Analytische meetkunde > Snijden en raken
123456Snijden en raken

Uitleg

Stel je wilt het snijpunt van de lijnen `l: x+2 y=8` en `m: 3 x-4 y=12` berekenen. Daarvoor bestaan meerdere methodes:

  • Methode I: je kunt beide vergelijkingen herschrijven naar de vorm `y=...` Je kunt dan beide uitdrukkingen in `x` gelijkstellen en de vergelijking die ontstaat, oplossen.

  • Methode II (substitutiemethode): je schrijft een van beide vergelijkingen in de vorm `x=...` of `y=...` Hier lukt dat gemakkelijk met `l: x=8 -2 y` . Dit vul je in de andere vergelijking in: `3 (8 -2 y)-4 y=12` . En hieruit bepaal je de `y` -waarde van het snijpunt en vervolgens de `x` -waarde.

  • Methode III (balansmethode): je kunt ook beide vergelijkingen optellen of aftrekken links en rechts van het isgelijkteken. Maar daar heb je alleen wat aan als of de `x` of de `y` als variabele wegvalt.
    `{ (x+2 y=8), (3 x-4 y=12) :}` wordt `{ (2 x+4 y=16), (3 x-4 y=12) :}`
    Tel je nu beide vergelijkingen links en rechts van het isgelijkteken op, dan krijg je: `5 x=28` en dus `x=5,6` . De bijbehorende `y` -waarde vind je uit `5,6 +2 y=6` .

Dit zijn drie methodes om een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden op te lossen.

Opgave 1

Bestudeer de Uitleg 1. Het is nuttig om alle drie de oplossingsmethoden om het snijpunt van lijnen te berekenen goed te beheersen. Soms is de éne, dan weer de andere handiger.

a

Bereken het snijpunt van de lijnen `l` en `m` door beide vergelijkingen om te schrijven naar de vorm `y=...` . Doe dit algebraïsch.

b

Bereken het snijpunt van `l` en `m` ook door middel van substitutie.

c

En werk ten slotte de balansmethode nog een keer door.

Opgave 2

Bereken het snijpunt van `l` en `m` in de volgende gevallen.

a

`l:2 x-3 y=6` en `m:x+4 y=10`

b

`l:4 x+12 =0` en `m:5 x+2 y=20`

Opgave 3

Welke van de drie methodes werkt het beste als je het snijpunt van de lijnen `p:5 x-3 y=15` en `q:2 x-6 y=11` wilt berekenen? Bereken dit snijpunt.

Opgave 4

Bereken het snijpunt van `l:2 x+3 y=6` en `m:y=4 - 2/3 x` . Wat gaat er mis? Licht je antwoord toe.

Opgave 5

Het snijpunt van twee lijnen bereken je door het stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen.

a

Hoeveel oplossingen kan een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden hebben? Schrijf alle mogelijke situaties op.

b

Hoeveel snijpunten hebben de lijnen `x+2 y=6` en `2 x+4 y=10` ?

c

Hoeveel snijpunten hebben de lijnen `x+2 y=6` en `2 x+4 y=12` ?

verder | terug