Parametervoorstellingen > Lijnen en cirkels
123456Lijnen en cirkels

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`x(t) = 4 cos(t)` en `y(t) = 4 sin(t)` .

b

`x(t) = 1 + 4 cos(t)` en `y(t) = 3 + 4 sin(t)` .

Opgave 1
a

`vec(OP) = vec(OM) + vec(MP)` .
`vec(MP)` heeft kentallen `x = 3 cos(t)` en `y = 3 sin(t)` en `vec(OM) = ((2),(1))` .

b

`P_1(2+1,5sqrt(2); 1 + 1,5sqrt(2))` en `P_2(2-1,5sqrt(2); 1 + 1,5sqrt(2))` .

c

`t = 5/4 pi + k*2pi`

d

Dit zijn de punten `(2 + 1,5sqrt(3); 2,5)` en `(2 - 1,5sqrt(3); 2,5)` .

e

`(1;3,83)` en `(1;text(-)1,83)`

 

Opgave 2
a

`x(t) = 1 + 2 cos(t)` en `y(t) = 3 + 2 sin(t)` , dus `(x(t), y(t)) = (1 + 2 cos(t), 3 + 2 sin(t))` .

b

`(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 4`

c

Substitueer `x(t) = 1 + 2 cos(t)` en `y(t) = 3 + 2 sin(t)` in de vergelijking van de cirkel. Daar moet dan een waarheid uitkomen.

`(2 cos(t))^2 + (2 sin(t))^2 = 4(cos^2(t) + sin^2(t)) = 4*1 = 4` .

d

Nu moet `x=0` zijn, want je zoekt een snijpunt met de `y` -as.

Met de vergelijking van de cirkel:
De cirkelvergelijking geeft dan `(0 - 1)^2 + (y - 3)^2 = 4` , zodat `y = 3 +- sqrt(3)` . De gevraagde punten zijn `(0, 3 +- sqrt(3))` .

Met de parametervoorstelling van de cirkel:
Ook nu geldt `x(t)=0` want je zoekt een snijpunt met de `y` -as. De parametervoorstelling geeft `1 + 2cos(t) = 0` , dus `cos(t) = text(-)0,5` , zodat `t = +-2/3pi + k*2pi` . Dit levert, als je deze invult in de parametervoorstelling dezelfde punten op.

Opgave 3
a

`x^2+y^2-6x+4y=0`

`x^2-6x+y^2+4y=0`

`(x-3)^2-9+(x+2)^2-4=0`

`(x-3)^2+(y+2)^2=13` .

b

Dat `t` gelijk is aan de hoek die de vector vanuit het middelpunt `M` naar een punt `P` op de cirkel maakt met een lijn door `M` en evenwijdig aan de `x` -as.

c

Ja, `t` stelt nu de hoek voor die `vec(MP)` maakt met een lijn door `M` en evenwijdig aan de `y` -as. Ook is de draairichting omgekeerd.

Opgave 4
a

`(x(t), y(t)) = (6 cos(t), 6 + 6 sin(t))` .

b

`(x(t), y(t)) = (text(-)3 + 5 cos(t), 5 sin(t))` .

c

`(x(t), y(t)) = (1,5 + sqrt(23,25) cos(t); text(-)3 + sqrt(23,25) sin(t))` .

Opgave 5
a

`(x(t), y(t)) = (text(-)4 + sqrt(20) cos(t); text(-)2 + sqrt(20) sin(t))` .

b

Dit is geen cirkel.

c

`(x(t), y(t)) = (text(-)4 + sqrt(20) cos(t); 2 + sqrt(20) sin(t))` .

Opgave 6
a

De cirkel heeft middelpunt `M(2, 1)` en straal `r=5` .
Een mogelijke vergelijking is daarom `(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25` . Voor de lijn `l` geldt: `y = 6/7x + 5/7` .
Vul de vergelijking van `l` in die van de cirkel in en je vindt `x = text(-)2 vv x = 5` .
De gevraagde snijpunten vind je door dit in de vergelijking van `l` in te vullen.

b

`2 + 5 cos(t) = t ^^ 1 + 5 sin(t) = 6/7t + 5/7` kun je niet algebraïsch oplossen.

b

`7(1 + 5 sin(t)) - 6(2 + 5 cos(t))=5` geeft `35 sin(t) - 30 cos(t) = 10` .
Dit is wel een oplosbare vergelijking, maar je hebt er nogal wat goniometrische technieken voor nodig. De in het voorbeeld beschreven methode is het handigst.

Opgave 7
a

Snijpunten `(text(-)4, 0)` en `(1, 5)` .

b

Snijpunten `(text(-)3, text(-)1)` en `(2, 0)` .

Opgave 8
a

Snijpunten met de `x` -as: `(7, 0)` en `(1, 0)` .

Snijpunten met de `y` -as: `(0, 7)` en `(0, 1)` .

b

De snijpunten zijn `( 0 , 1 )` en `( 1 , 0 )` .

c

`M_1 ( 4 , 4 )` en `r_1 =5` . Parametervoorstelling: `(x(s), y(s)) = (4 + 5 cos(s), 4 + 5 sin(s))` .

Opgave 9
a

`( x,y )=( 3,0 )+p(1,1 )` geeft `x=3 +p` en `y=p`

b

De parametervoorstelling van de cirkel is  `(x(t), y(t)) = (2 + sqrt(10) cos(t), 3 + sqrt(10) sin(t))` .

Opgave 10

De grootste afstand is `|BC| = sqrt(58 + 12sqrt(6))` .

Opgave 11
a

`M(3,text(-)2)` en `r=sqrt(8)` .

parametervoorstelling:  `(x(t), y(t)) = (3 + sqrt(8) cos(t), text(-)2 + sqrt(8) sin(t))` .

b

Dit is geen cirkel; en dus is er ook geen parametervoorstelling mogelijk.

c

`M(text(-)2,text(-)1)` en `r=sqrt(8)` . Dus `(x(t), y(t)) = (text(-)2 + sqrt(8) cos(t), text(-)1 + sqrt(8) sin(t))` .

d

Dit is geen cirkel; en dus is er ook geen parametervoorstelling mogelijk.

Opgave 12
a

`| PQ |≈3,87` .

b

Laat bijvoorbeeld zien dat alle zijden van deze vierhoek even lang zijn. Dat kan meetkundig, maar ook algebraïsch.

De punten zijn `O(0,0)` ; `M(1,text(-)2)` , `P(2,13;text(-)0,13)` en `Q(text(-)1,23;text(-)1,87)` .

Met de stelling van pythagoras kun je laten zien dat elke zijde dus `|OA|=|AM|=|BM|=|OB|=2,24` .

Opgave 13
a

Punt `B` draait twee keer zo snel rond als punt `A` . Dat betekent dat punt `B` in het gegeven tijdsinterval twee omwentelingen maakt.

b

Er moet gelden: `cos(2t)=0`
Dat geldt als: `t=1/4pi;3/4pi;5/4pi` en `7/4pi`
Dan geldt:
`x_A(1/4pi)=y_A(1/4pi)=1/2sqrt(2)`
`x_A(3/4pi)=text(-)y_A(3/4pi)=1/2sqrt(2)`
`x_A(5/4pi)=y_A(5/4pi)=text(-)1/2sqrt(2)`
en
`x_A(7/4pi)=text(-)y_A(7/4pi)=text(-)1/2sqrt(2)`

`A` bevindt zich op de lijn `y=text(-)x` of `y=x`

c

`t~~2,21` en `t~~4,08`
met
`A(0,8; text(-)0,6)` of `A(text(-)0,8; text(-)0,6)`
`B(1,9; text(-)0,6)` of `B(1,9; text(-)0,6)`

naar: pilotexamen 2015 - I

Opgave 14
a

`( x-6 ) ^2 +y^2 =26` dus `M_1 ( 6 ,0 )` en `r_1 =sqrt( 26 )`

b

`(x(t), y(t)) = (4 + sqrt(10) cos(t), 2 + sqrt(10) sin(t))` .

c

De snijpunten zijn `A( 1 ,1 )` en `B( 5 ,5 )` .

Opgave 15

De snijpunten zijn `(text(-)2,text(-)1)` en `(2,1)`

verder | terug