Vectoren en goniometrie > Inproduct
123456Inproduct

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Omdat alleen die component in de bewegingsrichting ligt.

b

`|vec(F_x)| = |vec(F)| * cos(alpha)`

c

`W = |vec(F_x)| * |vec(s)| = |vec(F)| * cos(alpha) * |vec(s)|`

Opgave 1
a

Lees uit de applet af dat `W=192,25`  Nm.

b

`10 *20 *cos(16text(°))≈192,25`  Nm

c

`W≈197,0`  Nm als `alpha=10` °.
`W≈195,6`  Nm als `alpha=12` °.
`W≈187,9`  Nm als `alpha=20` °.

d

`200`  Nm

e

`0`  Nm

Opgave 2
a

`10 *20 *cos(16text(°))≈192`  Nm

b

`W≈197,0`  Nm als `alpha=10` °.
`W≈195,6`  Nm als `alpha=12` °.
`W≈187,9`  Nm als `alpha=20` °.

c

`200`  Nm

d

`0`  Nm

Opgave 3
a

De hoek tussen beide vectoren is 90°.

b

De lengtes zijn 1 en de hoeken 0°.

c
`vec(a) * vec(b)` `=` `(text(-)2 vec(e_x) + 3 vec(e_y)) * (2 vec(e_x) + 1 vec(e_y))`
`` `=` `text(-)2*2*vec(e_x)*vec(e_x)+3*1*vec(e_y)*vec(e_y)+text(-)2*1*vec(e_x)*vec(e_y)+3*2*vec(e_y)*vec(e_x)`
`` `=` `text(-)1`
d

`((1),(4))*((2),(3))=14`

Opgave 4

`varphi~~97` °

Opgave 5

`varphi≈68` °

Opgave 6
`(a_x*vec(e_x) + a_y*vec(e_y) )(b_x*vec(e_x) +b_y*vec(e_y))` `=` `a_x*b_x*1+a_x*b_y*0+a_y*b_y*0+a_y*b_y*1`
`` `=` `a_x*b_x+a_y*b_y`
Opgave 7
a

`vec(a) * vec(b) = 1 * text(-)3 + text(-)4 * text(-)2 = 5`
Verder is `vec(a) * vec(b) = |vec(a)| * |vec(b)| * cos(varphi)` en hieruit volgt `5 = sqrt17 * sqrt13 * cos(varphi)` .
Voor de hoek `varphi` tussen beide vectoren geldt: `cos(varphi) = 5/(sqrt(17)*sqrt(13))` . En hieruit volgt `varphi ≈ 70,3` °.

b

`137,7` °

Opgave 8
a

Een voor de hand liggend stel is `vec(a)=((0),(1))` en `vec(b)=((1),(0))` : `vec(a)*vec(b)=0*1+1*0=0`
Een ander stel is bijvoorbeeld `vec(c)=((1),(3))` en `vec(d)=((6),(text(-)2))` : `vec(c)*vec(d)=1*6+3*text(-)2=0`

b
`((a),(b))*((kb),(text(-)ka))` `=` `a*kb+b*text(-)ka`
`` `=` `akb-akb`
`` `=` `0`
c

Bijvoorbeeld `vec(v)= ((1),(2))` en `vec(w)= ((3),(6))` .
Er moet gelden `v=k*w` .

Opgave 9

`vec(AC)=((21-18),(text(-)9-text(-)14))=((3),(5))` `vec(BD)=((17-22),(text(-)10-text(-)13))=((text(-)5),(3))`
`|vec(AC)|=|vec(BD)|=sqrt(34)`
`vec(AC)*vec(BD)=3*text(-)5+5*3=0` .
Zodoende is `ABCD` daadwerkelijk een vierkant.

Opgave 10
a

Een richtingsvector van `l` is `((3),(text(-)4))` .
Dit geeft:
`((3),(text(-)4))*((6),(2))=10=sqrt(25)*sqrt(40)*cos(varphi)=10sqrt(10)cos(varphi)`
`cos(varphi)=1/sqrt(10)`
`varphi~~71,6` °

b

`varphi~~22` °

Opgave 11
a

`varphi~~102` °

b

`varphi~~98` °

c

180°

Opgave 12
a

63°

b

`((text(-)6),(8))` of `((6),(text(-)8))`

Opgave 13

132°

Opgave 14
a

83°

b

83°
34°
63°

Opgave 15
a

De lengtes van de vier zijden moeten even groot zijn. Er geldt `|vec(AB)|=|vec(BC)|=|vec(CD)|=|vec(DA)|=sqrt(10)` .

b

53°
127°
53°
127°

c

Het inproduct van `vec(BD)` en `vec(AC)` is gelijk aan `0` .

Opgave 16
a
b

43°

c

`13054`  Nm

d

Nee, de man verricht het meeste arbeid (9397 Nm).

Opgave 17
a

Een richtingsvector voor `l` is `vec(v)=((1),(n))` en voor `m` is een richtingsvector `vec(w)=((1),(text(-)1/n))` .
Nu is het inproduct `vec(v)*vec(w)=1*1+n*text(-)1/n=0` .
Hieruit volgt dat `l` en `m` loodrecht op elkaar staan.

b

`a=(text(-)2n+-sqrt(16n^2-4(n^2-1)(1-n^2)))/(n^2-1)=(text(-)2n+-2(n^2+1))/(n^2-1)`

Opgave 18

`19` °

Opgave 19
a

De lengtes van de zijden moeten twee aan twee gelijk zijn, in dit geval `|PQ|=|PS|=50` en `|QR|=|SR|=10sqrt(10)` .

b

`108,4` °

c

`ABCD` is een rechthoek, de vectoren op de zijden hebben een inproduct van `0` .

verder | terug