`vec(OP) = vec(OM) + vec(MP)` .
`vec(MP)` heeft kentallen `x = 3 cos(t)` en `y = 3 sin(t)` en `vec(OM) = ((2),(1))` .

Vul `t = 1/4pi` in `x(t)` en `y(t)` in.

Je vindt dan `x(1/4pi) = 2 + 3cos(1/4pi) = 2 + 1,5sqrt(2)` en `y(1/4pi) = 1 + 3sin(1/4pi) = 1 + 1,5sqrt(2)` .

Vul `t = 3/4pi` in `x(t)` en `y(t)` in.

Je vindt dan `x(3/4pi) = 2 + 3cos(3/4pi) = 2 - 1,5sqrt(2)` en `y(13/4pi) = 1 + 3sin(3/4pi) = 1 + 1,5sqrt(2)` .

`P_1(2 + 1,5sqrt(2); 1 + 1,5sqrt(2))` en `P_2(2 - 1,5sqrt(2); 1 + 1,5sqrt(2))` .

Los op `x(t) = 2 - 1,5sqrt(2)` en `y(t) = 1 - 1,5sqrt(2)` .

`2 + 3cos(t) = 2 - 1,5sqrt(2)` geeft `t = 3/4 pi + k*2pi vv t = 5/4 pi + k*2pi` .

Omdat ook `y(t) = 1 - 1,5sqrt(2)` voldoet alleen `t = 5/4 pi + k*2pi` .

`1 + 3 sin(t) = 2,5` geeft `sin(t) = 0,5` en dus `t = 1/6 pi + k*2pi vv t = 5/6 pi + k*2pi` .
Door invullen vind je de bijbehorende `x` -waarden.
De gevraagde punten zijn `(2 + 1,5sqrt(3); 2,5)` en `(2 - 1,5sqrt(3); 2,5)` .

`x = 1` betekent `2 + 3cos(t) = 1` , dus `cos(t) = text(-) 1/3` .
Dit geeft `t ~~ +-1,911 + k*2pi` . De bijbehorende `y` -waarden zijn `y ~~ 3,83` en `y ~~ text(-)1,83` .

`x(t) = 1 + 2 cos(t)` en `y(t) = 3 + 2 sin(t)` , dus `(x(t), y(t)) = (1 + 2 cos(t), 3 + 2 sin(t))` .

`(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 4`

Substitueer `x(t) = 1 + 2 cos(t)` en `y(t) = 3 + 2 sin(t)` in de vergelijking van de cirkel. Daar moet de uitkomst voor elke `t` waar zijn.

`(2 cos(t))^2 + (2 sin(t))^2 = 4(cos^2(t) + sin^2(t)) = 4*1 = 4` .

Nu moet `x = 0` zijn, want je zoekt een snijpunt met de `y` -as.

Met de vergelijking van de cirkel:
De cirkelvergelijking geeft dan `(0 - 1)^2 + (y - 3)^2 = 4` , zodat `y = 3 +- sqrt(3)` .
De gevraagde punten zijn `(0, 3 +- sqrt(3))` .

Met de parametervoorstelling van de cirkel:
Ook nu geldt `x(t) = 0` want je zoekt een snijpunt met de `y` -as.
De parametervoorstelling geeft `1 + 2cos(t) = 0` , dus `cos(t) = text(-)0,5` , zodat `t = +-2/3pi + k*2pi` . Dit levert, als je dit invult in de parametervoorstelling dezelfde punten op.

`x^2 + y^2 - 6x + 4y = 0`

`x^2 - 6x + y^2 + 4y = 0`

`(x-3)^2 - 9 + (x+2)^2 - 4 = 0`

`(x-3)^2 + (y+2)^2 = 13` .

Dat `t` gelijk is aan de hoek die de vector vanuit het middelpunt `M` naar een punt `P` op de cirkel maakt met een lijn door `M` en evenwijdig aan de `x` -as.

Ja, `t` stelt nu de hoek voor die `vec(MP)` maakt met een lijn door `M` en evenwijdig aan de `y` -as. Ook is de draairichting omgekeerd.

`x^2 + y^2 - 12y = 0` geeft `x^2 + (y-6)^2 - 36 = 0` en dus `x^2 + (y-6)^2 = 36` .
Middelpunt `(0 , 6)` en straal `6` .
Dit geeft parametervoorstelling `(x(t), y(t)) = (6 cos(t), 6 + 6 sin(t))` .

`x^2 + 6x + y^2 = 16` geeft `(x+3)^2 - 9 + y^2 = 16` en dus `(x+3)^2 + y^2 = 25` .
Middelpunt `(text(-)3 , 0)` en straal `5` .
Dit geeft parametervoorstelling `(x(t), y(t)) = (text(-)3 + 5 cos(t), 5 sin(t))` .

`x^2 - 3x + y^2 + 6y = 12` geeft `(x-1,5)^2 - 2,25 + (y+3)^2 - 9 = 12` en dus `(x-1,5)^2 + (y+3)^2 = 23,25` .
Middelpunt `(1,5 ; text(-)3)` en straal `sqrt(23,25)` .
Dit geeft parametervoorstelling `(x(t), y(t)) = (1,5 + sqrt(23,25) cos(t); text(-)3 + sqrt(23,25) sin(t))` .

`(x+4)^2 + (y+2)^2 = 20` geeft middelpunt `(text(-)4, text(-)2)` en straal `sqrt(20)` .
Dit geeft parametervoorstelling `(x(t), y(t)) = (text(-)4 + sqrt(20) cos(t), text(-)2 + sqrt(20) sin(t))` .

Kwadraat afsplitsen levert `(x-4)^2 + (y+2)^2 = text(-)5` en dit is geen cirkel.

`(x+4)^2 + (y-2)^2 = 20` geeft middelpunt `(4, 2)` en straal `sqrt(20)` .
Dit geeft parametervoorstelling `(x(t), y(t)) = (text(-)4 + sqrt(20) cos(t), 2 + sqrt(20) sin(t))` .

De cirkel heeft middelpunt `M(2, 1)` en straal `r=5` .
Een mogelijke vergelijking is daarom `(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25` .
Voor de lijn `l` geldt: `y = 6/7x + 5/7` .
Vul de vergelijking van `l` in die van de cirkel in en je vindt `x = text(-)2 vv x = 5` .
De gevraagde snijpunten vind je door dit in de vergelijking van `l` in te vullen.

`2 + 5 cos(t) = t ^^ 1 + 5 sin(t) = 6/7t + 5/7` kun je niet algebraïsch oplossen.

`7(1 + 5 sin(t)) - 6(2 + 5 cos(t))=5` geeft `35 sin(t) - 30 cos(t) = 10` .
Dit is wel een oplosbare vergelijking, maar je hebt er nogal wat goniometrische technieken voor nodig. De in het voorbeeld beschreven methode is het handigst.

De cirkel heeft vergelijking `(x+1)^2 + (y-2)^2 = 13` en de lijn `y = x+4` . Deze snijden levert

`(x+1)^2 + (x+4-2)^2 = 13` en levert op `x = text(-)4 vv x = 1` .

De snijpunten zijn `(text(-)4, 0)` en `(1, 5)` .

`c_1` : `(x+1)^2 + (y-2)^2 = 13` geeft `x^2 + y^2 + 2x - 4y = 8` .

`c_2` : `(x+1/2)^2 + (y+1/2)^2 = 6,5` geeft `x^2 + y^2 + x + y = 6` .

Deze combineren geeft `x - 5y = 2` ofwel `x = 5y + 2` .
Dit invullen in één van beide cirkelvergelijkingen en dan `y` berekenen geeft `y = text(-)1 vv y = 0` .
De snijpunten zijn `(text(-)3, text(-)1)` en `(2, 0)` .

Snijpunten `c_1` met de `x` -as:
`y = 0` geeft `x^2 - 8x + 7 = 0` en dus volgt `x = 7  ∨ x = 1` .
De snijpunten zijn dus `(7, 0)` en `(1, 0)` .

Snijpunten `c_1` met de `y` -as:
`x = 0` geeft `y^2 - 8y + 7 = 0` en dus volgt ` y = 7  ∨ y = 1 ` .
De snijpunten zijn dus `(0, 7)` en `(0, 1)` .

Maak eerst van `c_2` de vergelijking `x^2 + y^2 = 1` . Trek beide cirkelvergelijkingen van elkaar af: `text(-)8x - 8y + 8 = 0` geeft `y = text(-)x + 1` .
Deze lijn (door beide snijpunten) snijden met `c_2` geeft `x^2 + (text(-)x+1)^2 = 1` en dus `x = 0  ∨ x = 1` .
De snijpunten zijn `(0, 1)` en `(1, 0)` .

Kwadraat afsplitsen: `(x-4)^2 + (y-4)^2 = 25` geeft `M_1 (4, 4)` en `r_1 = 5` . Dus de parametervoorstelling is `(x(s), y(s)) = (4 + 5 cos(s), 4 + 5 sin(s))` .

`((x),(y)) = ((3),(0)) + p((1),(1))` geeft `x = 3 + p` en `y = p` .

Stel vergelijkingen of vectorvoorstellingen op op van de middelloodlijnen van `AB` en `AC` en bereken hun snijpunt `M(2, 3)` .
De vergelijking van de cirkel om `M` door `A` heeft een straal van `|vec(MA)| = sqrt(10)` . De parametervoorstelling van de cirkel is dus `(x(t), y(t)) = (2 + sqrt(10) cos(t), 3 + sqrt(10) sin(t))` .

Eerst op nul herleiden: `x^2 - 6x + y^2 + 4y + 5 = 0` . Met kwadraatafsplitsen vind je `(x-3)^2 + (y+2)^2 = 8` .

`M(3, text(-)2)` en `r = sqrt(8)` .

Parametervoorstelling: `(x(t), y(t)) = (3 + sqrt(8) cos(t), text(-)2 + sqrt(8) sin(t))` .

`x^2 - 6x + y^2 + 4y = 50` dus na kwadraatafsplitsen vind je `(x-3)^2 + (y+2)^2 = text(-)37` . Dit is geen cirkel.

Haakjes wegwerken levert `x^2 + 4x = 3 - y^2 - 2y` en `x^2 + 4x + y^2 + 2y = 3` .

Met kwadraatafsplitsen vind je `(x+2)^2 + (y+1)^2 =8` dus `M(text(-)2 ,text(-)1)` en `r = sqrt(8)` . Parametervoorstelling: `(x(t), y(t)) = (text(-)2 + sqrt(8) cos(t), text(-)1 + sqrt(8) sin(t))` .

Je vindt `x^2 - 4x + y^2 - 2y = text(-)5` en dan ook `(x-2)^2 + (y-1)^2 = 0` dus geen cirkel.

`c` is een cirkel met straal `sqrt(5)` en middelpunt `text(1, text(-)2)` .

Dus: `c: (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 5` .

Snijpunten `m` en `c` vind je door `x = 2y + 2,5` in de vergelijking van `c` in te vullen. Dit geeft na haakjes wegwerken `y^2 + 2y + 0,25 = 0` en `y = text(-)1 +- 1/2 sqrt(3)` .
De snijpunten zijn `P(1/2 - sqrt(3), text(-)1 - 1/2 sqrt(3))` en `Q(1/2 + sqrt(3), text(-)1 + 1/2 sqrt(3))` .

`|PQ|` uitrekenen met de stelling van Pythagoras geeft: `| PQ |≈3,87` .

Laat bijvoorbeeld zien dat alle zijden van deze vierhoek even lang zijn. Dat kan meetkundig, maar ook algebraïsch.

De punten zijn `O(0, 0)` , `M(1, text(-)2)` , `P(1/2 - sqrt(3), text(-)1 - 1/2 sqrt(3))` en `Q(1/2 + sqrt(3), text(-)1 + 1/2 sqrt(3))` .

Met de stelling van Pythagoras kun je laten zien dat `|OP| = |PM| = |MQ| = |QO| = sqrt(5)` .

De functies die de cirkelbeweging van `B` beschrijven hebben een periode van `(2pi)/2 = pi` en die bij punt `A` hebben een periode van `2pi` .

Er moet gelden: `cos(2t) = 0` .
Dat geldt als: `t = 1/4 pi vv t = 3/4 pi vv t = 5/4 pi vv t = 7/4 pi` .
Dan geldt:
`x_A(1/4 pi) = y_A(1/4 pi) = 1/2 sqrt(2)`
`x_A(3/4 pi) = text(-)y_A(3/4 pi) = 1/2 sqrt(2)`
`x_A(5/4 pi) = y_A(5/4 pi) = text(-)1/2 sqrt(2)`
en
`x_A(7/4 pi) = text(-)y_A(7/4 pi) = text(-)1/2 sqrt(2)` .

`A` bevindt zich op de lijn `y=text(-)x` of op de lijn `y=x` .

Er moet gelden: `2cos(2t) = cos(t)` .
Oplossen: `t ~~ 0,57` , `t ~~ 2,21` , `t ~~ 4,08` en `t ~~ 5,72` .
Alleen op `t = 2,21` en `t = 4,08` bevinden `A` en `B` zich onder de `x` -as.
De coördinaten van `A` zijn: `(0,8; text(-)0,6)` of `(text(-)0,8; text(-)0,6)` .
De coördinaten van `B` zijn: `(1,9; text(-)0,6)` of `(1,9; text(-)0,6)` .

`(x-6)^2 + y^2 = 26` dus `M_1 (6, 0)` en `r_1 = sqrt(26)` .

`(x(t), y(t)) = (4 + sqrt(10) cos(t), 2 + sqrt(10) sin(t))` .

De snijpunten zijn `A(1, 1)` en `B(5, 5)` .