Vectoren en goniometrie > Sinus, cosinus en tangensUitleg
Je hebt al leren werken met sinus, cosinus en tangens, maar meestal bij scherpe hoeken. Het werken met vectoren maakt het mogelijk om de definities van sinus, cosinus en tangens uit te breiden voor grotere hoeken.
Bekijk de vector met een lengte van
`1`
in een eenheidscirkel (cirkel met middelpunt
`O`
en straal
`1`
). Zolang de richtingshoek
`α`
scherp (tussen
`0^@`
en
`90^@`
) is, kun je de componenten van deze vector berekenen met goniometrie:
`cos(α) = (v_x)/1`
dus
`v_x = cos(α)`
`cos(30^@) = (v_x)/1`
dus
`v_x = cos(30^@) ~~ 0,87`
`sin(α) = (v_y)/1`
dus
`v_y = sin(α)`
`sin(30^@) = (v_y)/1`
dus
`v_y = sin(30^@) = 0,5`
Door af te spreken dat `v_x = cos(α)` en `v_y = sin(α)` ook voor alle andere hoeken geldt, geef je de sinus en de cosinus voor alle mogelijke hoeken betekenis. Bekijk in de figuur dat dan voor hoeken tussen `90^@` en `270^@` de cosinus negatief is en ook dat voor hoeken tussen `180^@` en `360^@` de sinus negatief is.
Bereken met de rekenmachine in twee decimalen de componenten van een verplaatsingsvector met lengte `1` bij de richtingshoeken.
`40^@`
`140^@`
`240^@`
`340^@`
De verplaatsingsvectoren uit a, b, c en d krijgen allemaal een lengte van `500` . Wat betekent dit voor alle componenten?
Beredeneer dat:
`sin(100^@) = sin(80^@)`
`cos(100^@) = text(-)cos(80^@)`
`sin(253^@) = text(-)sin(73^@)`
`cos(280^@) = cos(80^@)`
Beredeneer dat:
`sin(α) = sin(180^@ - α)`
`cos(α) = text(-)cos(180^@ - α)`
`sin(α) = text(-)sin(text(-)α)`
`cos(α) = cos(text(-)α)`
Van een aantal hoeken kun je de sinus, de cosinus en de tangens exact berekenen. Omdat die hoeken regelmatig voorkomen, is het handig om die exacte waarden te weten. Bekijk de twee bijzondere driehoeken. De rechter is een halve gelijkzijdige driehoek en de linker is een geodriehoek.
Bereken sinus, cosinus en tangens van `60^@` en van `30^@` .
Bereken sinus, cosinus en tangens van `45^@` .
De tabel met de exacte waarden van sinus, cosinus en tangens van `0^@` , `30^@` , `45^@` , `60^@` en `90^@` is heel handig om uit je hoofd te kennen. Maak deze tabel.