Vectoren en goniometrie

Vectoren en goniometrie > Sinus, cosinus en tangens

123456Sinus, cosinus en tangens

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Noordelijke component: `cos(30^@)*500 = sin(60^@)*500~~433` .

Oostelijke component: `sin(30^@)*500 = cos(60^@)*500 = 250` .

`cos(120)*500 = text(-)250` . Met een richtingshoek van `120^@` wijst de vector naar het zuidoosten. De noordelijke component is dus negatief.

Opgave 1

`v_x = cos(40^@) ≈ 0,77`
`v_y = sin(40^@) ≈ 0,64`

`v_x = cos(140^@) ≈ text(-)0,77`
`v_y = cos(140^@) ≈ 0,64`

`v_x = cos(240^@) = text(-)0,5`
`v_y = sin(240^@) ≈ text(-)0,87`

`v_x = cos(340^@) ~~ 0,94`
`v_y = sin(340^@) ≈ text(-)0,34`

Alle componenten worden ook `500` keer zo groot.

Opgave 2

Als `α = 100^@` is de richtingshoek ten opzichte van de negatieve `x` -as `180^@ - 100^@ = 80^@` . Hieruit volgt dat de `y` -component hetzelfde is als bij `α = 80^@` .

Als `α = 100^@` is de richtingshoek ten opzichte van de negatieve `x` -as `180^@ - 100^@ = 80^@` . Hieruit volgt dat de `x` -component hetzelfde is als bij `α = 80^@` , maar dan negatief.

`253^@ = 180^@+73^@` geeft een vector met een richtingshoek van `253^@` gedraaid over `180^@` ten opzichte van een vector met richtingshoek `73^@` . Dit betekent dat de `y` -component negatief is ten opzichte van de vector met hoek `73^@` .

`280^@ = 360^@-80^@` geeft een vector met een richtingshoek van `280^@` gespiegeld in de `x` -as ten opzichte van een vector met richtingshoek `80^@` . Dit betekent dat de `x` -componenten hetzelfde zijn.

Opgave 3

Het punt op de eenheidscirkel bij `180^@-α` is het spiegelbeeld van dat bij `α` t.o.v. de `y` -as. De `y` -component van de bijbehorende vector is dus hetzelfde en de sinussen van beide hoeken zijn hetzelfde.

Het punt op de eenheidscirkel bij `180^@-α` is het spiegelbeeld van dat bij `α` t.o.v. de `y` -as. De `x` -component van de bijbehorende vector is dus even groot maar negatief.

`text(-)α` is ten opzichte van de positieve `x` -as dezelfde draaihoek als `α` , maar dan met de klok mee in plaats van tegen de klok in. De `y` -componenten (sinus) zijn tegengesteld van teken.

`text(-)α` is ten opzichte van de positieve `x` -as dezelfde draaihoek als `α` , maar dan met de klok mee in plaats van tegen de klok in. Voor de `x` -componenten (cosinus) maakt dat niks uit, die blijven hetzelfde.

Opgave 4

`sin(30^@) = 1/2` en `sin(60^@) = (sqrt(3))/2 = 1/2 sqrt(3)`
`cos(30^@) = 1/2 sqrt(3)` en `cos(60^@) = 1/2`
`tan(30^@) = 1/(sqrt(3)) = 1/3 sqrt(3)` en `tan(60^@) = (sqrt(3))/1 = sqrt(3)`

`sin(45^@) = 1/(sqrt(2)) = 1/2 sqrt(2)`
`cos(45) = 1/(sqrt(2)) = 1/2 sqrt(2)` en `tan(45^@) = 1`

hoek	`0^@`	`30^@`	`45^@`	`60^@`	`90^@`
sinus	`0`	`1/2`	`1/sqrt(2)`	`1/2 sqrt(3)`	`1`
cosinus	`1`	`1/2 sqrt(3)`	`1/sqrt(2)`	`1/2`	`0`
tangens	`0`	`1/3 sqrt(3)`	`1`	`sqrt(3)`

Opgave 5

In Voorbeeld 1 heb je gezien dat: `cos(60^@) = 1/2` en `sin(60^@) = 1/2 sqrt(3)` .
Nu is:
`sin(240^@) = text(-)sin(60^@) = text(-)1/2 sqrt(3)`
`sin(300^@) = text(-)sin(60^@) = text(-)1/2 sqrt(3)`
`cos(240^@) = text(-)cos(60^@) = text(-)1/2`
`cos(300^@) = cos(60^@) = 1/2`
`tan(240^@) = sqrt(3)` en `tan(300^@) = text(-)sqrt(3)`

Opgave 6

Voor een vector met lengte `1` en richtingshoek `α = 45^@` geldt:
`cos(45^@) = sin(45^@) = 1/2 sqrt(2)` en `tan(45^@) = 1` .

Hieruit volgt:
`sin(135^@) = sin(45^@) = 1/2 sqrt(2)`
`cos(135^@) = text(-)cos(45^@) = text(-)1/2 sqrt(2)`
`tan(135^@) = text(-)1`

`sin(225^@) = text(-)sin(45^@) = text(-)1/2 sqrt(2)`
`cos(225^@) = text(-)cos(45^@) = text(-)1/2 sqrt(2)`
`tan(225^@) = 1`

`sin(315^@) = text(-)sin(45^@) = text(-)1/2 sqrt(2)`
`cos(315^@) = cos(45^@) = 1/2 sqrt(2)`
`tan(315^@) = text(-) 1`

Opgave 7

Voor een vector met lengte `1` en richtingshoek `α=30^@` geldt:
`cos(30^@) = 1/2 sqrt(3)` , `sin(30^@) = 1/2` en `tan(30^@) = 1/2 sqrt(3)` .

Hieruit volgt:
`sin(150^@) = sin(30^@) = 1/2`
`cos(150^@) = text(-)cos(30^@) = text(-)1/2 sqrt(3)`
`tan(150^@) = text(-)1/3 sqrt(3)`

`sin(210^@) = text(-)sin(30^@) = text(-)1/2`
`cos(210) = text(-)cos(30^@) = text(-)1/2 sqrt(3)`
`tan(210^@) = 1/3 sqrt(3)`

`sin(330^@) = text(-)sin(30^@) = text(-)1/2`
`cos(330^@) = cos(30^@) = 1/2 sqrt(3)`
`tan(330^@) = text(-)1/3 sqrt(3)`

Opgave 8

`60^@` en `300^@` .

De GR geeft `~~text(-)37^@` .

Bekijk de eenheidscirkel, je vindt ongeveer `217^@` en `323^@` .

De GR geeft `~~text(-)31^@` .

Bekijk de eenheidscirkel, je vindt ongeveer `149^@` en `329^@` .

Opgave 9

Projecteer de koers van het schip op een eenheidscirkel.
Gebruik de sinus: `v_y = sin(α)` om de afstand in noordelijk of zuidelijke richting te bepalen.
`80 sin(235^@)~~text(-)65,5` km
Het schip heeft zich `65,5` km in zuidelijke richting verplaatst.

Gebruik de cosinus: `v_x = cos(α)` om de afstand in oostelijke of westelijke richting te bepalen.
`80 cos(235^@)~~text(-)45,9`
Het schip heeft zich `45,9` km in westelijke richting verplaatst.

Opgave 10

Maak een hoogtelijn `RS` op `PQ` .
`| PS | = 6 cos(50^@) ≈ 3,857`
`| RS | = 6 sin(50^@) ≈ 4,596`
`| QS | = 4,596 tan(35^@) ≈ 6,564`
`| QR | = 4,596 sin(35^@) ≈ 8,013`
`| PQ | = 10,42`
`| QR | = 8,01`

Opgave 11

Maak een hoogtelijn `MP` op `KL` .
`|PL| = |MP| = 4*cos(45^@) = 4/sqrt(2) = 2sqrt(2)`
`|KP| = (2sqrt(2))/(tan(60^@)) = (2sqrt(2))/(sqrt(3)) = 2/3 sqrt(6)`
`|KM| = (2sqrt(2))/(sin(60^@)) = (2sqrt(2))/(1/2sqrt(3)) = 4/3 sqrt(6)`
`|KL| = |KP|+|PL| = 2/3 sqrt(6) + 2sqrt(2)`

Opgave 12

`v_x = 3*cos(135^@) = text(-)1,5sqrt(2)` en `v_y = 3*sin(135^@) = 1,5sqrt(2)`

`v_x = 5*cos(210^@) = text(-)2,5sqrt(3)` en `v_y = 5*sin(210^@) = text(-)2,5`

`v_x = 4*cos(320^@) ≈ 3,06` en `v_y = 4*sin(320^@) ≈ text(-)2,57`

`v_x = cos(270^@) = 0` en `v_y = 2*sin(270^@) = text(-)2`

Opgave 13

`alpha ~~ 68^@` en `alpha ~~ 360-68 = 292^@` .

`alpha ~~ 22^@` en `alpha ~~ 180^@-22^@ = 158 ^@` .

`alpha ~~ 112^@` en `alpha ~~ 360^@-112^@ = 248^@` .

`alpha ~~ 360-22 = 338^@` en `alpha ~~ 180^@+22^@ = 202^@` .

`cos(alpha) = cos(text(-)alpha)` en `cos(alpha) = text(-)cos(180^@ - alpha)`

Opgave 14

`90^@` en `270^@`

`0^@` en `360^@`

Opgave 15

Teken de hoogtelijn `CD` op het verlengde van `AB` .

`|DC| = 5*sin(60^@) = 2,5sqrt(3)` . Omdat `angle DBC = angleBCD = 45^@` ( `angleCDB = 90^@` ) geldt ook dat `|DB| = 2,5sqrt(3)` (gelijkbenige driehoek). Verder geldt `|AD| = sqrt(5^2 - (2,5sqrt(3))^2) = 2,5` en dus `|AB| = 2,5sqrt(3)-2,5` .
Kan ook als volgt: `|AD| = 5*cos(60^@) = 2,5` .
`sin(45^@) = (2,5sqrt(3))/|BC|` geeft `|BC| = (2,5sqrt(3))/(1/2sqrt(2)) = 2,5sqrt(6)` .
(Of `|BC| = sqrt((2,5sqrt(3))^2+(2,5sqrt(3))^2) = sqrt(37,5) = sqrt(6,25*6) = 2,5sqrt(6)` .)

Opgave 16

`2*7*cos(20^@) ~~ 13,2` N

`8*cos(20^@)+6*cos(15^@) ~~ 13,3` N

In situatie a. De netto zijwaartse kracht is dan nul.

Opgave 17

`|EH| = 2,5sin(65^@) ~~ 2,267`

`|CH| = 2,5cos(65^@) ~~ 1,057`

`|EI| = 1/2|AB| - |CH| ~~ 3 - 1,057 = 1,943`

`|GI| = sqrt(|EG|^2-|EI|^2) ~~ sqrt(2,5^2 - 1,943^2) ~~ 1,573`

Hoogte `= 3 + |EH| + |GI| ~~ 3 + 2,267 + 1,573 ~~ 6,84` m.

`sin(angle IEG) = |GI|/|EG| ~~ {:1,573:}/{:2,5:} ~~ 0,6292`

`arcsin(0,6292) ~~ 39^@` , dus de hellingshoek van de bovenste dakdelen is ongeveer `39^@` .

Opgave 18Noodlanding

Noodlanding

Noem de plaats waar de piloot van koers veranderde `V` en de plaats waar de noodlanding plaatsvond `N` .
De horizontale component van vector `vec(TV)` heeft een lengte van `420*cos(60^@) = 210` en de verticale component heeft een lengte van `420*sin(60^@) = 210sqrt(3)` .

De horizontale component van vector `vec(VN)` heeft een lengte van `180*sin(10^@) ~~ 31,26` en de verticale component heeft een lengte van `180*cos(10^@) ~~ 177,27` .

De horizontale component van vector `vec(TN)` heeft een lengte van `210 + 180*sin(10^@) ~~ 210 + 31,26 ~~ 241,26` en de verticale component heeft een lengte van `210sqrt(3) - 180*cos(10^@) ~~ 363,73 - 177,27 ~~ 186,47` .

De verplaatsingsvector is ongeveer `((241,26),(186,47))` .

De helicopter moet dus ongeveer `186,5` km naar het noorden en `241,3` km naar het oosten.

Opgave 19

ongeveer `236^@` en `304^@`

`150^@` en `210^@`

Opgave 20

`vec(PQ) = ((12),(text(-)5))` , dus `|vec(PQ)| = 13` en de gevraagde hoek is ongeveer `337,4^@` .

Als `vec(OR) = vec(v)` , dan is `v_x = text(-)6,5` en `v_y = 6,5sqrt(3)` .

Dus `R(text(-)6,5; 6,5sqrt(3))` .

Opgave 21

`| AB | = 5 sqrt( 3 ) -5` en `| BC | = 5 sqrt( 2 )`

verder | terug