Doen.
Omdat `vec(p)` steeds hetzelfde blijft en je daarna in de richting van `vec(r)` verplaatst.
Voor elk punt is `vec(v) = ((0),(2)) + t * ((2),(1)) = ((0 + 2t),(2 + t))` .
Dus is altijd
`x = 2t`
en
`y = 2 + t`
.
Als je hieruit
`t`
wegwerkt, krijg je
`x = 2(y - 2)`
.
Dit kun je schrijven als
`x - 2y = text(-)4`
en dat is de vergelijking van een rechte lijn.
Deze vectorvoorstelling is ook goed, want de plaatsvector wijst een willekeurig punt op de lijn aan en de richtingsvector is een vector op de lijn. De parametervoorstelling wordt dan `x(p) = 4p` en `y(p) = 2 + 2p` .
Ja, ook deze vectorvoorstelling is OK, want de plaatsvector wijst een willekeurig punt op de lijn aan en de richtingsvector is een vector op de lijn.
Kort de richtingsvector in tot `((1),(r))` , dan is `r` de richtingscoëfficiënt.
Hier is de richtingsvector in te korten tot `((1),(1/2))` , dus de richtingscoëfficiënt is `0,5` . De lijn heeft een vergelijking van de vorm `y = 0,5 x + b` , waarbij je `b` kunt vinden door een punt van de lijn (bijvoorbeeld `(0, 2)` in te vullen. Je krijgt `y = 0,5 x + 2` .
Gegeven was de parametervoorstelling `((x),(y)) = ((0),(2)) + p*((4),(2))` .
Dus geldt `x=4p` en `y=2+2p` .
`x = 4p`
geeft
`p = 0,25x`
en dus
`y = 2 + 2p = 2 + 0,5x`
.
De vergelijking is
`y = 0,5x + 2`
.
Je kunt een willekeurig punt kiezen voor de plaatsvector. Bijvoorbeeld het punt `A(2, 3)` . `vec(p) = ((2),(3)) ` . De richtingscoëfficiënt is `text(-)3/2` . Dus je vindt als mogelijke vectorvoorstelling `((x),(y)) = ((2),(3)) + t*((2),(text(-)3))` . De parametervoorstelling wordt dan `x(t) = 2 + 2t` en `y(t) = 3 - 3t` .
Er zijn er eindeloos veel mogelijk: je kunt een andere richtingsvector nemen (langer, korter, of precies de andere kant op wijzend), maar je kunt ook een ander punt op de lijn nemen om de vector vanuit `O(0, 0)` naar toe te laten wijzen.
`3x + 2y = 12` .
`3x + 2y = 12` geeft `y = text(-)1,5x + 6` , dus de richtingscoëfficiënt is `text(-)1,5` . Dit past bij `((2),(text(-)3))` , want dat kun je schrijven als `((1),({:text(-)1,5:}))` .
Je krijgt dan bijvoorbeeld `((x),(y)) = ((4),(0)) + p((text(-)2),(1))` .
`y = 3 - t`
geeft
`t = 3 - y`
. Vul dit in de andere vergelijking in:
`x = text(-)2 + 2(3 - y)`
.
Dit kun je herleiden tot
`x + 2y = 4`
.
Bij de vectorvoorstelling bij a hoort de parametervoorstelling `x = 4 - 2p` en `y = p` .
`p = y` geeft `x = 4 - 2y` ofwel `x + 2y = 4` .
`((x),(y)) = ((text(-)4),(1)) + p((3),(text(-)1))` en `x + 3y = text(-)1` .
`((x),(y)) = ((text(-)3),(0)) + q((1),(1))` en `x - y = text(-)3` .
Om het rekenen met breuken te vermijden.
`x = 3t` en `y = 4 - 4t` geeft `y = 4 - 4/3 x` en dus `3y = 12 - 4x` zodat `4x + 3y = 12` .
De lijn door `A(3, 0)` en `B(0, 4)` heeft dan bijvoorbeeld p.v. `((0),(4))` en r.v. `vec(AB) = ((text(-)3),(4))` . De vectorvoorstelling wordt dan `((x),(y)) = ((0),(4)) + p*((text(-)3),(4))` .
Bijvoorbeeld `x = 5t` en `y = text(-)2 + 2t` .
`x = 4t` en `y = 12 - t` .
Lijn `l` : p.v. `((0),(1))` en r.v. `1/6 * ((6),(2)) = ((1),(1/3))` .
Lijn `m` : p.v. `((text(-)2),(6))` en r.v. `1/6 * ((6),(text(-)6)) = ((1),(text(-)1))` .
Per tijdseenheid wordt juist de berekende richtingsvector afgelegd en voor beide banen loopt dezelfde tijd.
Beide vergelijkingen optellen geeft
`1 + 4/3 t = 4`
en dus
`t = 9/4 = 2,25`
.
Dit geeft als snijpunt
`(2,25; 1,75)`
.
`l: x - 3y = text(-)3` snijden met `m: x + y = 4` geeft hetzelfde snijpunt.
Substitueer bijvoorbeeld `x = t` en `y = 1 + 1/3 t` in `m: x + y = 4` . Weer krijg je hetzelfde snijpunt.
`x = 1 + 2t` en `y = 2 + 5t` substitueren in `l` geeft `2(1 + 2t) - (2 + 5t) = 12` en dus `t = text(-)12` . Het snijpunt is `(text(-)23, text(-)58)` .
`2t = 1 + s ^^ 5 - t = 3s` geeft `t = 8/7` . Het snijpunt is `(16/7, 27/7)` .
`l`
:
`x = 1 + t`
en
`y = 4 - 0,25 t`
`m`
:
`x = text(-)1 + 1,25t`
en
`y = 0,25t`
`1 + t = text(-)1 + 1,25t ^^ 4 - 0,25t = 0,25t` geven nu beide `t = 8` .
Vul `t = 8` in beide parametervoorstellingen in.
Het botsingspunt is `(9, 2)` .
`l: x + 4y = 17` snijden met `m: x - 5y = text(-)1` levert ditzelfde punt op.
Richtingsvector: `((30-text(-)20),(45-15))` wordt vereenvoudigd `((5),(text(-)3))` .
Kies bijvoorbeeld `((text(-)20),(45))` als steunvector en je vindt `((x),(y)) = ((text(-)20),(45)) + p((5),(text(-)3))` als passende vectorvoorstelling.
Zoek eerst twee punten die op lijn `m` liggen. Dit zijn bijvoorbeeld de punten `(5, 0)` en `(0, text(-)2)` . Als plaatsvector kun je dan bijvoorbeeld `((5),(0))` kiezen.
De richtingsvector wordt dan `((5),(2))` . En dan is `((x),(y)) = ((5),(0)) + q((5),(2))` een passende vectorvoorstelling.
`((x),(y)) = t((1),(0))`
Lijn `l` gaat door `A(30, 0)` en `B(0, 20)` en dus is een geschikte richtingsvector `((30),(text(-)20))` en deze is te vereenvoudigen tot `((3),(text(-)2))` . Kies bijvoorbeeld `((0),(20))` als plaatsvector en je vindt `l: ((x),(y)) = ((0),(20)) + p((3),(text(-)2))` als vectorvoorstelling.
Lijn `m` gaat door de punten `(0, text(-)50)` en `(50, 0)` en dus is een geschikte richtingsvector `((1),(1))` . Kies bijvoorbeeld `((50),(0))` als plaatsvector en je vindt `m: ((x),(y)) = ((50),(0)) + q((1),(1))` .
Uit de vectorvoorstelling van lijn `l` haal je `x = 3p` en `y = 20 - 2p` . Dit vul je in in de vergelijking van lijn `m: x - y = 50` . Dit geeft `3p - (20 - 2p) = 50` .
Dit geeft `p = 14` als oplossing. Vul dit in bij de vectorvoorstelling van lijn `l` en je vindt de coördinaten van het snijpunt `(42, text(-)8)` .
Kies als plaatsvector bijvoorbeeld `((2),(0))` en een mogelijke richtingsvector is `((1),(2))` . Je vindt dan de vectorvoorstelling `((x),(y)) = ((2),(0)) + t((1),(2))` . Een parametervoorstelling voor de beweging van punt `Q` is dan `x = 2 + t` en `y = 2t` .
`x = 2 + t` en `y = 2t` invullen in `x + 2y = 20` geeft `t = 3,6` . Het snijpunt is `(5,6; 7,2)` .
Een botsing treedt alleen op in een snijpunt. Op
`t = 3,6`
zit
`Q`
in het snijpunt
`(5,6; 7,2)`
van beide banen.
`P`
zit dan in
`(0 + 3,6*2; 10 - 3,6 * 1) = (7,2; 6,4)`
, dus
`P`
en
`Q`
botsen niet.
`m`
gaat door
`(4, 0)`
en
`(0, text(-)16)`
.
`m`
heeft richtingsvector
`((1),(4))`
en
`l`
dus ook.
Stel eerst een vectorvoorstelling van
`l`
op:
`((x),(y)) = ((2),(5)) + t*((1),(4))`
.
Een parametervoorstelling van
`l`
is
`x(t) = 2 + t`
en
`y(t) = 5 + 4t`
.
`l`
heeft richtingsvector
`((1),(1))`
, vanwege de gegeven hoek.
Een parametervoorstelling van
`l`
is
`x(t) = 2 + t`
en
`y(t) = 5 + t`
.
Stel vectorvoorstellingen of vergelijkingen van de zwaartelijnen op.
Zwaartelijn
`AM`
:
`((x),(y)) = ((2),(3)) + p ((6),(text(-)1))`
.
Zwaartelijn
`BN`
:
`((x),(y)) = ((4),(1)) + q ((0),(1))`
.
Hun snijpunt is:
`Z(4, 2 2/3)`
.
Tenslotte stel je op dezelfde manier een vectorvoorstelling van de zwaartelijn uit
`O`
op.
Controleer dat het punt
`Z`
ook aan deze vectorvoorstelling voldoet.
Maak een vectorvoorstelling van elk van de zwaartelijnen en snijdt er twee.
Dit zijn bijvoorbeeld
`((x),(y)) = ((a),(0)) + p*((1/2 b - a),(1/2 c - a))`
en
`((x),(y)) = ((b),(0)) + q*((1/2 a - b),(1/2 c - b))`
.
Snijd deze en je vindt
`(1/3 a + 1/3 b, 1/3 c)`
. Dit punt ligt ook op de derde hoogtelijn. Dus dan gaan alle drie de hoogtelijnen
door dit punt.
`l: ((x),(y)) = ((text(-)3),(2)) + p((8),(text(-)1))` en `m: ((x),(y)) = ((0),(12)) + q((2),(text(-)1))` .
`(27 2/3, text(-) 1 5/6)`
Ze botsen niet.
`(x(t), y(t)) = (2 + 5t, 3 + 3t)`
`(0; 1,8)` en `(text(-)3, 0)` .