 4 * 14/11 = 4 10/11` . Dus je krijgt `(4 10/11, 1 3/11)` .
`l` herleiden naar `y = text(-)3` en invullen in de vergelijking van `m` geeft `x = 5 1/5` .
Dus je krijgt `(5 1/5, text(-)3)` .
`y = 4 - 2/3 x` invullen in de vergelijking van `l` geeft `2x - 3(4 - 2/3 x) = 6` .
Hieruit volgt: `4x = 18` en dus `x = 4 1/2` . Hierbij vind je `y = 1` .
Dus het snijpunt is `(4 1/2, 1)` .
Nu wil je `p` berekenen als `l` en `m_p` geen snijpunt hebben. Weer schrijf je de vergelijking van `l` als `y = 2x - 2` . Vul dit in de vergelijking van `m_p` in: `x + p(2x - 2) = 4` . Dit geeft: `(1 + 2p)x = 4 + 2p` . Deze laatste vergelijking heeft geen oplossingen als `1 + 2p = 0` en `4 + 2p != 0` . Dus alleen voor `p = text(-)0,5` hebben `l` en `m_p` geen oplossing.
`l: x = 12 - 5y` invullen in de vergelijking van `m_p` geeft: `p(12 - 5y) - y = 4` .
Dus je vindt: `12p - 5py - y = 4` .
Er is geen oplossing als de `y` wegvalt, dus als `text(-)5p = 1` . Dat geeft `p = text(-)1/5` .
Het beste kun je nu in de vergelijking van `c_2` de haakjes wegwerken: `x^2 + y^2 - 4x - 6y = text(-)4` .
Vervolgens pas je de balansmethode toe op het stelsel:
`{(x^2 + y^2 - 4x - 6y = text(-)4), (x^2 + y^2 = 25):}`
Je ziet dat door de beide linkerzijden en de beide rechterzijden van elkaar af te trekken er een lineaire uitdrukking overblijft: `text(-)4x - 6y = text(-)29` ofwel: `x = text(-)1,5y + 7,25` .
Dit vul je in een van beide cirkelvergelijkingen in: `(text(-)1,5y + 7,25)^2 + y^2 = 25` .
Hieruit bereken je de twee `y` -waarden van de snijpunten. De twee `y` -waarden vind je dan weer met `x = text(-)1,5y + 7,25` .
`(text(-)1,5y + 7,25)^2 + y^2 = 25` oplossen geeft `y = 1,7` en `y = 5,0` .
Dit invullen in `x = text(-)1,5y + 7,25` geeft `x = 4,7` en `x = text(-)0,25` ;
je vindt `(4,7 ; 1,7 )` en `(text(-)0,25 ; 5,0 )` .
De `x` -as heeft vergelijking `y = 0` .
Dit geeft `(x - 3)^2 + 5^2 = 25` en dus `x = 3` . Het enige snijpunt is `(3, 0)` .
De `y` -as heeft vergelijking `x = 0` .
Dit geeft `(text(-)3)^2 + (y + 5)^2 = 25` ofwel `(y + 5)^2 = 16` zodat `y = text(-)9 vv y = text(-)1` .
De snijpunten worden `(0, text(-)1)` en `(0, text(-)9)` .
`k: y = 1 - x` invullen in de cirkelvergelijking: `(x - 3)^2 + (6 - x)^2 = 25` .
Hieruit volgt: `2x^2 - 18x + 20 = 0` en dus `x^2 - 9x + 10 = 0` .
Dit geeft met de abc-formule `x ~~ 7,70 vv x ~~ 1,30` . En deze waarden vul je in `y = 1 - x` in.
De snijpunten worden `(1,30 ; text(-)0,30)` , `(7,70 ; text(-)6,70)` .
Bij beide vergelijkingen haakjes uitwerken geeft:
`{(x^2 + y^2 - 4y = 5),(x^2 + y^2 - 4x = 5):}`
Beide vergelijkingen van elkaar aftrekken geeft `text(-)4y + 4x = 0` ofwel `y = x` .
Dit invullen in de vergelijking van (bijvoorbeeld) `c_1` geeft `x^2 + (x - 2)^2 = 9` en dus `2x^2 - 4x - 5 = 0` . Met de abc-formule levert dit `x ~~ text(-)0,87 vv x ~~ 2,87` op.
De snijpunten zijn daarom `(text(-)0,87 ; text(-)0,87 )` en `(2,87 ; 2,87 )` .
Voor de `x` -as geldt `y = 0` , dus `x^2 + 4 = 9` zodat `x = text(-)sqrt(5) vv x=sqrt(5)` . Dit levert op `(text(-)sqrt(5), 0)` en `(sqrt(5),0)` .
Voor de `y` -as geldt `x = 0` , dus `(y - 2)^2 = 9` zodat `y = 5 vv y = text(-)1` . Dit levert op `(0, 5)` en `(0, text(-)1)` .
`l` gaat door `M_1(0, 2)` en `M_2(2, 0)` en heeft dus vergelijking `y = text(-)x + 2` .
Dit invullen in de vergelijking van `c_1` geeft `x^2 + (text(-)x)^2 = 9` en dus `x^2 = 4,5` . Dus `x = text(-)sqrt(4,5) vv x= sqrt(4,5)` . Je vindt `(2,12 ; text(-)0,12)` en `(text(-)2,12; 4,12 )` .
De vier snijpunten zijn (die van `c_2` en `l` moet je nog uitrekenen): `(2,12 ; text(-)0,12)` en `(text(-)2,12; 4,12 )` en `(text(-)0,12 ; 2,12)` en `(4,12; text(-)2,12 )` .
De grootste afstand is die tussen `(text(-)2,12 ; 4,12)` en `(4,12; text(-)2,12 )` . Die is ongeveer `8,8` . Maak eventueel een schets.
Schrijf de vergelijking van de lijn als `x = 4 – py` en substitueer dit in `x^2 + y^2 = 4` geeft `(4 – py)^2 + y^2 = 4` .
Dus `(8p)^2 – 4 · 12 · (1 + p^2) = 0` en `p = sqrt(3)` en `p = text(-)sqrt3` .
`y = ax + 3` invullen in de cirkelvergelijking geeft `x^2 + (ax + 3)^2 = 4` en dus `(1 + a^2)x^2 + 6ax + 5 = 0` .
`D = 0` geeft `36a^2 - 20(1 + a^2) = 0` en dus `a^2 = 5/4` .
Dus `a = text(-)1/2 sqrt(5) vv a= 1/2 sqrt(5)` .
Snijd de cirkel met de lijn
`m`
:
`x^2 + (4x + p)^2 = 25`
.
Dit geeft
`x^2 + 16x^2 + 8px + p^2 = 25`
en
`17x^2 + 8px + p^2 - 25 = 0`
.
Nu moet
`D = b^2 - 4ac = 0`
zodat
`(8p)^2 - 4*17*(p^2 - 25) = 0`
.
Haakjes wegwerken:
`64p^2 - 68p^2 + 1700 = 0`
en
`4p^2 = 1700`
.
Dus
`p = +-sqrt(425)`
.
`l: y = 6 - x` geeft `(x - 1)^2 + (5 - x)^2 = 10` en dus `x^2 - 6x + 8 = 0` zodat `x = 2 vv x = 4` .
Je krijgt daarmee de snijpunten `(2, 4)` en `(4, 2)` .
`k: x = 6 - 1,5y` invullen geeft `5(6 - 1,5y) - 2y = 10` en dus `y = 40/19` .
Het snijpunt is `(54/19 , 40/19)` , dus ongeveer `(2,84; 2,11)` .
`{(x^2 + y^2 = 6),(x^2 + y^2 - 2x - 2y = 8):}`
geeft
`2x + 2y = text(-)2`
ofwel
`y = text(-)x -1`
.
Dit invullen in
`x^2 + y^2 = 6`
geeft
`x^2 + (x + 1)^2 = 6`
en dus
`x ~~ 1,16 vv x ~~ text(-)2,16`
.
De snijpunten zijn `(1,16; text(-)2,16)` en `(text(-)2,16; 1,16)` .
`2x = y + 6` kun je herleiden tot `y = 2x - 6` .
Dit geeft `ax + 4(2x - 6) = 10` ofwel `ax + 8x = 34` . Er zijn geen oplossingen als `a = text(-)8` want dan verdwijnt de variabele `x` uit deze vergelijking.
`l: y = text(-)0,6x + 3` invullen in `c: (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 16` geeft `x ~~ text(-)1,03 vv x ~~ 5,73` .
Snijpunten: `(text(-)1,03 ; 3,62)` , `(5,73 ; text(-)0,44)` ; de afstand is ongeveer `7,9` .
Kwadraat afsplitsen geeft
`c: (x - 3)^2 + y^2 = 4`
Middelpunt:
`M(3, 0)`
.
Straal:
`2`
.
`x^2 + a^2x^2 - 6x + 5 = 0` geeft `(1 + a^2)x^2 - 6x + 5 = 0` .
`D = 36 - 20(1 + a^2) = 0` geeft `a = text(-)sqrt(0,8) vv a= sqrt(0,8)` .
`x^2 + (x + b)^2 - 6x + 5 =0` geeft `2x^2 + (2b - 6)x + b^2 + 5 ` .
`D=(2b - 6)^2 - 8(b^2 + 5) = 0` geeft `b = text(-)3 - sqrt8 vv b = text(-)3 + sqrt8` .
De vergelijking van de cirkel heeft de vorm:
`c: (x-7)^2 + (y-4)^2 = r^2`
.
De lijn
`x + y = 2`
kun je herleiden naar
`y = text(-)x + 2`
.
Invullen in de cirkelvergelijking
`(x-7)^2 + (text(-)x-2)^2 = r^2`
geeft
`2x^2 - 10x + 53 - r^2 = 0`
.
De discriminant ven deze vergelijking moet
`0`
zijn, dus
`100 - 8(53 - r^2) = 0`
.
Dit geeft
`r^2 = 40,5`
.
De gevraagde cirkel wordt `c: (x-7)^2 + (y-4)^2 = 40,5` .
Schrijf de vergelijking van
`l`
als
`y = text(-)4/3 x`
.
De raaklijn heeft vergelijking
`r: y = text(-)4/3 x + q`
.
Snijden met de cirkel geeft
`x^2 + (text(-)4/3 x + q)^2 - 25 = 0`
en dus
`25x^2 - 24qx + 9q^2 - 225 = 0`
.
`D = (text(-)24q)^2 - 4*25*(9q^2 - 225) = 0`
geeft
`q = text(-)8 1/3 vv q = 8 1/3`
.
De gevraagde vergelijkingen van de raaklijnen zijn
`y = text(-)4/3 x + 8 1/3`
en
`y = text(-)4/3 x - 8 1/3`
.
Met de `x` -as als A1 en `M(0 , 15 )` als mast wordt de grens van het bereik gegeven door de cirkel: `x^2 + (y-15)^2 = 900` . De cirkel snijden met `x` -as: `y = 0` geeft `x^2 + 225 = 900` en dus `x = text(-)sqrt(675) vv x = sqrt(675)` . De gevraagde afstand is `2 * sqrt(675) ~~ 52,0` km.
De straal van `c_1` is `2a` en het middelpunt `A(text(-)a, 0)` .
Dus `c_1 : (x+a)^2 + y^2 = 4a^2` .
De straal van `c_2` is `2a` en het middelpunt `B(a, 0)` .
Dus `c_2 : (x-a)^2 + y^2 = 4a^2` .
`{(x^2 + y^2 + 2ax = 3a^2),(x^2 + y^2 - 2ax = 3a^2):}`
geeft
`4ax = 0`
en dus
`x = 0`
.
Dit betekent
`a^2 + y^2 = 4a^2`
zodat
`y =text(-)sqrt(3a^2) = text(-)a sqrt(3) vv y= a sqrt(3)`
. Dus zijn de snijpunten
`(0, a sqrt(3))`
en
`(0, text(-)a sqrt(3))`
.
Neem
`C(0, a sqrt(3))`
.
Dan is
`|AC| = sqrt(4a^2) = 2a`
en
`|BC| = sqrt(4a^2) = 2a`
. Ook
`|AB| = 2a`
.
`(text(-)4, 4)`
`(4 , 2)` en `(12 , 0)`
`(2, text(-)6)` en `(2 , 0)`
`p = text(-)2/7`
`(text(-)1,03 ; 3,62)` , `(5,73 ; text(-)0,44)` , de afstand is ongeveer `7,9` .
`y = (5/6 + 1/3 sqrt(13))x + 6` en `y = (5/6 - 1/3 sqrt(13))x + 6`