Analytische meetkunde > Snijden en raken
123456Snijden en raken

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Lijn door `(0, 5)` en `(10, 0)` : `y=text(-)0,5x+5` .

Cirkel met middelpunt `O` en straal `5` : `x^2+y^2=25` .

b

Snijpunten zijn `(0, 5)` en `(4, 3)` .

De gevraagde afstand is `sqrt(4^2 + 2^2) = sqrt(20)` cm.

c

`sqrt(20) * 10 ~~ 44,7` km.

Opgave 1
a

`l: y = text(-)1/2 x + 4` en `m: y = 3/4 x - 3` geeft:

`text(-)1/2 x + 4 ` `=` ` 3/4 x - 3`
`text(-)2x + 16 ` `=` ` 3x - 12`
`5x` ` =` ` 28`
`x` ` =` ` 5,6`

Het snijpunt wordt `(5,6 ; 1,2)`

b

`l: y =text(-) 1/2 x + 4` invullen in de andere vergelijking geeft `3x - 4(-1/2 x + 4) = 12` .

Hieruit volgt `3x + 2x - 16 = 12` en dus `5x = 28` zodat `x = 5,6` .

Weer krijg je `(5,6 ; 1,2)` .

c

`{(x + 2y = 8),(3x - 4y = 12):}` geeft `{(2x + 4y = 16),(3x - 4y = 12):}` .

Nu beide vergelijkingen optellen (want dan valt `y` weg): `5x = 28` en dit geeft `x = 5,6` .

Weer vind je `(5,6 ; 1,2 )` .

Opgave 2
a

Neem bijvoorbeeld de substitutiemethode.

Schrijf `m: x =text(-)4y + 10` en vul dit in de andere vergelijking in: `2(text(-)4y + 10) - 3y = 6` .

Dit geeft: `text(-)8y + 20 - 3y = 6` en dus `text(-)11y = text(-)14` zodat `y = 14/11` .

Dan is `x = text(-)4 * 14/11 + 10 = 54/11` . Het snijpunt wordt `(4 10/11 , 1 3/11)` .

b

De vergelijking van `l` levert meteen op `x =text(-)3` .

Dit vul je in de andere vergelijking in: `text(-)15 + 2y = 20` geeft `y = 35/2 = 17 1/2` .

Het snijpunt wordt `(text(-)3, 17 1/2)` .

Opgave 3

Gebruik de balansmethode als je veel gereken met breuken wilt vermijden.

`{(5x-3y=15),(2x-6y=11):}`

wordt:

`{(10x-6y=30),(2x-6y=11):}`

Beide vergelijkingen van elkaar aftrekken: `8x = 19` geeft `x = 2 3/8` .

Dit moet je nog wel in een van beide vergelijkingen invullen: `2 * 2 3/8 - 6y = 11` geeft `y = text(-)1 1/24` . Het snijpunt wordt `(2 3/8 , text(-)1 1/24 )` .

Opgave 4

De vergelijking van `m` kun je meteen invullen in die van `l` : `2x + 3(4 - 2/3 x) = 6` geeft `12 = 6` .

Dat is onmogelijk, dus je kunt geen `x` en ook geen snijpunt berekenen.

Je kunt de vergelijking van `l` herleiden tot `y =text(-) 2/3 x + 2` en die van `m` tot `y =text(-) 2/3 x + 4` . Beide lijnen hebben dezelfde richtingscoëfficiënt, dus ze zijn evenwijdig.

Opgave 5
a

Lijnen niet evenwijdig: één oplossing.

Lijnen vallen samen: oneindig veel oplossingen.

Lijnen evenwijdig en niet samenvallend: geen oplossing.

b

Probeer de snijpunten te berekenen en je zult zien dat het niet lukt.

Als je beide vergelijkingen omschrijft naar `y=...` , dan zie je dat beide lijnen dezelfde rc hebben en dus evenwijdig zijn (zonder samen te vallen omdat de vergelijkingen toch verschillend zijn; de snijpunten met de `y` -as zijn verschillend).
Het aantal snijpunten is `0` .

c

Oneindig veel gemeenschappelijke punten, de lijnen vallen samen.

Opgave 6

`m: y = 2x - 4` invullen in de cirkelvergelijking geeft `x^2 + (2x - 4)^2 = 25` .

Dit levert op: `5x^2 - 16x - 9 = 0` en dus `x ~~ text(-)0,49 vv x ~~ 3,69` .

De snijpunten zijn `(text(-)0,49 ; text(-)4,98 )` en `(3,69 ; 3,38 )` .

Opgave 7

`0` , `1` , of `2` .

Opgave 8

Vul de vergelijking van `k` in die van `c` in: `x^2 + (text(-)0,75x + 6,25)^2 = 25`

Dit levert op: `1,5625x^2 - 9,375x + 14,0625 = 0` en met de abc-formule: `x = 3` .

Er is maar één snijpunt, namelijk `(3, 4)` .

Opgave 9

`m: y=text(-)1/3 x+4/3` invullen in de vergelijking van `l` geeft `2x - (text(-)1/3 x + 4/3) = 2` en dus `7/3 x = 10/3` , zodat `x = 10/7`

Opgave 10

`{(2x - y = 2),(x + 3y = 4):}`

omschrijven naar

`{(2x - y = 2),(2x + 6y = 8):}`

Beide vergelijkingen van elkaar aftrekken geeft: `text(-)7y = text(-)6` en dus `y = 6/7` .

Dit moet je nog invullen in één van beide gegeven vergelijkingen.

Snijpunt `(10/7 , 6/7)` .

Opgave 11
a

`m: x = 10 - 4y` invullen in de vergelijking van `l` geeft `2(10 - 4y) - 3y = 6` en dus `y = 14/11` . Dit invullen geeft `x = 10 - 4 * 14/11 = 4 10/11` . Dus je krijgt `(4 10/11 , 1 3/11)` .

b

`l` herleiden naar `y =text(-)3` en invullen in de vergelijking van `m` geeft `x = 5 1/5` .

Dus je krijgt `(5 1/5, text(-)3)` .

c

`y = 4 - 2/3 x` invullen in de vergelijking van `l` geeft `2x - 3(4 - 2/3 x) = 6` .

Hieruit volgt: `4x = 18` en dus `x = 4 1/2` . Hierbij vind je `y = 1` .

Dus het snijpunt is `(4 1/2, 1)` .

Opgave 12
a

Nu wil je `p` berekenen als `l` en `m_p` geen snijpunt hebben. Weer schrijf je de vergelijking van `l` als `y=2 x-2` . Vul dit in de vergelijking van `m_p` in: `x+p(2 x-2 )=4` . Dit geeft: `(1 +2 p)x=4 +2 p` . Deze laatste vergelijking heeft geen oplossingen als `1 +2 p = 0` en `4 + 2 p != 0` . Dus alleen voor `p=text(-)0,5` hebben `l` en `m_p` geen oplossing.

b

`l: x = 12 - 5y` invullen in de vergelijking van `m_p` geeft: `p(12 - 5y) - y = 4` .

Dus je vindt: `12p - 5py - y = 4` .

Er is geen oplossing als de `y` wegvalt, dus als `text(-)5p = 1` . Dat geeft `p = text(-)1/5` .

Opgave 13

Het beste kun je nu in de vergelijking van `c_2` de haakjes wegwerken: `x^2 +y^2 -4 x-6 y=text(-)4` .

Vervolgens pas je de balansmethode toe op het stelsel:

`{(x^2 +y^2 -4 x-6 y =text(-)4), (x^2 +y^2 = 25):}`

Je ziet dat door de beide linkerzijden en de beide rechterzijden van elkaar af te trekken er een lineaire uitdrukking overblijft: `text(-)4 x-6 y=text(-)29` ofwel: `x=text(-)1,5 y+7,25` .

Dit vul je in een van beide cirkelvergelijkingen in: `(text(-)1,5 y+7,25) ^2 +y^2 =25` .

Hieruit bereken je de twee `y` -waarden van de snijpunten. De twee `y` -waarden vind je dan weer met `x=text(-)1,5 y+7,25` .

`(text(-)1,5 y+7,25) ^2 +y^2 =25` oplossen geeft `y=1,7` en `y=5,0` .

Dit invullen in `x=text(-)1,5 y+7,25` geeft `x=4,7` en `x=text(-)0,25` ;

je vindt `(4,7 ; 1,7 )` en `(text(-)0,25 ; 5,0 )` .

Opgave 14
a

De `x` -as heeft vergelijking `y = 0` .

Dit geeft `(x - 3)^2 + 5^2 = 25` en dus `x = 3` . Het enige snijpunt is `(3, 0)` .

b

De `y` -as heeft vergelijking `x = 0` .

Dit geeft `(text(-)3)^2 + (y + 5)^2 = 25` ofwel `(y + 5)^2 = 16` zodat `y = text(-)9 vv y = text(-)1` .

De snijpunten worden `(0, text(-)1)` en `(0, text(-)9)` .

c

`k: y = 1 - x` invullen in de cirkelvergelijking: `(x - 3)^2 + (6 - x)^2 = 25` .

Hieruit volgt: `2x^2 - 18x + 20 = 0` en dus `x^2 - 9x + 10 = 0` .

Dit geeft met de abc-formule `x ~~ 7,70 vv x ~~ 1,30` . En deze waarden vul je in `y = 1 - x` in.

De snijpunten worden `(1,30 ; text(-)0,30 ), (7,70 ; text(-)6,70 )` .

Opgave 15
a

Bij beide vergelijkingen haakjes uitwerken geeft:

`{(x^2 + y^2 - 4y = 5),(x^2 + y^2 - 4x = 5):}`

Beide vergelijkingen van elkaar aftrekken geeft `text(-)4y + 4x = 0` ofwel `y = x` .

Dit invullen in de vergelijking van (bijvoorbeeld) `c_1` geeft `x^2 + (x - 2)^2 = 9` en dus `2x^2 - 4x - 5 = 0` . Met de abc-formule levert dit `x ~~ text(-)0,87 vv x ~~ 2,87` op.

De snijpunten zijn daarom `(text(-)0,87 ; text(-)0,87 )` en `(2,87 ; 2,87 )` .

b

Voor de `x` -as geldt `y = 0` , dus `x^2 + 4 = 9` zodat `x = text(-)sqrt(5) vv x=sqrt(5)` . Dit levert op `(text(-)sqrt(5), 0)` en `(sqrt(5),0)` .

Voor de `y` -as geldt `x = 0` , dus `(y - 2)^2 = 9` zodat `y = 5 vv y = text(-)1` . Dit levert op `(0, 5)` en `(0, text(-)1)` .

c

`l` gaat door `M_1(0, 2)` en `M_2(2, 0)` en heeft dus vergelijking `y = text(-)x + 2` .

Dit invullen in de vergelijking van `c_1` geeft `x^2 + (text(-)x)^2 = 9` en dus `x^2 = 4,5` . Dus `x = text(-)sqrt(4,5) vv x= sqrt(4,5)` . Je vindt `(2,12 ; text(-)0,12)` en `(text(-)2,12; 4,12 )` .

d

De vier snijpunten zijn (die van `c_2` en `l` moet je nog uitrekenen): `(2,12 ; text(-)0,12)` en `(text(-)2,12; 4,12 )` en `(text(-)0,12 ; 2,12)` en `(4,12; text(-)2,12 )` .

De grootste afstand is die tussen `(text(-)2,12 ; 4,12)` en `(4,12; text(-)2,12 )` . Die is ongeveer `8,8` . Maak eventueel een schets.

Opgave 16
a

Schrijf de vergelijking van de lijn als `x = 4 – py` en substitueer dit in `x^2 + y^2 = 4` geeft `(4 – py)^2 + y^2 = 4`

Dus `(8p)^2 – 4 · 12 · (1 + p^2) = 0` en `p = sqrt(3)` en `p = text(-)sqrt3` .

b

`y = ax + 3` invullen in de cirkelvergelijking geeft `x^2 + (ax + 3)^2 = 4` en dus `(1 + a^2)x^2 + 6ax + 5 = 0` .

`D = 0` geeft `36a^2 - 20(1 + a^2) = 0` en dus `a^2 = 5/4` .

Dus `a = text(-)1/2 sqrt(5) vv a= 1/2 sqrt(5)` .

Opgave 17

Snijd de cirkel met de lijn `m` : `x^2+(4x+p)^2=25` .
Dit geeft `x^2+16x^2+8px+p^2=25` en `17x^2+8px+p^2-25=0` .
Nu moet `D=b^2-4ac=0` zodat `(8p)^2-4*17*(p^2-25)=0` .

Haakjes wegwerken: `64p^2-68p^2+1700=0` en `4p^2=1700` .
Dus `p=+-sqrt(425)` .

Opgave 18
a

`l: y = 6 - x` geeft `(x-1)^2 + (5 - x)^2 = 10` en dus `x^2 -6x + 8 = 0` zodat `x = 2 vv x = 4` .

Je krijgt daarmee de snijpunten `(2, 4)` en `(4, 2)` .

b

`k: x = 6 - 1,5y` invullen geeft `5(6 - 1,5y) - 2y = 10` en dus `y = 40/19` .

Het snijpunt is `(54/19 , 40/19)` , dus ongeveer `(2,84; 2,11)` .

c

`{(x^2+y^2=6),(x^2+y^2-2x-2y=8):}` geeft `2x + 2y = text(-)2` ofwel `y = text(-)x -1` .
Dit invullen in `x^2+y^2=6` geeft `x^2+(x + 1)^2 =6` en dus `x ~~ 1,16 vv x ~~ text(-)2,16` .

De snijpunten zijn `(1,16; text(-)2,16)` en `(text(-)2,16; 1,16)` .

Opgave 19

`2x = y + 6` kun je herleiden tot `y = 2x - 6` .

Dit geeft `ax + 4(2x - 6) = 10` ofwel `ax + 8x = 34` . Er zijn geen oplossingen als `a = text(-)8` want dan verdwijnt de variabele `x` uit deze vergelijking.

Opgave 20

`l: y = text(-)0,6x + 3` invullen in `c: (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 16` geeft `x ~~ text(-)1,03 vv x ~~ 5,73` .

Snijpunten:  `(text(-)1,03 ; 3,62)` , `(5,73 ; text(-)0,44)` ; de afstand is ongeveer `7,9` .

Opgave 21
a

`c: (x - 3)^2 + y^2 = 4`
Middelpunt: `M(3, 0)`
Straal: `2`

b

`x^2 + a^2x^2 - 6x + 5 = 0` geeft `(1 + a^2)x^2 - 6x + 5 = 0` .

`D = 36 - 20(1 + a^2) = 0` geeft `a = text(-)sqrt(0,8) vv a= sqrt(0,8)` .

c

`x^2 + (x + b)^2 - 6x + 5 =0` geeft `2x^2 + (2b - 6)x + b^2 + 5 ` .

`D=(2b - 6)^2 - 8(b^2 + 5) = 0` geeft `b = text(-)3 - sqrt8 vv b = text(-)3 + sqrt8` .

Opgave 22

De vergelijking van de cirkel heeft de vorm: `c: (x-7)^2+(y-4)^2=r^2` .
De lijn `x+y=2` kun je omschrijven naar `y=text(-)x+2` . 
Invullen in de cirkelvergelijking `(x-7)^2+(text(-)x-2)^2=r^2` en dus `2x^2 - 10x + 53 - r^2 = 0` .
De discriminant ven deze vergelijking moet `0` zijn, dus `100 - 8(53 - r^2) = 0` .
Dit geeft `r^2=40,5` .

De gevraagde cirkel wordt `c:(x-7)^2+(y-4)^2=40,5` .

Opgave 23

Schrijf de vergelijking van `l` als `y=text(-)4/3` .
De raaklijn heeft vergelijking `r: y=text(-)4/3x+q` .
Snijden met de cirkel geeft `x^2+(text(-)4/3x+q)^2-25=0` en dus `25x^2-24qx+9q^2-225=0` .
`D=(text(-)24q)^2-4*25*(9q^2-225)=0` geeft `q=text(-)8 1/3 vv q= 8 1/3` .
De gevraagde vergelijkingen van de raaklijnen zijn `y=text(-)4/3x+8 1/3` en `y=text(-)4/3x-8 1/3` .

Opgave 24Bereik hebben
Bereik hebben

Met de `x` -as als A1 en `M(0 , 15 )` als mast wordt de grens van het bereik gegeven door de cirkel: `x^2 + (y-15) ^2 =900` . De cirkel snijden met `x` -as: `y = 0` geeft `x^2 + 225 = 900` en dus `x = text(-)sqrt(675) vv x=sqrt(675)` . De gevraagde afstand is `2 * sqrt(675) ~~ 52,0` km.

Opgave 25Gelijkbenige driehoek
Gelijkbenige driehoek
a

De straal van `c_1` is `2a` en het middelpunt `A(text(-)a, 0)` .

Dus `c_1 : (x+a) ^2 +y^2 =4 a^2` .

b

De straal van `c_2` is `2a` en het middelpunt `B(a, 0)` .

Dus `c_2 : (x-a) ^2 +y^2 =4 a^2` .

c

`{(x^2 + y^2 + 2ax = 3a^2),(x^2 + y^2 - 2ax = 3a^2):}`

geeft `4ax = 0` en dus `x = 0` .
Dit betekent `a^2 + y^2 = 4a^2` zodat `y =text(-)sqrt(3a^2) = text(-)a sqrt(3) vv y= a sqrt(3)` . Dus zijn de snijpunten `(0, a sqrt(3))` en `(0, text(-)a sqrt(3))` .

d

Neem `C(0, a sqrt(3))` .
Dan is `|AC| = sqrt(4a^2) = 2a` en `|BC| = sqrt(4a^2) = 2a` . Ook `|AB|=2a` .

Opgave 26
a

`(text(-)4, 4 )`

b

`(4 , 2 )` en `(12 , 0 )`

c

`(2, text(-)6)` en `(2 , 0 )`

Opgave 27

`p=text(-)2/7`

Opgave 28
a

`(text(-)1,03 ; 3,62 )` , `(5,73 ; text(-)0,44 )` , de afstand is ongeveer `7,9` .

b

`y = (5/6 + 1/3 sqrt(13))x +6` en `y = (5/6 - 1/3 sqrt(13))x +6`

verder | terug