Vectoren en goniometrie > Sinusregel
123456Sinusregel

Uitleg

Tussen de punten `A` en `B` is de weg opgebroken. Er is een omleiding via `P` . De wegen `AB` en `AP` maken een hoek van `20` ° met elkaar. De hoek tussen `PA` en `PB` is `110` °. De lengte van de weg van `A` naar `P` is `4`  kilometer. Om te berekenen hoeveel je omloopt, werk je met goniometrie in een niet-rechthoekige driehoek.

Bekijk de tweede figuur. Je kunt een verband afleiden tussen `a` , `b` , `sin(α)` en `sin(β)` door de hoogte `|CD|` op twee manieren te schrijven:

  • In `DeltaADC` is `| CD |=b sin(α)` .

  • In `DeltaDBC` is `| CD |=a sin(β)` .

Dit betekent:
`b sin(α)=a sin(β)`

Schrijf dit als:
`a/ (sin(α)) =b/ (sin(β))`

Met behulp van een andere hoogtelijn kun je ook zo'n verband tussen `a` , `c` , `sin(α)` en `sin(γ)` afleiden. Hierin is `c=AB` en `γ=/_C` .

Het verband tussen de hoeken en zijden van een driehoek wordt de "sinusregel" genoemd.

Opgave 1

Gebruik de sinusregel om het probleem, waarmee de uitleg begon, op te lossen.
Hoeveel langer is de weg `A` naar `B` via `P` dan de rechtstreekse weg `AP` ? Rond af op drie decimalen.

Opgave 2

Gegeven is `DeltaABC` met `| AB |=4`  cm, `/_A=30` ° en `/_C=70` °.
Bereken de lengte van `BC` in twee decimalen.

Opgave 3

Gegeven is `DeltaABC` met `| AB |=5`  cm, `∠A=40` ° en `∠C=65` °.
Bereken de lengte van `BC` in twee decimalen.

Opgave 4

De afspraak voor het geven van namen aan onderdelen van `Delta ABC` is: `/_A=α` , `/_B=β` en `/_C=γ` ; en `AB=c` , `BC=a` en `AC=b` .
Nu kun je ook afleiden: `a/(sin(α))=c/(sin(γ))` . Laat dat zien.

verder | terug