Vectoren en goniometrie > InproductUitleg
`vec(e_x) = ((1),(0))`
en
`vec(e_y) = ((0),(1))`
zijn de twee eenheidsvectoren in een cartesisch
`xy`
-assenstelsel. Deze twee vectoren maken een hoek van
`90^@`
en hebben daarom een inproduct van
`0`
:
`vec(e_x) * vec(e_y) = |vec(e_x)| * |vec(e_y)| * cos(90^@) = 1 * 1 * 0 = 0`
`vec(e_x) * vec(e_x) = |vec(e_x)| * |vec(e_x)| * cos(0^@) = 1 * 1 * 1 = 1`
`vec(e_y) * vec(e_y) = 1`
Elke vector is te schrijven als een samenstelling van eenheidsvectoren.
Neem bijvoorbeeld:
`vec(a) = ((text(-)2),(3)) = text(-)2 * ((1),(0)) + 3 * ((0),(1)) = text(-)2 vec(e_x) + 3 vec(e_y)`
`vec(b) = ((2),(1)) = 2 * ((1),(0)) + 1 * ((0),(1)) = 2 vec(e_x) + 1 vec(e_y)`
Voor het inproduct van beide geeft dit:
`vec(a) * vec(b) = (text(-)2 vec(e_x) + 3 vec(e_y)) * (2 vec(e_x) + 1 vec(e_y))`
Neem aan dat ook voor het inproduct van twee vectoren de regels voor het wegwerken
van haakjes gelden.
Dit geeft:
`vec(a) * vec(b) = text(-)2 * 2 + 3 * 1 = text(-)1`
Kennelijk hoef je alleen de overeenkomstige kentallen te vermenigvuldigen en de twee uitkomsten op te tellen om het inproduct van beide vectoren te krijgen.
Het inproduct van twee vectoren wordt gegeven door kentallen in een cartesisch assenstelsel te bepalen en de vectoren te ontleden in eenheidsvectoren `vec(e_x)` en `vec(e_y)` .
Waarom is `vec(e_x) * vec(e_y) = 0` ?
Waarom is `vec(e_x)*vec(e_x) = 1` en `vec(e_y)*vec(e_y) = 1` ?
Laat zien dat het inproduct van `((text(-)2),(3))` en `((2),(1))` inderdaad `text(-)2*2 + 3*1 = text(-)1` is door haakjes weg te werken.
Bereken op dezelfde manier met behulp van eenheidsvectoren het inproduct van `((1),(4))` en `((2),(3))` .
In het algemeen geldt voor het inproduct van de vectoren `vec(a)` en `vec(b)` :
`vec(a)*vec(b) = |vec(a)|*|vec(b)|*cos(varphi)`
waarin
`varphi`
de hoek tussen
`vec(a) `
en
`vec(b) `
is.
Neem
`vec(a) = ((text(-)2),(3))`
en
`vec(b) = ((2),(1))`
.
Gebruik het inproduct van beide vectoren om de hoek
`varphi`
ertussen te berekenen.
Neem `vec(a) = ((1),(text(-)5))` en `vec(b) = ((text(-)3),(text(-)2))` en bereken het inproduct van beide vectoren. Gebruik dit inproduct om de hoek `varphi` tussen `vec(a) ` en `vec(b)` te berekenen.
Neem `vec(a) = ((a_x),(a_y))` en `vec(b) = ((b_x),(b_y))` en laat zien dat `vec(a)*vec(b) = a_x*b_x + a_y*b_y` .