Vectoren en goniometrie > Sinusregel
123456Sinusregel

Verwerken

Opgave 12

Bereken (waar mogelijk exact) de zijde van de figuren waar het vraagteken bij staat. Gebruik indien nodig twee decimalen.

Opgave 13

Je wilt de lengte bepalen van lijnstuk `AB` , maar tussen de punten `A` en `B` ligt een meertje. Je gaat als volgt te werk.

  • Je loopt 200 meter in een richting die een hoek van 60° maakt met `AB` . Zo houd je droge voeten.

  • Je bent in een punt dat je `P` noemt en meet de hoek tussen `AP` en `PB` : 80°.

Bereken de lengte van `AB` .

Opgave 14

Om de positie van een bepaald punt `P` in kaart te brengen, werkten landmeters vroeger met de sinusregel. De afstanden tot `P` vanuit bekende punten werden berekend. Door omcirkelen vanuit die bekende punten konden ze `P` op de kaart aangeven. Deze procedure heette "voorwaartse insnijding" .
Stel dat `A` en `B` de bekende punten zijn, ze liggen 125,3 meter uit elkaar. Je wilt de positie van `P` bepalen. Je meet de hoeken `BAP` en `ABP` : `∠BAP=68 ,3` ° en `∠ABP=77 ,4` °.

Bereken de lengtes van `AP` en `BP` .

Opgave 15

Gegeven is `DeltaABC` met `/_A=alpha` , `|AC|=|BC|=x` en `|AB|=1` .
Gebruik de sinusregel om te laten zien dat `x=(sin(alpha))/(sin(2alpha))` .

Opgave 16

Gegeven is `DeltaABC` , met de punten `A(0, 0)` en `B(4, 3)` . De coördinaten van punt `C` zijn onbekend, maar wel is bekend dat `/_C=110` ° en de hoek tussen de `x` -as en lijnstuk `AC` is 60°.
Bepaal de coördinaten van `C` . Rond af op twee decimalen.

Opgave 17

Iemand wil de hoogte van een toren weten. Hij gaat een stuk van de toren vandaan staan en meet de hoek tussen de horizontale richting en de richting naar de spits van de toren. Deze hoek is 32°. Dan loopt hij 50 meter verder van de toren vandaan en meet de hoek naar de top opnieuw; de hoek is 15°.

a

Maak een tekening van de situatie.

b

Gebruik de sinusregel om de hoogte van de toren in centimeter nauwkeurig te berekenen. Ga er daarbij van uit dat beide hoeken op 1,80 meter boven de grond zijn gemeten.

c

Bij b heb je de sinusregel gebruikt, maar er zijn ook oplossingen te bedenken waarbij dit niet hoeft. Kun je zo'n oplossing vinden?

De Nederlandse meetkundige Sybrandt Hansz. Cardinael (1578–1647) bedacht een manier om de hoogte van een toren te bepalen. Je hebt er zelfs geen hoeken voor nodig. In de figuur zie je hoe hij te werk ging. De toren is `AB` en er ligt een spiegel op de grond in `C` . Je zet bij `D` een verticale stok `DE` met lengte 6 zodat je de top `A` van de toren in de spiegel kunt zien vanuit `E` . Vervolgens bepaal je de plaats van punt `F` zodat je vanuit `F` de top `A` juist boven de stok `DE` in het verlengde van `FE` kunt zien. Als `| CD |=8` en `| DF |=9` kun je de hoogte van de toren `AB` berekenen.

d

Laat zien hoe.

Opgave 18

Gegeven is driehoek `ABC` , met `|BC|=a` , `|AC|=b` en `|AB|=c` , en `/_C=2/_A` .
Gebruik de sinusregel, en de regels `sin(theta)+sin(varphi)=2sin((theta+varphi)/2)cos((theta-varphi)/2)` en `sin(theta)-sin(varphi)=2sin((theta-varphi)/2)cos((theta+varphi)/2)` om te bewijzen dat `ab=c^2-a^2` .

verder | terug