Vectoren en goniometrie > Inproduct
123456Inproduct

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Omdat alleen die component in de bewegingsrichting ligt.

b

`|vec(F_x)| = |vec(F)| * cos(alpha)`

`|vec(F_x)| = 10 * cos(16^@) ~~ 9,61`

c

`W = |vec(F_x)| * |vec(s)| = |vec(F)| * cos(alpha) * |vec(s)|`

Opgave 1
a

Lees uit de applet af dat `W = 192,25`  Nm.

b

`W = |vec(s)|*|vec(F)|*cos(alpha)` invullen met `|vec(F)| = 10` , `|vec(s)| = 20` en `alpha = 16^@` geeft: `W = 10 * 20 * cos(16^@) ≈ 192,25`  Nm

c

`W = 10 * 20 * cos(10^@) ≈ 197,0`  Nm als `alpha = 10^@` .
`W = 10 * 20 * cos(12^@) ≈ 195,6`  Nm als `alpha = 12^@` .
`W = 10 * 20 * cos(20^@) ≈ 187,9`  Nm als `alpha = 20^@` .

d

`10*20*cos(0^@) = 200`  Nm.

e

`cos(90^@) = 0` dus `10*20*cos(90^@) = 0`  Nm.

Opgave 2
a

De hoek tussen beide vectoren is `90^@` , dus het inproduct wordt:
`vec(e_x)*vec(e_y) = |vec(e_x)|*|vec(e_y)|*cos(alpha) = 1*1*0 = 0` .

b

De lengtes van de vectoren zijn `1` en de hoek tussen twee dezelfde vectoren is `0^@` .
Hieruit volgt: `vec(e_x)*vec(e_x) = |vec(e_x)|*|vec(e_x)|*cos(0) = 1*1*1 = 1` en `vec(e_y)*vec(e_y) = 1` .

c
`vec(a) * vec(b)` `=` `(text(-)2 vec(e_x) + 3 vec(e_y)) * (2 vec(e_x) + 1 vec(e_y))`
`` `=` `text(-)2*2*vec(e_x)*vec(e_x) + 3*1*vec(e_y)*vec(e_y) + text(-)2*1*vec(e_x)*vec(e_y) + 3*2*vec(e_y)*vec(e_x)`
`` `=` `text(-)1`
d
`((1),(4))*((2),(3))` `=` `(1vec(e_x) + 4vec(e_y))*(2vec(e_x) + 3vec(e_y))`
`` `=` `1*2*1 + 4*3*1 + 1*3*0 + 4*2*0`
`` `=` `14`
Opgave 3

`vec(a)*vec(b) = text(-)2*2 + 3*1 = text(-)1`
`|vec(a)| = sqrt((text(-)2)^2 + 3^2) = sqrt(13)` en `|vec(b)| = sqrt(2^2 + 1^2) = sqrt(5)` .
Invullen in `vec(a)*vec(b) = |vec(a)|*|vec(b)|*cos(varphi)` geeft:
`text(-)1 = sqrt(13)*sqrt(5)*cos(varphi)` zodat `cos(varphi) = (text(-)1)/(sqrt(13*5))` en `varphi ~~ 97^@` .

Opgave 4

`vec(a)*vec(b) = 1*text(-)3 + (text(-)5*text(-)2) = 7`
`|vec(a)| = sqrt(1^2 + (text(-)5)^2) = sqrt(26)` en `|vec(b)| = sqrt((text(-)3)^2 + (text(-)2)^2) = sqrt(13)` .
Invullen in `vec(a)*vec(b) = |vec(a)|*|vec(b)|*cos(varphi)` geeft:
`7 = sqrt(26)*sqrt(13)*cos(varphi)` zodat `cos(varphi) = (7)/(sqrt(26*13))` en `varphi ~~ 68^@` .

Opgave 5
`(a_x*vec(e_x) + a_y*vec(e_y))(b_x*vec(e_x) + b_y*vec(e_y))` `=` `a_x*b_x*1 + a_x*b_y*0 + a_y*b_y*0 + a_y*b_y*1`
`` `=` `a_x*b_x + a_y*b_y`
Opgave 6
a

`vec(a) * vec(b) = 1 * text(-)3 + text(-)4 * text(-)2 = 5`
Verder is `vec(a) * vec(b) = |vec(a)| * |vec(b)| * cos(varphi)` en hieruit volgt `5 = sqrt17 * sqrt13 * cos(varphi)` .
Voor de hoek `varphi` tussen beide vectoren geldt: `cos(varphi) = 5/(sqrt(17)*sqrt(13))` . En hieruit volgt `varphi ≈ 70,3^@` .

b

`((text(-)1),(4))*((3),(text(-)2)) = text(-)1*3 + 4*text(-)2 = text(-)11`
`vec(a)*vec(b) = text(-)11 = |vec(a)|*|vec(b)|*cos(varphi) = sqrt(17)*sqrt(13)*cos(varphi)`
Voor de hoek tussen beide vectoren geldt:
`cos(varphi) = (text(-)11)/(sqrt(17)*sqrt(13))` en dus `varphi ~~ 137,7^@` .

Opgave 7
a

Een voor de hand liggend stel is `vec(a) = ((0),(1))` en `vec(b) = ((1),(0))` : `vec(a)*vec(b) = 0*1 + 1*0 = 0` .
Een ander stel is bijvoorbeeld `vec(c) = ((1),(3))` en `vec(d) = ((6),(text(-)2))` : `vec(c)*vec(d) = 1*6 + 3*text(-)2 = 0` .

b

`((a),(b))*((kb),(text(-)ka)) = a*kb + b*text(-)ka = kab - kab = 0`

Opgave 8

`vec(AC) = ((21 - 18),(text(-)9 - text(-)14)) = ((3),(5))` `vec(BD) = ((17 - 22),(text(-)10 - text(-)13)) = ((text(-)5),(3))`
`|vec(AC)| = |vec(BD)| = sqrt(34)` en `vec(AC)*vec(BD) = 3*text(-)5 + 5*3 = 0` .
Zodoende is `ABCD` daadwerkelijk een vierkant.

Opgave 9
a

Een richtingsvector van `l` is `((3),(text(-)4))` .
Dit geeft:
`((3),(text(-)4))*((6),(2)) = 10 = sqrt(25)*sqrt(40)*cos(varphi) = 10sqrt(10)cos(varphi)` en `cos(varphi) = 1/sqrt(10)` dus `varphi ~~ 71,6^@` .

b

Een richtingsvector voor lijn `m` is bijvoorbeeld `((5),(text(-)3))` .
Een richtingsvector voor lijn `l` is bijvoorbeeld `((3),(text(-)4))` .
Voor het inproduct geldt: `((3),(text(-)4))*((5),(text(-)3))=27 = sqrt(3^2+(text(-)4)^2)*sqrt(5^2+(text(-)3)^2)*cos(varphi) = 5*sqrt(34)*cos(varphi)` .

Dus `cos(varphi) = 27/(5*sqrt(34))` en `varphi ~~ 22^@` .

Opgave 10
a

`vec(a)*vec(b) = 3*2 + 2*text(-)5 = text(-)4 = sqrt(13)*sqrt(29)*cos(varphi) = |vec(a)|*|vec(b)|*cos(varphi)`
geeft `cos(varphi) = (text(-)4)/sqrt(377)` en `varphi~~102^@` .

b

`vec(p)*vec(q) = 5*1 + text(-)2*4 = text(-)3 = sqrt(29)*sqrt(17)*cos(varphi) = |vec(p)|*|vec(q)|*cos(varphi)`
geeft `cos(varphi) = (text(-)3)/sqrt(493)` en `varphi~~98^@` .

c

Je kunt rekenen met een inproduct, maar je kunt ook opmerken dat `vec(v) = text(-)4vec(w)` , dus de hoek tussen beide is `180^@` .

Opgave 11
a

`vec(a)*vec(b) = 2*4 + text(-)1*3 = 5 = sqrt(5)*5*cos(varphi) = |vec(a)|*|vec(b)|*cos(varphi)`
geeft `cos(varphi) = 1/sqrt(5)` en `varphi ~~ 63^@` .

b

Een vector die loodrecht op een andere vector `((a),(b))` staat en twee keer zo lang is, heeft de vorm `((text(-)2b),(2a))` of `((2b),(text(-)2a))` .
In dit geval `((text(-)6),(8))` of `((6),(text(-)8))` .

Opgave

Op lijn `l` ligt `vec(v) = ((4),(6))` .
Lijn `m` gaat onder andere door de punten `(0, 5)` en `(3, 0)` .
Dus op lijn `m` ligt `vec(w) = ((3),(text(-)5))` .
Nu geldt:
`vec(v)*vec(w) = 4*3 + 6*text(-)5 = text(-)18` en `|vec(v)|*|vec(w)| = sqrt(52)*sqrt(34) = sqrt(1768)` .
`cos(varphi) = (text(-)18)/(sqrt(1768))` geeft `varphi~~115^@` , dus de (scherpe) hoek is `~~65^@` .

Opgave 12
a

Op `l` ligt: `vec(SA) = ((120 - 102),(22 - 31)) = ((18),(text(-)9)) = 3((6),(text(-)3))` .

Op `m` ligt: `vec(SB) = ((120 - 102),(58 - 31)) = ((18),(27)) = 9((2),(3))` .

De hoek tussen vectoren is onafhankelijk van de lengte van de vectoren.
Gebruik `((6),(text(-)3))` en `((2),(3))` .
Bereken de hoek tussen beide met:
`((6),(text(-)3))*((2),(3)) = 6*2+text(-)3*3 = 3 = sqrt(45)*sqrt(13)*cos(varphi)` , dus `cos(varphi) = 3/(sqrt(45)*sqrt(13))` en `varphi ~~ 83^@` .

b

Bereken bijvoorbeeld de hoek tussen `vec(SA)` en `vec(AB)` .
`vec(AB) = ((120 - 120),(58 - 22)) = ((0),(36))` .

De hoek tussen vectoren is onafhankelijk van de lengte, gebruik `((0),(1))` .

Bereken de hoek tussen `vec(SA)` en `vec(AB)` :
`((6),(text(-)3))*((0),(1)) = 6*0+text(-)3*1 = text(-)3 = sqrt(45)*1*cos(varphi)` , dus `cos(varphi) = (text(-)3)/(sqrt(45)*1)` en `varphi~~117^@` .

De hoeken zijn: `180^@ - 117^@ = 63^@` , `34^@` en `83^@` .

Opgave 13
a

Een ruit is een vierhoek waarvan alle zijden gelijke lengtes hebben.

`vec(AB) = ((p+3-p),(q+1-q)) = ((3),(1))` en `vec(BC) = ((1),(3))` , `vec(CD) = ((text(-)3),(text(-)1))` en `vec(DA) = ((text(-)1),(text(-)3))` .

Omdat `|vec(AB)| = |vec(BC)| = |vec(CD)| = |vec(DA)| = sqrt(10)` is `ABCD` een ruit.

b

Een eigenschap van een ruit is dat de overstaande hoeken gelijk aan elkaar zijn; een ruit is namelijk een parallellogram. Tevens zijn alle hoeken bij elkaar opgeteld gelijk aan `360^@` . Je hoeft maar één hoek te berekenen.
Neem bijvoorbeeld de hoek bij punt `A` :
`cos(∠A) = (vec(AB)*vec(AD))/(|vec(AB)|*|vec(AD)|) = 6/10` geeft `∠A ~~ 53^@` .

Zo is ook `∠C = 53^@` en `∠B = ∠D~~127^@` .

c

Als de diagonalen `vec(BD)` en `vec(AC)` loodrecht op elkaar staan, is het inproduct gelijk aan `0` .
`vec(BD) = ((p+1-p-3),(q+3-q-1)) = ((text(-)2),(2))` en zo is `vec(AC) = ((4),(4))` .
`vec(BD)*vec(AC) = text(-)2*4 + 2*4 = 0` en hieruit volgt dat de diagonalen loodrecht op elkaar staan.

Opgave 14
a

Teken eerst de krachtvector van de man in een assenstelsel. Je weet dat de boot in het midden blijft varen en dat de jongen de helft van de kracht van de man levert. De zijwaartse component van de jongen moet dan even groot zijn als die van de man en de totale lengte van de vector moet de helft van die van de man zijn. Teken de krachtvector van de jongen die hieraan voldoet.

b

Noem de vaarrichting de `y` -richting. De `x` -componenten van de vectoren van de kracht die de jongen en de man verzetten, zijn allebei even groot, maar in tegengestelde richting. Dit is omdat de boot in het midden blijft varen.

De jongen is half zo sterk als de man, dus zijn kracht is `5` N. Noem de hoek die zijn krachtvector maakt met de `x` -as `varphi` . De `x` -componenten moeten even groot zijn: `10*cos(70^@) = 5*cos(varphi)` dus `varphi~~47^@` .

De richtingshoek van de kracht die de jongen uitoefent is `43^@` .

c

De totale kracht in de vaarrichting is `10cos(20^@) + 5cos(43^@) ~~ 13,054` N.
De verrichte arbeid is `1000*13,054 = 13054`  Nm.

d

De door de man verrichte arbeid is `10cos(20^@)*1000 ~~ 9397`  Nm.
De jongen verricht een arbeid van `5cos(43^@)*1000 ~~ 3657`  Nm.

Dus nee, de man verricht het meeste arbeid.

Opgave 15Bewijzen met het inproduct
Bewijzen met het inproduct
a

Een richtingsvector voor `l` is `vec(v) = ((1),(n))` en voor `m` is een richtingsvector `vec(w) = ((1),(text(-)1/n))` .
Nu is het inproduct `vec(v)*vec(w) = 1*1 + n*text(-)1/n = 0` .
Hieruit volgt dat `l` en `m` loodrecht op elkaar staan.

b

De richtingsvector voor `l` is `vec(v) = ((1),(n))` . Tevens is `vec(q) = ((1),(a))` een richtingsvector voor `p` . Er geldt:
`vec(v)*vec(q) = |vec(v)|*|vec(q)|*cos(45^@)`
`1 + na = sqrt(1 + n^2)*sqrt(1 + a^2)*sqrt(2)/2`
`1 + 2na + n^2a^2 = (1 + n^2 + a^2 + n^2a^2)*2/4`
`(n^2 - 1)a^2 + 4na + 1 - n^2 = 0`

De abc-formule geeft:
`a = (text(-)2n +- sqrt(16n^2 - 4(n^2 - 1)(1 - n^2)))/(n^2 - 1) = (text(-)2n +- 2(n^2 + 1))/(n^2 - 1)`

Opgave 16

`19^@` .

Opgave 17
a

De lengtes van de zijden zijn twee aan twee gelijk; in dit geval `|PQ| = |PS| = 50` en `|QR| = |SR| = 10sqrt(10)` .

b

`108,4^@`

c

`ABCD` is een rechthoek, de vectoren op de zijden hebben een inproduct van `0` .

verder | terug