Vectoren en goniometrie > Inproduct
123456Inproduct

Uitleg

Bekijk de applet.

`vec(e_x) = ((1),(0))` en `vec(e_y) = ((0),(1))` zijn de twee eenheidsvectoren in een cartesisch `xy` -assenstelsel. Deze twee vectoren maken een hoek van `90°` en hebben daarom een inproduct van `0` :
`vec(e_x) * vec(e_y) = |vec(e_x)| * |vec(e_y)| * cos(90°) = 1 * 1 * 0 = 0`
`vec(e_x) * vec(e_x) = |vec(e_x)| * |vec(e_x)| * cos(0°) = 1 * 1 * 1 = 1`
`vec(e_y) * vec(e_y) = 1`

Elke vector is te schrijven als een samenstelling van eenheidsvectoren.
Neem bijvoorbeeld:

`vec(a) = ((text(-)2),(3)) = text(-)2 * ((1),(0)) + 3 * ((0),(1)) = text(-)2 vec(e_x) + 3 vec(e_y)`

`vec(b) = ((2),(1)) = 2 * ((1),(0)) + 1 * ((0),(1)) = 2 vec(e_x) + 1 vec(e_y)`

Voor het inproduct van beide geeft dit:
`vec(a) * vec(b) = (text(-)2 vec(e_x) + 3 vec(e_y)) * (2 vec(e_x) + 1 vec(e_y))`
Neem aan dat ook voor het inproduct van twee vectoren de regels voor het wegwerken van haakjes gelden. Dit geeft:
`vec(a) * vec(b) = text(-)2 * 2 + 3 * 1 = text(-)1`
Kennelijk hoef je alleen de overeenkomstige kentallen te vermenigvuldigen en de twee uitkomsten op te tellen om het inproduct van beide vectoren te krijgen.

Opgave 3

Het inproduct van twee vectoren wordt gegeven door kentallen in een cartesisch assenstelsel te bepalen en de vectoren te ontleden in eenheidsvectoren `vec(e_x)` en `vec(e_y)` .

a

Waarom is `vec(e_x) * vec(e_y) = 0` ?

b

Waarom is `vec(e_x) *vec(e_x) =1` en `vec(e_y) *vec(e_y) =1` ?

c

Laat zien dat het inproduct van `((text(-)2),(3))` en `((2),(1))` inderdaad `text(-)2 *2 +3 *1 = text(-)1` is door haakjes weg te werken.

d

Bereken op dezelfde manier met behulp van eenheidsvectoren het inproduct van `((1),(4))` en `((2),(3))` .

Opgave 4

In het algemeen geldt voor het inproduct van de vectoren `vec(a)` en `vec(b)` :

`vec(a) *vec(b) =|vec(a) |*|vec(b) |*cos(varphi)`
waarin `varphi` de hoek tussen `vec(a) ` en `vec(b) ` is.
Neem `vec(a) =((text(-)2 ),(3 ))` en `vec(b) =((2 ),(1 ))` .
Gebruik het inproduct van beide vectoren om de hoek `varphi` ertussen te berekenen.

Opgave 5

Neem `vec(a) =((1 ),(text(-)5 ))` en `vec(b) =((text(-)3 ),(text(-)2 ))` en bereken het inproduct van beide vectoren. Gebruik dit inproduct om de hoek `varphi` tussen `vec(a) ` en `vec(b) ` te berekenen.

Opgave 6

Neem `vec(a) =((a_x),(a_y))` en `vec(b) =((b_x),(b_y))` en laat zien dat `vec(a) *vec(b) =a_x*b_x+a_y*b_y` .

verder | terug