Vectoren en goniometrie > TotaalbeeldAntwoorden van de opgaven
`v_x = 20cos(45^@) = 10 sqrt(2)`
`v_y = 20sin(45^@) = 10 sqrt(2)`
`v_x = 20cos(115^@) ≈ text(-)8,45`
`v_y = 20sin(115^@) ≈ 18,13`
`v_x = 20cos(300^@) = 10`
`v_y = 20sin(300^@) = text(-)10 sqrt(3)`
`v_x = 0`
`v_y = text(-)20`
`cos(alpha) = (5^2 - 6^2 - 4^2)/(text(-)2*6*4)`
geeft
`α ≈ 55,77^@`
.
`cos(beta) = (6^2 - 5^2 - 4^2)/(text(-)2*5*4)`
geeft
`β ≈ 82,82^@`
.
Dus
`γ ≈ 41,41^@`
.
`c = sqrt(5^2 + 6^2 - 2*5*6cos(120^@)) = sqrt(91)`
`(sin(alpha))/5 = (sin(120^@))/(sqrt(91))`
geeft
`alpha~~27,00^@`
en
`beta~~33,00^@`
.
`(sin(alpha))/5 = (sin(120^@))/6`
geeft
`alpha ~~ 46,19^@`
.
Dus
`gamma ~~ 31,81^@`
.
En
`c = sqrt(5^2 + 6^2 - 2*5*6*cos(31,81)) ~~ 1,65`
.
`gamma = 70^@`
`a/(sin(50^@)) = 12/(sin(70^@))`
geeft
`a ~~ 9,78`
.
`b/(sin(60^@)) = 12/(sin(70^@))`
geeft
`b ~~ 11,06`
.
`Delta ABC`
is rechthoekig:
`c = sqrt(12^2-6^2) = sqrt(108)`
.
`cos(gamma) = 6/12 = 0,5`
geeft
`gamma = 60^@`
en
`beta = 30^@`
.
`Delta ABC`
is gelijkbenig:
`alpha = beta = 81^@`
en
`gamma = 18^@`
.
`1/2c = 10cos(81^@)`
geeft
`c ~~ 3,13`
.
Gebruik de sinusregel om
`|AP| ~~ 9,25`
te berekenen.
Dan is hoogtelijn
`|PQ| = sin(65^@)*9,25 ~~ 8,38`
m.
De rivier is ongeveer `8,38` m breed.
Noem de hoek tegenover de zijde met lengte
`a`
, hoek
`alpha`
. De cosinusregel:
`a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(alpha)`
.
`cos(alpha)=0`
, ofwel
`alpha=90^@`
.
Noem de hoek tegenover de zijde met lengte
`a`
, hoek
`alpha`
. De cosinusregel:
`a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(alpha)`
.
`cos(alpha) = 0,5`
, ofwel
`alpha = 60^@`
.
Noem de hoek tegenover de zijde met lengte
`a`
, hoek
`alpha`
. De cosinusregel:
`a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(alpha)`
.
`cos(alpha) = text(-)1/4`
, ofwel
`alpha ~~ 108,48^@`
.
Noem het hoekpunt van de zeil bij paal 1
`A`
, het hoekpunt van paal 2
`B`
en het hoekpunt bij paal 3
`C`
.
`|AB| = sqrt(5^2 + 0,5^2) = sqrt(25,25)`
,
`|BC| = sqrt(4^2 + 1^2) = sqrt(17)`
en
`|AC| = sqrt(3^2 + 1,5^2) = sqrt(11,25)`
.
Met de cosinusregel vind je dat
`angle A ~~ 54,66^@`
.
Teken hoogtelijn
`CD`
op
`AB`
.
`|CD| = sqrt(11,25)*sin(angle A) ~~ 2,74`
.
De oppervlakte is
` = 1/2*|AB|*|CD| ~~6,9`
m2.
Op
`l`
ligt bijvoorbeeld
`((5),(3))`
.
Op
`m`
ligt bijvoorbeeld
`((3),(text(-)4))`
.
Met behulp van het inproduct vind je:
`cos(alpha) = (l*m)/(|l|*|m|) = 3/(sqrt(34)*5)`
ofwel een hoek van ongeveer
`84,1^@`
.
Het inproduct van `((4k),(3k))` en `((3),(text(-)4))` is `0` .
`vec(BC)=((1),(2))` en `vec(AC)=((4),(text(-)2))` , en het inproduct van beide is `1*4 + 2*text(-)2 = 0` .
De sinusregel geeft
`|AD|/(sin(/_ACD)) = |AC|/(sin(/_ADC))`
en
`|BD|/(sin(/_BCD)) = |BC|/(sin(/_BDC))`
.
`|AD|/|BD| = (|AC|*(sin(/_ACD))/(sin(/_ADC)))/(|BC|*(sin(/_BCD))/(sin(/_BDC)))`
.
`/_ACD = /_BCD`
, want
`CD`
is een bissectrice.
Verder is
`/_ADC = 180^@-/_BDC`
, dus
`sin(/_ADC) = sin(/_BDC)`
.
In de vergelijking kun je alle sinustermen wegdelen, en dan houd je over:
`|AD|/|BD| = |AC|/|BC|`
en dat is precies wat je wilt vinden.
Je hebt de hoeken `α` en `β` gemeten. Bekijk vierhoek `MAPB` . Je weet daarvan: `∠AMB = 30^@` , `∠MAP = 180^@ -α` , `∠MBP = 180^@ -β` en dus ook `∠APB` . Verder is `| MA | = | MB | = 40002 π` km. In de gelijkbenige driehoek `Delta AMB` kun je `| AB |` uitrekenen en de beide basishoeken `∠MAB = ∠MBA = 75^@` . Nu weet je van `Delta BAP` de lengte van `AB` en alle hoeken. Dus kun je (sinusregel) `| AP |` en `| BP |` uitrekenen. In bijvoorbeeld `Delta MAP` kun je vervolgens ook `| MP |` berekenen.
Zoek het Clootcransbewijs op.
Op de lijn `y = text(-)ax + b` ligt vector `((1),(text(-)a))` .
Op zijn spiegelbeeld ligt vector `((text(-)a),(1))` .
Inproduct gebruiken: `text(-)2a = sqrt(1 + a^2)*sqrt(1 + a^2)*cos(alpha)` geeft `cos(alpha) = (text(-)2a)/(a^2+1)` .
Omdat de hoek tussen twee lijnen scherp is, moet `cos(alpha) = (2a)/(a^2+1)` .
(bron: pilotexamen vwo wiskunde B in 2014, eerste tijdvak)