Parametervoorstellingen > Lijnen en cirkels
12345Lijnen en cirkels

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

en .

b

en .

Opgave 1
a

.
heeft kentallen en en .

b

Vul in en in.

Je vindt dan en .

Vul in en in.

Je vindt dan en .

en .

c

Los op en .

geeft .

Omdat ook voldoet alleen .

d

geeft en dus .
Door invullen vind je de bijbehorende -waarden.
De gevraagde punten zijn en .

e

betekent , dus .
Dit geeft . De bijbehorende -waarden zijn en .

Opgave 2
a

en , dus .

b

c

Substitueer en in de vergelijking van de cirkel. Daar moet de uitkomst voor elke waar zijn.

.

d

Nu moet zijn, want je zoekt een snijpunt met de -as.

Met de vergelijking van de cirkel:
De cirkelvergelijking geeft dan , zodat .
De gevraagde punten zijn .

Met de parametervoorstelling van de cirkel:
Ook nu geldt want je zoekt een snijpunt met de -as.
De parametervoorstelling geeft , dus , zodat . Dit levert, als je dit invult in de parametervoorstelling dezelfde punten op.

Opgave 3
a

.

b

Dat gelijk is aan de hoek die de vector vanuit het middelpunt naar een punt op de cirkel maakt met een lijn door en evenwijdig aan de -as.

c

Ja, stelt nu de hoek voor die maakt met een lijn door en evenwijdig aan de -as. Ook is de draairichting omgekeerd.

Opgave 4
a

geeft en dus .
Middelpunt en straal .
Dit geeft parametervoorstelling .

b

geeft en dus .
Middelpunt en straal .
Dit geeft parametervoorstelling .

c

geeft en dus .
Middelpunt en straal .
Dit geeft parametervoorstelling .

Opgave 5
a

geeft middelpunt en straal .
Dit geeft parametervoorstelling .

b

Kwadraat afsplitsen levert en dit is geen cirkel.

c

geeft middelpunt en straal .
Dit geeft parametervoorstelling .

Opgave 6
a

De cirkel heeft middelpunt en straal .
Een mogelijke vergelijking is daarom .
Voor de lijn geldt: .
Vul de vergelijking van in die van de cirkel in en je vindt .
De gevraagde snijpunten vind je door dit in de vergelijking van in te vullen.

b

kun je niet algebraïsch oplossen.

b

geeft .
Dit is wel een oplosbare vergelijking, maar je hebt er nogal wat goniometrische technieken voor nodig. De in het voorbeeld beschreven methode is het handigst.

Opgave 7
a

De cirkel heeft vergelijking en de lijn . Deze snijden levert

en levert op .

De snijpunten zijn en .

b

: geeft .

: geeft .

Deze combineren geeft ofwel .
Dit invullen in één van beide cirkelvergelijkingen en dan berekenen geeft .
De snijpunten zijn en .

Opgave 8
a

Snijpunten met de -as:
geeft en dus volgt.
De snijpunten zijn dus en .

Snijpunten met de -as:
geeft en dus volgt.
De snijpunten zijn dus en .

b

Maak eerst van de vergelijking . Trek beide cirkelvergelijkingen van elkaar af: geeft .
Deze lijn (door beide snijpunten) snijden met geeft en dus .
De snijpunten zijn en .

c

Kwadraat afsplitsen: geeft en . Dus de parametervoorstelling is .

Opgave 9
a

geeft en .

b

Stel vergelijkingen of vectorvoorstellingen op op van de middelloodlijnen van en en bereken hun snijpunt .
De vergelijking van de cirkel om door heeft een straal van . De parametervoorstelling van de cirkel is dus .

Opgave 10

Je vindt , , en .

De grootste afstand is dan die tussen de punten en . Met de stelling van Pythagoras kun je die afstand vervolgens uitrekenen:
De grootste afstand is .

Opgave 11
a

Eerst op nul herleiden: . Met kwadraatafsplitsen vind je .

en .

Parametervoorstelling: .

b

dus na kwadraatafsplitsen vind je . Dit is geen cirkel.

c

Haakjes wegwerken levert en dan ook .

Met kwadraatafsplitsen vind je dus en . Parametervoorstelling: .

d

Je vindt en dan ook dus geen cirkel.

Opgave 12
a

Snijpunten en cirkel berekenen door op te lossen met behulp van de grafische rekenmachine. De gevonden t-waarden ( en ) vul je in in de parametervoorstelling. Dit geeft en.

uitrekenen met de stelling van Pythagoras geeft: .

b

Laat bijvoorbeeld zien dat alle zijden van deze vierhoek even lang zijn. Dat kan meetkundig, maar ook algebraïsch.

De punten zijn , , en .

Met de stelling van Pythagoras kun je laten zien dat .

Opgave 13Cirkels en lijnstuk
Cirkels en lijnstuk
a

De functies die de cirkelbeweging van beschrijven hebben een periode van en die bij punt hebben een periode van .

b

Er moet gelden: .
Dat geldt als: .
Dan geldt:



en

bevindt zich op de lijn of op de lijn .

c

Er moet gelden:
Oplossen: , , en
Alleen op en bevinden en zich onder de -as.
De coördinaten van zijn: of
De coördinaten van zijn: of

(naar: pilotexamen vwo wiskunde B in 2015, eerste tijdvak)

Opgave 14
a

dus en

b

.

c

De snijpunten zijn en .

Opgave 15

De snijpunten zijn en .

verder | terug