Vectoren en goniometrie > SinusregelAntwoorden van de opgaven
Teken de hoogtelijn `PD` .
`angle B = 180^@ - 20^@ - 110^@ = 50^@ ` .
`|PD| = 4*sin(20^@) ~~ 1,37` en `|AD| = 4*cos(20^@) ~~ 3,76` .
`|BP| = |PD|/sin(50^@) ~~ 1,79` en `|DB| = |PD|/tan(50^@) ~~ 1,15` .
`|AP|+|PB| ~~ 4 + 1,79 = 5,79` en `|AB| ~~ 3,76 + 1,15 = 4,91` .
De weg via `P` is ongeveer `0,9` km langer.
In driehoek `ADC` kun je `|CD|` berekenen met behulp van `sin(α) = (|CD|)/b` , ofwel `|CD| = bsin(α)` . Zo geldt in driehoek `BCD` , `|CD| = asin(β)` . En dus is `a sin(β) = b sin(α)` .
`4 sin(50) = |AB|sin(110^@)` geeft `|AB| ≈ 4,907` .
`4 sin(50) = |BP|sin(20^@)` geeft `|BP| ≈ 1,786` .
Je loopt dus ongeveer `4 + 1,786 - 4,907 = 0,879` km om.
`5/(sin(65^@)) = (|BC|)/(sin(40^@))` geeft `| BC | ≈ 3,55` .
`angle F = 180^@ - 40^@ - 65^@ = 75^@ `
`5/(sin(75^@)) = (|DF|)/(sin(65^@) )` geeft `| DF | ≈ 4,69` .
Trek de hoogtelijn uit `B` op `AC` . Die hoogtelijn kun je op twee manieren berekenen:
Je krijgt `c sin(alpha) = a sin(gamma)` en dus `a/(sin(α)) = c/(sin(γ))` .
Het kan zijn dat in jouw driehoek de hoogtelijn door `B` op het verlengde van `AC` komt. Nu krijg je `csin(alpha) = a sin(180^@ - gamma)` , maar omdat `sin(gamma) = sin(180^@ - gamma)` krijg je hetzelfde resultaat.
Als het goed is, heb je dezelfde figuur als in het voorbeeld.
Omdat je bij het toepassen van de sinusregel altijd één van de drie breuken compleet moet weten en in elke breuk een zijde en de tegenoverliggende hoek moet voorkomen.
Merk eerst op dat `∠C = 110^@` .
`(|AC|)/(sin(50^@)) = 6/(sin(110^@))`
Hieruit volgt: `|AC| ≈ 4,89` .
In driehoek `ABC` :
`58/(sin(70^@)) = 60/(sin(/_B))` geeft `∠B ~~ 76,43^@` , dus `∠C = 180^@ - 70^@ - 76,43^@ = 33,57^@` en `|AB| = sin(33,57)*58/(sin(70^@)) ~~ 34,1` .
In driehoek `DEF` :
`∠E = 180-70-32 = 78^@` , dus `|EF| = 80/(sin(78^@))*sin(70) ~~ 76,9` .
In driehoek `GHI` :
`80/(sin(120^@)) = 30/(sin(/_I))` geeft `∠I ~~ 18,95^@` dus `∠G = 180^@-120^@-18,95^@ = 41,05^@` en `|HI| = sin(41,05^@)*80/(sin(120^@)) ~~ 60,7` .
In vierhoek `KLMN` :
De vierhoek is symmetrisch, dus het is makkelijk om hem in twee driehoeken te verdelen, waarin `∠NLM = (30^@)/2 = 15^@` en `∠LNM = 180^@-15^@-20^@ = 145^@` , en dus `|MN| = 60/(sin(145^@))*sin(15^@) ~~ 27,1` .
Bijvoorbeeld `sin(alpha) = (sin(beta)*a)/b` of `a = (b sin(α))/(sin(β))` .
`6/(sin(50^@)) = (|AC|)/(sin(90^@))` geeft `|AC| ≈ 7,8` .
`cos(40^@) = 6/(|AC|)` geeft `|AC| ≈ 7,8` .
Gebruik de sinusregel: `sin(/_M) = 0,625` geeft `∠M ≈ 38,7^@` of `∠M ≈ 141,3^@` .
Je vindt dan `/_L ~~ 111,4^@` of `/_L ~~ 8,7^@` .
Dan nogmaals de sinusregel: `|KM| ~~ 7,5` of `|KM| ~~ 1,2` .
De sinusregel stelt `(|AB|)/(sin(∠C)) = (|BC|)/(sin(∠A))` , ofwel: `sin(∠C) = 20/25 * sin(60^@) = 4/5 * 1/2 sqrt(3) = 2/5 sqrt(3)` .
`/_C ~~ 43,8^@` of `/_C ~~ 136,2^@`
`/_C ~~ 136,2^@` vervalt, want `136,2^@ + 60^@ = 196,2^@ > 180^@` dus `/_C ~~ 43,8^@` .
`/_B = 180^@ - 60^@ - 43,8^@ = 76,2^@` , dus `|AC| = 25/(sin(60^@))*sin(76,2^@) ~~ 28,0` .
`angle C = 180^@-25^@-55^@ = 100^@`
`5/(sin(100^@)) = |AC|/(sin(55^@))` geeft `|AC| ~~4,2` .
`5/(sin(100^@)) = |BC|/(sin(25^@))` geeft `|BC| ~~ 2,1` .
`8/(sin(40^@)) = 6/(sin(angle L))` geeft `sin(angle L) = 0,482...` en dit geeft `angle L ~~ 28,8^@` . `angle M ~~ 180^@ - 40^@ - 28,8^@ = 111,2^@` .
( `angle L ~~ 151,2^@` kan niet, omdat je in een driehoek werkt en dus de hoekensom gelijk is aan `180^@` .)
Met de sinusregel vind je dat `8/(sin(45^@)) = 12/(sin(∠C))` en dus `sin(∠C) ≈ 1,06` . Er bestaat geen `∠C` die hieraan voldoet.
`Delta ABC`
:
`6/(sin(70)) = 5/(sin(angle A))`
geeft
`angle A ~~ 51,5^@`
en dus
`angle C ~~ 58,5^@`
.
`|AB|/(sin(58,5^@)) = 6/(sin(70^@))`
geeft
`|AB| ~~ 5,44`
.
`Delta DEF`
:
`8/(sin(60^@)) = (|DE|)/(sin(45^@))`
geeft
`|DE| = (8sin(45^@))/(sin(60^@)) = (8*1/2sqrt(2))/(1/2sqrt(3)) = 8/3 sqrt(6)`
.
Voor het exact berekenen van
`|DF|`
trek je de hoogtelijn
`EG`
.
`|FG| = |EG| = 8sin(45^@) = 4sqrt(2)`
en
`|DG| = 8/3 sqrt(6)*cos(60^@) = 4/3 sqrt(6)`
`|DF| = |DG|+|GF| = 4/3 sqrt(6) + 4 sqrt(2)`
.
(Met de sinusregel krijg je geen exact antwoord.)
`Delta GHI`
:
`12/(sin(120^@)) = (4sqrt(3))/(sin(angle I))`
geeft
`sin(angle I) = 0,5`
en dus
`angle I = 30^@`
. Nu vind je ook dat
`angle G = 30^@`
, dus
`GH = HI = 4sqrt(3)`
(gelijkbenige driehoek).
`angle B = 180^@ - 60^@ - 80^@ = 40^@`
`(|AB|)/(sin(80^@)) = (200)/(sin(40^@))` geeft `|AB| ~~ 306,4` m.
`angle P = 180^@ - 68,3^@ - 77,4^@ = 34,3^@`
`(125,3)/(sin(34,3^@)) = (|BP|)/(sin(68,3^@))` geeft `|BP| ~~ 206,6` m.
`(125,3)/(sin(34,3^@)) = |AP|/(sin(77,4^@))` geeft `|AP| ~~ 217,0` m.
De verhoudingen in de schets hoeven niet te kloppen, als het maar wel duidelijk is wat de situatie is.
`/_ACD = 180^@ - 32^@ = 148^@` (gestrekte hoek).
`/_CAD = 180^@ - 148^@ - 15^@ = 17^@` (hoekensom).
Met de sinusregel:
`(|AC|)/(sin(15^@)) = 50/(sin(17^@))` geeft `|AC| ~~44,26` .
`|AB| ~~ sin(32^@)*44,26 ~~ 23,5` m.
Dus de toren is ongeveer `23,5 + 1,8 = 25,3` m hoog.
Andere oplossing:
schrijf `|BC| = x` .
`tan(32^@) = (|AB|)/x` geeft `|AB| = tan(32^@)*x` .
`tan(15^@) = (|AB|)/(x+50)` geeft `|AB| = tan(15^@)*(x+50)` , dus `tan(32^@)*x = tan(15^@)*(x+50)` geeft `x ~~ 37,54` .
`|AB| ~~ tan(32)*37,54 ~~ 23,5` , dus de toren is ongeveer `23,5+1,8 = 25,3` m hoog.
`Delta BCA ∼ Delta DCE ∼ Delta DGE` en `Delta GFE ∼ Delta CFA` . De laatste gelijkvormigheid volgt uit `angle BCA = angle DGE` en `angle ACF = 180^@ - angle BCA` , `angle EGF = 180^@ - angle DGE = 180^@ - angle BCA` .
Nu geldt dat `(|CF|)/(|GF|) = (|AB|)/(|DE|)` en als je invult wat je weet, krijg je `17/1 = (|AB|)/6` . Dus `|AB| = 102` .
De hoogte van de toren is `102` meter.
`| BC | ≈ 6,21`
`| DF | = 4 + 4 sqrt(3) ~~ 10,9`
`| EF | = 4 sqrt(6)`
`| AB | ≈ 5,4` of `| AB | ≈ 1,7` .