Vectoren en goniometrie > Sinusregel
123456Sinusregel

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Je loopt ongeveer `0,9`  km om.

Opgave V2

In driehoek `ADC` kan je `|CD|` berekenen met behulp van `sin(α)=(|CD|)/b` , ofwel `|CD|=bsin(α)` . Voor hetzelfde geld geldt in driehoek `BCD` , `|CD|=asin(β)` . Zodoende geldt in driehoek `ABC` , `asin(β)=bsin(α)` .

Opgave 1

De weg is 0,879 km langer.

Opgave 2

`| BC |≈2,13`

Opgave 3

`| BC |≈3,55`

Opgave 4

Trek de hoogtelijn uit `B` op `b` . Die hoogtelijn kun je op twee manieren berekenen: `c sin(α)=a sin(γ)` .

Opgave 5
a
b

Bij het toepassen van de sinusregel moet je altijd één van de drie breuken weten.

c

Merk eerst op dat `/_C=110` °.
`(| AC |) / (sin50text(°)) =6/ (sin110text(°))`
Hieruit volgt `| AC |≈4,89` .

Opgave 6
a

`6/( sin(50 ))=(| AC |)/(sin(90))` geeft `| AC |≈7,8`

b

`cos(40)=6/| AC |` geeft `| AC |≈7,8`

Opgave 7

Bijvoorbeeld `a*sin(β)=bsin(α)` of `a=(b sin(α))/(sin(β))` .

Opgave 8

`| EF |≈76,9`
`| HI |≈60,7`
`| MN |≈27,1`

Opgave 9

`|KM| ~~ 7,0 vv |KM| ~~ 2,9`

Opgave 10

`|KM| ~~ 7,5 vv |KM| ~~ 1,2`

Opgave 11
a

De sinusregel stelt `(|AB|)/(sin(/_C))=(|BC|)/(sin(/_A))` , ofwel:
`sin(/_C)=20/25*sin(60)=4/5*1/2sqrt(3)=2/5sqrt(3)`

b

`/_C ~~ 43,8text(°) vv /_C ~~ 136,2` °

c

`|AC| ~~28,0`

Opgave 12

`| AB |≈5,44`
`|DE| = 8/3sqrt(6)`
`|DF| = 4/3sqrt(6)+4sqrt(2)`
`|HI| = 4sqrt(3)`

Opgave 13

`|AB| ~~ 306,4`  m

Opgave 14

`|AP|≈217 ,0`  m
`|BP|≈206 ,6`  m

Opgave 15

Uit de gegevens blijkt dat `DeltaABC` een gelijkbenige driehoek is, met `/_B=/_A=alpha` .
Hieruit volgt: `/_C=180text(°)-2alpha`
De sinusregel geeft: `|AC|/(sin(alpha))=|AB|/(sin(180-2alpha))`
Ofwel: `x/(sin(alpha))=1/(sin(180-2alpha))` .

`sin(180text(°)-x)=sin(x)` geeft `x=(sin(alpha))/(sin(2alpha))`

Opgave 16

`C(1,94; 3,36)`

Opgave 17
a
b

25,26 m

c

Je kunt met de tangens rekenen of met een hoogtelijn `AD` op `BC` .

d

`Delta BCA text(∼) Delta DCE text(∼) Delta DGE` en `Delta GFE text(∼) Delta CFA` . De laatste gelijkvormigheid volgt uit dat `/_BCA =angle DGE` en `/_ACF = 180text(°)-/_BCA` , `/_EGF=180text(°)-/_DGE=180text(°)-/_BCA` .

Nu geldt dat `|CF|/|GF|=|AB|/|DE|` en als je invult wat je weet, krijg je `17/1=|AB|/6` . Dus `|AB|=102` .

De hoogte van de toren is 102 m.

Opgave 18

Noem `/_A=alpha` , `/_C=2alpha` en dan is `/_B=180-3alpha` .
De sinusregel stelt: `a/sin(alpha)=b/(sin(180-3alpha))=c/(sin(2alpha))=d` , waarbij `d` een constante is.
Schrijf dit om naar: `a=dsin(alpha)` , `b=dsin(180-3alpha)=dsin(3alpha)` en `c=dsin(2alpha)`

Vul deze in de vergelijking `ab=c^2-a^2` in.
`d^2sin(alpha)sin(3alpha)=d^2(sin^2(2alpha)-sin^2(alpha))`
`sin(alpha)sin(3alpha)=sin^2(2alpha)-sin^2(alpha)`
Je moet alleen nog bewijzen dat deze vergelijking klopt. Schrijf hiertoe de rechterzijde om naar: `sin^2(2alpha)-sin^2(alpha)=(sin(2alpha)+sin(alpha))(sin(2alpha)-sin(alpha))`

Met de gegeven identiteiten is dat te schrijven als: `2sin((3alpha)/2)cos(alpha/2)*2sin(alpha/2)cos((3alpha)/2)=2sin(alpha/2)cos(alpha/2)*2sin((3alpha)/2)cos((3alpha)/2)`

De vergelijking wordt: `sin(alpha)sin(3alpha)=2sin(alpha/2)cos(alpha/2)*2sin((3alpha)/2)cos((3alpha)/2)`

Omdat `sin(alpha)=sin(alpha)+sin(0)=2sin(alpha/2)cos(alpha/2)` en `sin(3alpha)=sin(3alpha)+sin(0)=2sin((3alpha)/2)cos((3alpha)/2)` , klopt de vergelijking.

Opgave 19

`| DF |≈3,82`

Opgave 20

`| BC |≈6,21` ; `| DF |=4 +4 sqrt( 3 )` en `| EF |=4 sqrt( 6 )`

Opgave 21

`| AB |≈9,2` of `| AB |≈3,0`

verder | terug