Vectoren en goniometrie

Vectoren en goniometrie > Cosinusregel

Overzicht

123456Cosinusregel

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Teken de hoogtelijn `PD` op `AB` .

`|AD| = 20*cos(40^@) ~~ 15,3` en dus `|DB| ~~ 22,7` . Verder geldt `|PD| = 20*sin(40^@) ~~ 12,9` .

`|PB| = sqrt(|PD|^2 + |DB|^2) ~~ 26` .

De route van `A` naar `B` via `P` is ongeveer `20 + 26 = 46` m. Dit is `8` m meer dan de route rechtstreeks door het bos.

Je weet geen hoek met de tegenoverliggende zijde.

Opgave 1

Cosinusregel: `a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(α)` .
Hier: `PB^2 = AP^2 + AB^2 - 2*AP*AB*cos(/_A)` .
Invullen: `PB^2 = 20^2 + 38^2 - 2*20*38*cos(40^@) ~~ 679,6` en `PB ~~ 26,1` m.

Opgave 2

` AB^2 = 6^2 + 9^2 - 2 * 6 * 9 * cos(50^@)`

` AB = sqrt(6^2 + 9^2 - 2*6*9*cos(50^@)) ≈ 6,90`

Opgave 3

Ga na, dat `a^2 = CD^2 + BD^2` .
Omdat ` BD = c - AD ` geldt: `a^2 = CD^2 + (c - AD)^2` .

Haakjes wegwerken: `a^2 = CD^2 + c^2 - 2 * c * AD + AD^2` .

Verder is `CD^2 + AD^2 = b^2` .

Gebruik ` AD = bcos(α)` en vul dat in.

Je krijgt: `a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(α)` .

Je kunt (door letters verwisselen) varianten op deze stelling maken, zoals `b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cos(β)` en
`c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(γ)` .

Opgave 4

Als je het goed hebt gedaan, krijg je een driehoek met dezelfde vorm en grootte als in het voorbeeld.

`|BC|^2 = 4^2 + 6^2 - 2 * 4 * 6 * cos(20^@) = 6,89...` .

Hieruit volgt: `|BC| ≈ 2,63` .

Opgave 5

Als `α = 90^@` , dan is de cosinusregel `a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(90^@) = b^2 + c^2` .

Opgave 6

Noem de afstand `a` , dan is `a^2 = 60^2 + 50^2 - 2 * 50 * 60 * cos(30^@)` , dit geeft `a ≈ 30,1` km.

Opgave 7

Eerst met de sinusregel `angle B` uitrekenen: `10/(sin(60)) = 6/(sin(angle B))` geeft `angle B~~31,3^@` (de andere optie `\angle B~~148,7^@` kan niet).

`angle A = 180^@ - 60^@-angle B ~~ 88,7^@`

`|BC|^2 = 10^2 + 6^2 - 2*10*6*cos(88,7^@)` geeft `|BC| ~~ 11,5` .

Opgave 8

Cosinusregel: `a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(α)` .

Dit geeft: `3^2 = 4^2 + 6^2 - 2 * 4 * 6 *cos(∠A)` .

Dus: `9 = 52 - 48 cos(∠A)` en `cos(∠A) = (text(-)43)/(text(-)48) ≈ 0,8958` , zodat `∠A ~~ 26^@` .

`∠B` kun je met de cosinusregel berekenen: `cos(/_B) = (4^2 - 3^2 - 6^2)/(text(-)2*3*6)` .
Je vindt `∠B ≈ 36^@` .

Ja, `∠B` kun je zowel met de cosinusregel als met de sinusregel berekenen.

Met de sinusregel: `sin(/_B) = 4/3 * sin(26^@)` .

In beide gevallen vind je `∠B ≈ 36^@` .

Opgave 9

`|BC|^2 = 4^2 + 5^2 - 2*4*5*cos(60^@)` . Hieruit volgt `|BC| = sqrt(21)~~4,58` .

`5^2 = 4^2 + (sqrt(21))^2 - 2*4*sqrt(21)*cos(angle B)` geeft `angle B ~~ 70,9^@` .

`5/(sin(\angle E)) = 6/(sin(60^@))` geeft `\angle E ~~ 46,2^@` en daarmee `angle F ~~ 73,8^@` . ( `/_E = 133,8^@` vervalt.)

`6/(sin(60^@)) = (|DE|)/(sin(angle F))` geeft `|DE| ~~ 6,65` .

`10/(sin(70^@)) = 5/(sin(angle L))` geeft `/_L ~~ 28,0^@` en daarmee `angle MKL~~82,0^@` . `/_L = 152,0^@` vervalt.

`|ML|^2 = 5^2 + 10^2 - 2*5*10*cos(angle MKL)` geeft `|ML| ~~ 10,54` en daarmee `|MN| ~~ 2,54` .

`|NK|^2 = 5^2 + |MN|^2 - 2*5*|MN|*cos(70^@)` geeft `|NK| ~~ 4,77` .

`(|NK|)/(sin(angle L)) = 10/(sin(angle LNK))` geeft `angle LNK ~~ 100,0^@` ( `angle LNK ~~ 80,0^@` kan niet, aangezien de hoek stomp is).

Opgave 10

Met de cosinusregel vind je `c ~~ 7,43` .

Met de cosinusregel of sinusregel vind je nu ook dat `α ~~ 77,4^@` en daarmee ook dat `β ~~ 37,6^@` .

Met de sinusregel vind je `beta ~~ 34,5^@` en daarmee `gamma ~~ 80,5^@` .

Met de cosinusregel vind je nu dat `c ~~ 8,71` .

Met de sinusregel vind je dat `b ~~ 122,47` .

`alpha=15^@` , met de sinusregel (of cosinusregel) vind je dat `a ~~ 44,83` .

`a^2 + c^2 = b^2` , dus `beta = 90^@` (omgekeerde stelling van Pythagoras).

Verder vind je dat `tan(alpha) = 6/8` dus `alpha ~~ 36,9^@` en `gamma ~~ 53,1^@` .

`alpha = beta = (180^@-20^@)/2 = 80^@` . Met de cosinusregel (of sinusregel) vind je dat `c ~~ 5,21` .

Opgave 11

Er zijn twee mogelijke trapezia.
`10/(sin(45^@)) = 12/(sin(angle BCA))` geeft `angle BCA ~~ 58,1^@` of `angle BCA ~~ 121,9^@` .
`angle BCD = 180^@ - 45^@ = 135^@` en dus `angle ACD = 135^@ - angle BCA ~~ 76,9^@` of `angle ACD ~~ 13,1^@` .
`|AD|^2 = 4^2 + 10^2 - 2*4*10*cos(angle ACD)` geeft `|AD| ~~ 9,9` of `|AD| ~~ 6,2` .

Opgave 12

`|AC| = |BC| = 10` , met de cosinusregel vind je dat `|AB|^2 = 10^2 + 10^2 - 2*10*10*cos(20^@)` en dus `|AB| ~~ 3,5` . Maar `|AB| = 5` , dus de genoemde driehoek kan niet.

Opgave 13

`|EH| = sqrt(4^2 + 2^2) = sqrt(20)`
`|HG| = sqrt(4^2 + 3^2) = 5`
`|AC| = sqrt(4^2 + 4^2) = sqrt(32)` en `|EG| = sqrt(|AC|^2 + 1^2) = sqrt(33)` .
`(sqrt(33))^2 = 5^2 + (sqrt(20))^2 - 2*5*sqrt(20)*cos(angle EHG)` geeft `angle EHG ~~ 74,4^@` .

Opgave 14

Echt een opgave voor de cosinusregel. Eerst bereken je in `Delta ABC` de grootte van `∠C` met de cosinusregel. Dan bereken je in `Delta BCP` met de cosinusregel de lengte van `BP` . Ditzelfde doe je ook in `Delta ACD` om de lengte van `DP` uit te rekenen. Van `Delta BPD` weet je nu alle drie de zijden en je kunt dan met de cosinusregel `/_ PBD` uitrekenen. Ten slotte kun je met de cosinusregel in `Delta BPQ` nu ook `PQ` berekenen: `| PQ | ≈ 4,2` .

Opgave 15

Gebruik de cosinusregel in `Delta ACD` :
`AD^2 = 1^2 + 4^2 - 2*1*4*cos(110^@) = 19,736...` zodat `AD ~~ 4,44` dm.

Gebruik de sinusregel in `Delta ACD` om `/_ADC` te berekenen:
`(1)/(sin(/_ADC)) = 4/(sin(55^@))` geeft `/_ADC ~~ 11,8^@` .

Dus `/_ACD ~~ 180^@ - 55^@ - 11,8^@ = 113,2^@` .

Doe nu opnieuw de sinusregel in `Delta ACD` :
`(AD)/(sin(/_113,2^@)) = 4/(sin(55^@))` geeft `AD ~~ 4,50` dm.

Opgave 16

Bij het tweede plaatje van Figuur 2 zit de kleinste waarde van `AD` .
Dan is `AD = 4 - 1 = 3` dm.

Bij het vierde plaatje van Figuur 2 zit de grootste waarde van `AD` .
Dan is `AD = 4 + 1 = 5` dm.

Gebruik de sinusregel in `Delta ACD` om `/_ADC` te berekenen:
`(1)/(sin(/_ADC)) = 4/(sin(100^@))` geeft `/_ADC ~~ 14,3^@` .

Dus `gamma = /_ACD ~~ 180^@ - 100^@ - 14,3^@ = 65,7^@` .

Doe nu opnieuw de sinusregel in `Delta ACD` :
`(AD)/(sin(65,7^@)) = 4/(sin(100^@))` geeft `AD ~~ 3,70` dm.

Opgave 17

`|BC| ≈ 12,75`

Opgave 18

`alpha~~24,1^@` , `beta~~30,8^@` en `gamma~~125,1^@` .

verder | terug