Ja.

Vul het punt `P` met de coördinaten `(3, 5)` in de cirkelvergelijking `(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 13` in.

Dit levert `(3-1)^2 + (5-2)^2 = 13` ofwel `2^2 + 3^2 = 13` en dit klopt. `P` ligt dus op de cirkel.

De richtingscoëfficiënt van lijn `MP` is `3/2` . De richtingscoëfficiënt van een loodlijn daarop is `text(-)2/3` want `3/2 * text(-)2/3 = text(-)1` . De raaklijn heeft dus een vergelijking van de vorm `y = text(-)2/3 x + b` . Vul daarin de coördinaten van `P` in en je vindt `b = 7` . De raaklijn in `P` aan `c` heeft dus vergelijking `y = text(-)2/3 x + 7` .

De lijn `AB` heeft vergelijking `y = text(-)1/2 x + 4` en dus een richtingscoëfficiënt van `text(-)1/2` .

Een lijn daar loodrecht op heeft een richtingscoëfficiënt `r` waarvoor geldt `text(-)1/2 * r = text(-)1` , dus `r = 2` .

De lijn door `C` loodrecht op `AB` heeft dus als vergelijking `y = 2x + 5` .

De lijn `AB` heeft vergelijking `y = text(-)1/2 x + 4` en dus een richtingscoëfficiënt van `text(-)1/2` .

Een lijn daar loodrecht op heeft een richtingscoëfficiënt `r` waarvoor geldt `text(-)1/2 * r = text(-)1` , dus `r = 2` .

De lijn door het midden `(3; 2,5)` van `AB` en loodrecht op `AB` heeft dus als vergelijking `y = 2x - 3,5` .

`c` heeft middelpunt `M(2, text(-3))` , dus de helling van `MQ` is `(text(-)3-text(-)6)/(2-6) = text(-)3/4` . De helling van de raaklijn door `Q` is dus `4/3` .

De raaklijn is dus van de vorm `y = 4/3 x + b` .
Invullen van `Q(6, text(-)6)` geeft `text(-)6 = 4/3 * 6 + b` en `b = text(-)14` .

Raaklijnvergelijking: `y = 4/3 x - 14` .

Eigen antwoorden.

`M` moet even ver van `A` als van `B` liggen en moet dus op de middelloodlijn van `AB` liggen. `M` moet ook even ver van `B` als van `C` liggen en dus op de middelloodlijn van `BC` liggen.

De middelloodlijn van `AB` heeft vergelijking `y = text(-)2x + 7` . De middelloodlijn van `BC` heeft vergelijking `y = 0,5x - 0,5` . Het middelpunt van de cirkel is het snijpunt van deze twee lijnen en dus `M(3, 1)` . De straal van de cirkel is `sqrt(10)` .

De cirkel `c` heeft vergelijking `(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 10` .

De richtingscoëfficiënt van `MA` is `(2-1)/(0-3) = text(-)1/3` . De raaklijn aan `c` in `A` heeft dus een richtingscoëfficiënt `3` , want `text(-)1/3*3 = text(-)1` .

De raaklijn heeft dus de vorm `y = 3x + b` . Nu `A(0, 2)` invullen geeft:

`2 = 3*0 + b` , ofwel `y = 3x + 2` .

`x^2 + y^2 = 1`

Op de `x` -as vind je: `B(1 , 0)` , `A(text(-)1 , 0)` .

De snijpunten met `y = ax` vind je uit `x^2 + (ax)^2 = 1` , dus uit `(1 + a^2)x^2 = 1` zodat `x^2 = 1/(1 + a^2)` en `x = text(-) 1/(sqrt(1 + a^2)) vv x= 1/(sqrt(1 + a^2))` .

Dus: `C(1/(sqrt(1 + a^2)) , a/(sqrt(1 + a^2)))` , `D(text(-)1/(sqrt(1 + a^2)), (text(-)a)/(sqrt(1 + a^2)))` .

Laat zien dat in `△ABC` geldt: `| AC |^2 + | BC |^2 = 4 = | AB |^2` . Pythagoras klopt, zodat `△ABC` rechthoekig is, waardoor `AC⊥BC` . Net zo bij andere zijden, dus het is een rechthoek. En dus is ook `/_C` recht.

Je kunt in plaats hiervan ook laten zien dat het product van de richtingscoëfficiënten van de lijnen `AC` en `BC` gelijk is aan `text(-)1` .

Omdat een rechthoekige driehoek de helft van een rechthoek is.

`AB` en `CD` zijn beide diameters van een cirkel en dus even lang. Ook delen ze elkaar middendoor.

Een vierhoek met even lange diagonalen die elkaar middendoor delen, is een rechthoek.

Als een rechthoekige `Delta ABC` een rechte hoek heeft bij `C` dan is `AB` de middellijn van een cirkel door alle drie de hoekpunten van `Delta ABC` .

Dat het midden `M` van lijnstuk `AB` even ver van `C` als van `A` en `B` af ligt.

Neem `A(a, 0)` , `B(0, b)` en `C(0,0)` , dan is `M(1/2 a, 1/2 b)` .

Laat zien, dat `|MC| = |MA| = |MB| = sqrt(1/4 a^2 + 1/4 b^2)`

De gevraagde lijn moet door punt `P(120, 31)` gaan en loodrecht staan op lijn `l` .

Lijn `l` heeft richtingscoëfficiënt `5/8` .
Dus de gevraagde lijn heeft richtingscoëfficiënt `text(-)8/5` .
Gebruik de coördinaten van punt om de waarde van `b` uit te rekenen. Je vindt `y = text(-)1,6x + 223` .

Punt `S` is `(102 9/89, 59 284/445)` .
Dus `PS = sqrt((17 80/89)^2 + (28 284/445)^2) ~~ 33,77`

Bepaal eerst het midden van `PQ` : `M(122, 34)` . De richtingscoëfficiënt van `PQ` is `3/2` . Die van de loodlijn dus `text(-)2/3` . Gebruik de coördinaten van `M` en de gevonden richtingscoëfficiënt voor de middelloodlijn en je vindt `y = text(-)2/3 x + 115 1/3` .

De richtingscoëfficiënt van `AB` is `2/5` , dus die van elke loodlijn daarop is `text(-)5/2 = text(-)2,5` .

`y = text(-)2,5x + b` door `C` geeft `b = 10` , dus de gevraagde vergelijking wordt `p: y = text(-)2,5x + 10` .

Los op `0,4x + 2 =text(-)2,5x + 10` en je vindt `x = 80/29` .

Het snijpunt is `D(2 22/29, 3 3/29) ≈ D(2,76 ; 3,10 )` .

`|AB| = sqrt((5 - 0)^2 + (4 - 2)^2) = sqrt(29)`

`|CD| = sqrt((2 - 2 22/29)^2 + (5 - 3 3/29)^2) = 11/29 sqrt(29)`

De gevraagde oppervlakte is `1/2 * sqrt(29) * 11/29 sqrt(29) = 5,5` .

De coördinaten van `A` voldoen aan de gegeven vergelijking en dus ligt dit punt op `c` . Om na te gaan dat `B` buiten de cirkel ligt, herleid je de cirkelvergelijking tot `(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 25` . Het middelpunt van de cirkel is `M(4, 2)` en de straal is `5` . Nu moet je alleen nog nagaan dat `|BM| > 5` . Dat kan met de stelling van Pythagoras. Je vindt dan dat `|BM| = 5sqrt(2)` .

Lijn `AM` heeft een richtingscoëfficiënt van `3/4` , dus de raaklijn heeft een richtingscoëfficiënt van `text(-)4/3` .

De raaklijn is een lijn met rc `text(-)4/3` door `A(8, 5)` en heeft dus vergelijking `y = text(-)4/3 x + 15 2/3` .

De richtingscoëfficiënt is onbekend, dus (bijvoorbeeld) `a` . Je krijgt dan `y = ax + b` en omdat beide lijnen door `B(text(-)3, 3)` moeten gaan, geldt `b = 3 + 3a` .

Vul `y = ax + 3 + 3a` in de cirkelvergelijking in en werk de haakjes weg. Je vindt dan `y = 3/4 x + 5 1/4` en `y = text(-)4/3 x - 1` .

`y = c/b x`

Het midden `M` van `BC` is `M((a-b)/2, c/2)` .
Richtingscoëfficiënt `AM = (c/2 - 0)/((a+b)/2 + a)=(c/2)/((3a + b)/2) = c/(3a+b)` .

Invullen van bijvoorbeeld `A(text(-)a, 0)` levert `y = c/(3a + b) x + (ac)/(3a + b)` .

`(c)/(3a + b) x + (ac)/(3a + b) = c/b x` geeft `(c/b - c/(3a + b)) x = (ac)/(3a + b)` en hieruit volgt `x = 1/3 b` . Je krijgt zo `Z(1/3 b, 1/3 c)` .

Voor de derde zwaartelijn geldt `y = (c)/(text(-)3a + b) x - (ac)/(text(-)3a + b)` . Het punt `Z` voldoet aan deze vergelijking.

Neem `OA` als middellijn van een cirkel. Omdat `OP` en `AQ` hoogtelijnen zijn, zij de hoeken bij `P` en `Q` recht. De stelling van Thales zegt dat als de schuine zijde van een rechthoekige driehoek de middellijn van een cirkel is, dat het hoekpunt bij de rechte hoek dan op die cirkel ligt. Dat is het geval bij zowel `P` als `Q` . `O` , `A` , `P` en `Q` liggen dus alle vier op dezelfde cirkel.

Lijn `OP` wordt `text(-)x + 2y = 0` en lijn `AB` wordt `text(-)2x - y = text(-)10` . Deze snijden levert het punt `P(4, 2)` .

Lijn `AQ` wordt `text(-)x - 3y = text(-)5` en lijn `OB` wordt `text(-)3x + y = 0` . Deze snijden levert het punt `Q(0,5; 1,5)` .

Middelpunt van de gevraagde cirkel is het midden van `OA` . Je vindt het middelpunt `M(2,5 ; 0)` . Je hebt dan `(x-2,5)^2 + y^2 = r^2` . Vul dan één van de vier punten in om de cirkelvergelijking te vinden: `(x-2,5)^2 + y^2 = 6,25` .

Raaklijn in `P` loodrecht op `MP` heeft vergelijking: `y = text(-)0,75x + 5` .
Raaklijn in `Q` loodrecht op `AQ` heeft vergelijking: `y = 4/3 x - 5/6` .
Snijpunt `S(2; 3,5)` .

`x = 0`

`y = (a - b)/(c) x + (a^2 - b^2 - 1)/(2c)`

`M(0, (a^2 - b^2 - 1)/(2c))`

Voor de derde middelloodlijn geldt `y = text(-)(a + b)/(c)x + (a^2 - b^2 - 1)/(2c)` . Het punt `M` voldoet aan deze vergelijking.

`y = text(-)3x + 80`

`|PS| ~~ 56,92`

`4^2 + 1^2 = 16 + 1 = 17` en `6*4 + 6*1 - 13 = 24 + 6 - 13 = 17` . Dus de coördinaten van `A` voldoen aan de gegeven vergelijking en dus ligt dit punt op `c` .

`y = 0,5 x - 1`

`y ~~ 0,23x` en `y ~~ 4,27x` .