Analytische meetkunde > Snijden en raken
123456Snijden en raken

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Lijn door en : .

Cirkel met middelpunt en straal : .

b

Snijpunten zijn en .

De gevraagde afstand is cm.

c

km.

Opgave 1
a

en geeft:

Het snijpunt wordt

b

invullen in de andere vergelijking geeft .

Hieruit volgt en dus zodat .

Weer krijg je .

c

geeft .

Nu beide vergelijkingen optellen (want dan valt weg): en dit geeft .

Weer vind je .

Opgave 2
a

Neem bijvoorbeeld de substitutiemethode.

Schrijf en vul dit in de andere vergelijking in: .

Dit geeft: en dus zodat .

Dan is . Het snijpunt wordt .

b

De vergelijking van levert meteen op .

Dit vul je in de andere vergelijking in: geeft .

Het snijpunt wordt .

Opgave 3

Gebruik de balansmethode als je veel gereken met breuken wilt vermijden.

wordt:

Beide vergelijkingen van elkaar aftrekken: geeft .

Dit moet je nog wel in een van beide vergelijkingen invullen: geeft . Het snijpunt wordt .

Opgave 4

De vergelijking van kun je meteen invullen in die van : geeft .

Dat is onmogelijk, dus je kunt geen en ook geen snijpunt berekenen.

Je kunt de vergelijking van herleiden tot en die van tot . Beide lijnen hebben dezelfde richtingscoëfficiënt, dus ze zijn evenwijdig.

Opgave 5
a

Lijnen niet evenwijdig: één oplossing.

Lijnen vallen samen: oneindig veel oplossingen.

Lijnen evenwijdig en niet samenvallend: geen oplossing.

b

Probeer de snijpunten te berekenen en je zult zien dat het niet lukt.

Als je beide vergelijkingen omschrijft naar , dan zie je dat beide lijnen dezelfde rc hebben en dus evenwijdig zijn (zonder samen te vallen omdat de vergelijkingen toch verschillend zijn; de snijpunten met de -as zijn verschillend).
Het aantal snijpunten is .

c

Oneindig veel gemeenschappelijke punten, de lijnen vallen samen.

Opgave 6

invullen in de cirkelvergelijking geeft .

Dit levert op: en dus .

De snijpunten zijn en .

Opgave 7

,, of .

Opgave 8

Vul de vergelijking van in die van in:

Dit levert op: en met de abc-formule: .

Er is maar één snijpunt, namelijk .

Opgave 9

invullen in de vergelijking van geeft en dus , zodat

Opgave 10

omschrijven naar

Beide vergelijkingen van elkaar aftrekken geeft: en dus .

Dit moet je nog invullen in één van beide gegeven vergelijkingen.

Snijpunt .

Opgave 11
a

invullen in de vergelijking van geeft en dus . Dit invullen geeft . Dus je krijgt .

b

herleiden naar en invullen in de vergelijking van geeft .

Dus je krijgt .

c

invullen in de vergelijking van geeft .

Hieruit volgt: en dus . Hierbij vind je .

Dus het snijpunt is .

Opgave 12
a

Nu wil je berekenen als en geen snijpunt hebben. Weer schrijf je de vergelijking van als . Vul dit in de vergelijking van in: . Dit geeft: . Deze laatste vergelijking heeft geen oplossingen als en . Dus alleen voor hebben en geen oplossing.

b

invullen in de vergelijking van geeft: .

Dus je vindt: .

Er is geen oplossing als de wegvalt, dus als . Dat geeft .

Opgave 13

Het beste kun je nu in de vergelijking van de haakjes wegwerken: .

Vervolgens pas je de balansmethode toe op het stelsel:

Je ziet dat door de beide linkerzijden en de beide rechterzijden van elkaar af te trekken er een lineaire uitdrukking overblijft: ofwel: .

Dit vul je in een van beide cirkelvergelijkingen in: .

Hieruit bereken je de twee -waarden van de snijpunten. De twee -waarden vind je dan weer met .

oplossen geeft en .

Dit invullen in geeft en ;

je vindt en .

Opgave 14
a

De -as heeft vergelijking .

Dit geeft en dus . Het enige snijpunt is .

b

De -as heeft vergelijking .

Dit geeft ofwel zodat .

De snijpunten worden en .

c

invullen in de cirkelvergelijking: .

Hieruit volgt: en dus .

Dit geeft met de abc-formule . En deze waarden vul je in in.

De snijpunten worden .

Opgave 15
a

Bij beide vergelijkingen haakjes uitwerken geeft:

Beide vergelijkingen van elkaar aftrekken geeft ofwel .

Dit invullen in de vergelijking van (bijvoorbeeld) geeft en dus . Met de abc-formule levert dit op.

De snijpunten zijn daarom en .

b

Voor de -as geldt , dus zodat . Dit levert op en .

Voor de -as geldt , dus zodat . Dit levert op en .

c

gaat door en en heeft dus vergelijking .

Dit invullen in de vergelijking van geeft en dus . Dus . Je vindt en .

d

De vier snijpunten zijn (die van en moet je nog uitrekenen): en en en .

De grootste afstand is die tussen en . Die is ongeveer . Maak eventueel een schets.

Opgave 16
a

Schrijf de vergelijking van de lijn als en substitueer dit in geeft

Dus en en .

b

invullen in de cirkelvergelijking geeft en dus .

geeft en dus .

Dus .

Opgave 17

Snijd de cirkel met de lijn : .
Dit geeft en .
Nu moet zodat .

Haakjes wegwerken: en .
Dus .

Opgave 18
a

geeft en dus zodat .

Je krijgt daarmee de snijpunten en .

b

invullen geeft en dus .

Het snijpunt is , dus ongeveer .

c

geeft ofwel .
Dit invullen in geeft en dus .

De snijpunten zijn en .

Opgave 19

kun je herleiden tot .

Dit geeft ofwel . Er zijn geen oplossingen als want dan verdwijnt de variabele uit deze vergelijking.

Opgave 20

invullen in geeft .

Snijpunten: , ; de afstand is ongeveer .

Opgave 21
a


Middelpunt:
Straal:

b

geeft .

geeft .

c

geeft .

geeft .

Opgave 22

De vergelijking van de cirkel heeft de vorm: .
De lijn kun je omschrijven naar
Invullen in de cirkelvergelijking en dus .
De discriminant ven deze vergelijking moet zijn, dus .
Dit geeft .

De gevraagde cirkel wordt .

Opgave 23

Schrijf de vergelijking van als .
De raaklijn heeft vergelijking .
Snijden met de cirkel geeft en dus .
geeft .
De gevraagde vergelijkingen van de raaklijnen zijn en .

Opgave 24Bereik hebben
Bereik hebben

Met de -as als A1 en als mast wordt de grens van het bereik gegeven door de cirkel: . De cirkel snijden met -as: geeft en dus . De gevraagde afstand is km.

Opgave 25Gelijkbenige driehoek
Gelijkbenige driehoek
a

De straal van is en het middelpunt .

Dus .

b

De straal van is en het middelpunt .

Dus .

c

geeft en dus .
Dit betekent zodat . Dus zijn de snijpunten en .

d

Neem .
Dan is en . Ook .

Opgave 26
a

b

en

c

en

Opgave 27

Opgave 28
a

, , de afstand is ongeveer .

b

en

verder | terug