Parametervoorstellingen > Parametervoorstelling
123456Parametervoorstelling

Voorbeeld 3

Twee punten `P` en `Q` bewegen in een cartesisch `Oxy` -assenstelsel. Beide banen zijn rechte lijnen. Op `t = 0` zit `P` in `(0, 1)` en `Q` in `(text(-)2, 6)` . Op `t = 6` zit `P` in `(6, 3)` en `Q` in `(4, 0)` . Beide banen snijden elkaar in punt `S` .
Bereken de exacte coördinaten van dit punt en licht toe waarom beide punten niet met elkaar in botsing komen.

> antwoord

Je kunt van beide banen een vectorvoorstelling en een bijpassende parametervoorstelling opstellen:

  • Punt `P(x, y)` ligt op lijn `l` met:
    `((x),(y)) = ((0),(1)) + t*((1),(1/3))` en dus `x = t` en `y = 1 + 1/3 t` .

  • Punt `Q(x, y)` ligt op lijn `m` met:
    `((x),(y)) = ((text(-)2),(6)) + t*((1),(text(-)1))` en dus `x = text(-)2 + t` en `y = 6 - t` .

Denk er op dat je beide richtingsvectoren niet mag vergroten of verkleinen!

Als je een waarde van `t` zoekt waarvoor beide punten op dezelfde plek zitten (botsen), dan moet `t = text(-)2 + t ^^ 1 + 1/3 t = 6 - t` . En dat levert geen mogelijke waarde voor `t` op.

Toch hebben beide banen een snijpunt. Dat kun je op diverse manieren berekenen:

  • Kies in de vectorvoorstelling (of parametervoorstelling) van `m` een andere letter voor de parameter en los het stelsel vergelijkingen dat hoort bij het snijpunt van beide banen exact op.

  • Maak van beide parametervoorstellingen vergelijkingen in `x` en `y` en bereken daarmee het gevraagde snijpunt.

  • Maak van één van beide parametervoorstellingen een vergelijking in `x` en `y` en vul daarin de parametervergelijkingen van de andere lijn in.

Opgave 7

In het voorbeeld wordt het snijpunt van de banen van twee bewegende punten berekend.

a

Laat zien hoe je aan de twee parametervoorstellingen komt.

b

Waarom mogen de richtingsvectoren nu niet worden verlengd of verkort?

c

Bereken het snijpunt van beide banen door in de vectorvoorstelling van `m` de parameter `t` te vervangen door `s` en `t = text(-)2 + s ^^ 1 + 1/3 t = 6 - s` op te lossen

d

Je kunt ook eerst vergelijkingen maken van beide lijnen. Bereken het snijpunt ook op deze manier.

e

En bereken tenslotte het snijpunt nog eens vanuit een vergelijking van de éne lijn en een parametervoorstelling van de andere.

Opgave 8

Bereken exact het snijpunt van de lijnen `p` en `q` in de volgende gevallen.

a

`l: 2x - y = 12` en `m: ((x),(y)) = ((1),(2)) + t*((2),(5))` .

b

`l: ((x),(y)) = ((0),(5)) + t*((2),(text(-)1))` en `m` door `x = 1 + s` en `y = 3s` .

Opgave 9

In een cartesisch assenstelsel bewegen de punten `A` en `B` over de lijnen `l` en `m` . Op `t = 0` zit `A` in `(1, 4)` en `B` in `(text(-)1, 0)` . Op `t = 4` zit `A` in `(6, 3)` en `B` in `(4, 1)` .

a

Stel de parametervoorstellingen van `l` en `m` op.

b

Waarom botsen deze punten nu wel tegen elkaar?

c

Bereken de coördinaten van het botsingspunt.

d

Laat zien dat je dit punt ook kunt berekenen vanuit twee vergelijkingen van `l` en `m` .

verder | terug