Analytische meetkunde > Snijden en rakenVoorbeeld 1
Je ziet de twee rechten
`l: 2x - y = 2`
en
`m: x + 3y = 4`
.
Bereken hun snijpunt.
`m`
is een rechte uit de familie
`m_p : x + py = 4`
. Door parameter
`p`
te variëren, kun je ervoor zorgen dat
`l`
en
`m_p`
geen snijpunt hebben.
Voor welke waarde van
`p`
is dit het geval?
Schrijf de vergelijking van
`l`
als
`y = 2x - 2`
. Vul dit in de vergelijking van
`m`
in:
`x + 3(2x - 2) = 4`
. Dit geeft
`x = 10/7`
en
`y = 2 * 10/7 - 2 = 6/7`
.
Het snijpunt is
`(10/7 , 6/7)`
.
Nu wil je
`p`
berekenen als
`l`
en
`m_p`
geen snijpunt hebben. Weer schrijf je de vergelijking van
`l`
als
`y = 2x - 2`
.
Vul dit in de vergelijking van
`m_p`
in:
`x + p(2x - 2) = 4`
.
Dit geeft:
`(1 + 2p)x = 4 + 2p`
. Deze laatste vergelijking heeft geen oplossingen als
`1 + 2p = 0`
.
Dus alleen voor
`p = text(-)0,5`
hebben
`l`
en
`m_p`
geen snijpunt.
Een andere methode is de volgende: schrijf beide vergelijkingen van de lijnen in de
vorm
`y=...`
. Je krijgt
`l: y = 2x - 2`
en
`m_p: y = text(-)1/p x + 4/p`
.
De lijnen snijden elkaar niet als ze evenwijdig lopen: de richtingscoëfficiënten moeten
dus hetzelfde zijn. Er moet dan gelden
`2 = text(-)1/p`
en dit geeft
`p = text(-)0,5`
.
Het snijpunt van
`l: 2x - y = 2`
en
`m: x + 3y = 4`
kan je berekenen met substitutie.
Daarbij wordt de vergelijking van
`l`
herschreven naar
`y = ...`
, en ingevuld in
`m`
. Voer deze berekening nog eens uit, maar nu door de vergelijking van
`m`
te herschrijven en dan in te vullen.
Bereken het snijpunt van `l` en `m` ook met de balansmethode.
Bereken het snijpunt van `l` en `m` .
`l: 2x - 3y = 6` en `m: x + 4y = 10`
`l: 4y = text(-)12` en `m: 5x + 2y = 20`
`l: 2x - 3y = 6` en `m: y = 4 - 2/3 x`
`l: 2x - y = 2` en `m_p : x + py = 4` .
Bereken voor welke `p` de lijnen `l` en `m` evenwijdig lopen.
Gegeven zijn de lijnen `l: x + 5y = 12` en `m_p : px - y = 4` . Voor welke waarde van `p` hebben deze lijnen geen snijpunt?