Vectoren en goniometrie > Inproduct
123456Inproduct

Uitleg

In de natuurkunde wordt gebruikgemaakt van het begrip arbeid. Arbeid is de energie die wordt omgezet als een kracht een voorwerp verplaatst.
Energie en arbeid hebben geen richting en zijn géén vectoren. Het zijn waarden met een eenheid.

Bekijk de afbeelding waarin persoon `P` een lorrie van `A` naar `B` trekt. De trekkracht `vec(F)` is `10` N groot (steeds onder dezelfde hoek met de rails) en de afstand van `A` naar `B` is `20` meter. Maar de kracht en de verplaatsing staan niet in dezelfde richting. Gebruik voor de berekening van de arbeid de component van de kracht in de richting van de verplaatsing, die component is `vec(F_x)` .
Er geldt: `text(arbeid)=text(afstand)*text(grootte van de component van de kracht)` .

`W = |vec(s)| * |vec(F_x)|`
`W = |vec(s)| * |vec(F)|*cos(alpha)`
`W` is de arbeid.
`alpha` is de grootte van de hoek tussen de kracht en de afstand en `|vec(s)|` is de afstand waarover het voorwerp is verplaatst.

Deze berekening noem je het inproduct van de vectoren `vec(F)` en `vec(s)` . De lengte van de projectie (component) `vec(F_x)` van de ene vector `vec(F)` op de andere vector `vec(s)` , wordt vermenigvuldigd met de lengte van de andere vector `vec(s)` .
Het inproduct van `vec(F)` en `vec(s)` noteer je als `vec(F) * vec(s)` , dus: `vec(F) * vec(s) = |vec(F)| * |vec(s)| * cos(alpha)` .

Opgave 1

De vector in de applet heeft een lengte van `10` N. De richtingshoek `α` met de bewegingsrichting van de lorrie stel je in door de rode stippellijn te verplaatsen. De afgelegde afstand `|vec(s)|` is `20` meter, die kun je instellen door punt `P` in de applet te verslepen.

a

Bepaal met de applet de arbeid die de kracht verricht als `α=16` °.

b

Ga door berekening na dat deze arbeid gelijk is aan `|vec(F)|*|vec(s)|*cos(α)` .

c

Bepaal ook voor `alpha=10` °, `α=12` ° en `alpha=20` ° de verrichte arbeid met de applet en met de formule. Rond af op één decimaal.

d

Hoe groot is het inproduct van `vec(F)` en `vec(s)` als `α=0` °?

e

Hoe groot is het inproduct van `vec(F)` en `vec(s)` als `α=90` °?

Opgave 2

De vector in de figuur uit de uitleg heeft een lengte van `10` N. In de figuur is `alpha=16°` en `|vec(s)|=20` m. De arbeid `W` is ongeveer gelijk aan `192`  Nm.

a

Ga door berekening na dat deze arbeid gelijk is aan `|vec(F)|*|vec(s)|*cos(α)` .

b

Bepaal ook voor `α=10` °, `alpha=12` ° en `alpha=20` ° de verrichte arbeid met de formule.

c

Hoe groot is het inproduct van `vec(F)` en `vec(s)` als `α=0` °?

d

Hoe groot is het inproduct van `vec(F)` en `vec(s)` als `α=90` °?

verder | terug