De richtingsvectoren `((2),(1))` en `((3),(text(-)1))` .

Voor de richtingsvectoren `vec(a)=((2),(1))` en `vec(b)=((3),(text(-)1))` geldt `|vec(a)|=sqrt(5)` , `|vec(b)|=sqrt(10)` en `vec(a)*vec(b)=5` .

Dan volgt ook `5 = sqrt(5) * sqrt(10) cos(alpha)` en dit geeft `alpha = 45^@` .

Niet automatisch, de hoek tussen twee vectoren kan een stompe hoek zijn, de hoek tussen twee lijnen is altijd een scherpe hoek.

Voor de richtingsvectoren `vec(a) = ((text(-)3),(1))` en `vec(b) = ((2),(text(-)1))` geldt `|vec(a)| = sqrt(10)` , `|vec(b)| = sqrt(5)` en `vec(a)*vec(b) = text(-7)` .

`text(-)7 = sqrt(10) * sqrt(5) cos(alpha)` en dit geeft `alpha ~~ 172^@` .

Nee, de juiste hoek tussen beide lijnen is `8^@` , want dit moet een scherpe hoek zijn.

`r_x * r_y + r_y * text(-)r_x = 0 = sqrt((r_x)^2 + (r_y)^2) * sqrt((r_y)^2 + (text(-)r_x)^2) * cos(varphi)` geeft `cos(varphi) = 0` en dus `varphi = 90^@` .

`((3),(text(-)2))` en ook alle veelvouden van deze vector.

Hun inproduct is `0` .

`((1),(3))` , want `((1),(3)) * ((text(-)3),(1)) = 0` .

`((x), (y)) = t((1), (3))`

De normaalvector kun je direct aflezen: `((text(-)1),(3))` en dus is `m` : `((x),(y)) = t ((text(-)1),(3))` een geschikte vectorvoorstelling. De parametervoorstelling wordt: `m` : `(x(t), y(t)) = (text(-)t, 3t)` .

Het snijpunt van `l` en `m` berekenen: `t + 9t = 5` geeft `t = 0,5` , dus snijpunt `S(text(-)0,5; 1,5)` .
De gevraagde afstand is `|OS| = sqrt((text(-)0,5)^2 + (1,5)^2) = sqrt(2,5)` .
Je noteert dit als `text(d)(O, l) = sqrt(2,5)` .

Richtingsvector van `m` is `((2),(text(-)1))` .
Normaalvector van `m` is `((1),(2))` .

Met de normaalvector wordt de vergelijking `x + 2y = c` .
Het punt `(0, text(-)1)` invullen geeft `x + 2y = text(-)1` .

De richtingsvector van `m` is de normaalvector van `p` . De vergelijking van `p` is dus `2x - y = c` . Het punt `(2, 3)` invullen geeft dan `2x - y = 1` .

De hoek tussen twee lijnen moet scherp zijn, de hoek tussen twee vectoren niet.

De richtingsvector van `l` : `vec(l) = ((text(-)3),(4))` dus `|vec(l)| = sqrt(25)` .

De richtingsvector van `m` : `vec(m) = ((6),(2))` dus `|vec(m)| = sqrt(40)` .

Dan geldt ook `vec(l)*vec(m) = text(-)10` .

Volgt `text(-)10 = sqrt(25)*sqrt(40)*cos(alpha)` geeft `alpha~~108,4^@` .

De scherpe hoek is dan `180^@-108,4^@ = 71,6^@` .

Maak twee richtingsvectoren `vec(r_p) = ((2),(1))` en `vec(r_q) = ((3),(text(-)5))` .
Bereken met het inproduct de hoek tussen beide vectoren. Je vindt ongeveer `85,6^@`

Maak twee richtingsvectoren `vec(r_(AB)) = ((5),(text(-)4))` en `vec(r_q) = ((5),(text(-)1))` .
Bereken met het inproduct de hoek tussen beide vectoren. Je vindt ongeveer `27,3^@`

De lijn `l` door `PQ` is de lijn `x + 3y = 4` dus de normaalvector van de lijn `PQ` is `((1),(3))` .

De vectorvoorstelling van een lijn door `A ⊥ PQ` is dan `((x),(y)) = ((4),(8)) + t*((1),(3))` .

`PQ` : `x + 3y = 4` en `l` : `(x, y) = (4 + t, 8 + 3t)` .

`x = 4 + t` en `y = 8 + 3t` invullen in `x + 3y = 4` levert `4 + t + 3*(8 + 3t) = 4` .

Dus `4 + t + 24 + 9t = 4` en dit levert `t = text(-)2,4` .
`t = text(-)2,4` invullen in de vectorvoorstelling geeft het snijpunt.
Snijpunt `S(1,6; 0,8)` .

`text(d)(A,l) = |vec(AS)| = sqrt(2,4^2 + 7,2^2) ~~ 7,59` .

Bijvoorbeeld:
Middelloodlijn van `OA` : `x = 2` ; middelloodlijn van `AB` : `y = 0,2x + 1,8` ; middelloodlijn van `OB` : `y = text(-)0,6x + 3,4` .

Snijden middelloodlijnen `OA` met `AB` geeft als snijpunt het coördinaat `(2; 2,2)` .

Snijden middelloodlijnen `OA` met `OB` geeft als snijpunt het coördinaat `(2; 2,2)` .

Snijden middelloodlijnen `OB` met `AB` geeft als snijpunt het coördinaat `(2; 2,2)` .

Alle drie de middelloodlijnen snijden elkaar dus in hetzelfde punt.

Het snijpunt van de middelloodlijnen is `(2; 2,2)` .
Dus de cirkelvergelijking is `c` : `(x-2)^2 + (y-2,2)^2 = r^2` .
Nu bereken je `r^2` door een punt in te vullen, kies hier bijvoorbeeld het punt `O(0, 0)` ; dan maak je het jezelf gemakkelijk: `(0-2)^2 + (0-2,2)^2 = r^2` geeft `r^2 = 4 + 4,84 = 8,84` .

Je vindt `c` : `(x-2)^2 + (y-2,2)^2 = 8,84` .

Vul de coördinaten van `O` , `A` en `B` in de cirkelvergelijking in:

`O(0, 0)` : `(0-2)^2 + (0-2,2)^2 = 8,84`

`A(4, 0)` : `(4-2)^2 + (0-2,2)^2 = 8,84`

`B(3, 5)` : `(3-2)^2 + (5-2,2)^2 = 8,84`

Je vindt drie keer een ware bewering en dus liggen alle drie de punten op de cirkel.

Noem `A` het snijpunt van `l` en `m` . Dan vind je `A(0, 2)` .

Noem `B` het snijpunt van `n` en `l` . Dan vind je `B(6, 0)` .

Noem `C` het snijpunt van `m` en `n` . Dan vind je `C(0,8; 5,2)` .

Richtingsvector `vec(l) = ((text(-)3),(1))` ; richtingsvector `vec(m) = ((1),(4))` en richtingsvector `vec(n) = ((text(-)1),(1))` . Dan geldt `|vec(l)| = sqrt(10)` , `|vec(m)| = sqrt(17)` en `vec(n) = sqrt(2)` ; en dan vind je

`/_A ~~ 94^@` , `/_B ~~ 27^@` en `/_C ~~ 59^@` .

Stel twee middelloodlijnen van bijvoorbeeld `AB` en `BC` . De middelloodlijn van `AB` is `3x - y = 8` en de middelloodlijn van `BC` is `5,2x - 5,2y = 4,16` . Het middelpunt van de cirkel is het snijpunt van beide middelloodlijnen. Dit snijpunt is `M(3,6; 2,8)` en dus krijg je `(x - 3,6)^2 + (y - 2,8)^2 = k` voor de cirkel. Om `k` uit te rekenen voer je een punt van de cirkel in, bijvoorbeeld `A(0, 2)` . Je vindt dan `k = 13,6` .

De vergelijking van de cirkel is `(x - 3,6)^2 + (y - 2,8)^2 = 13,6` .

Een vergelijking van de lijn door `QR` is `5x + 7y = 85` .
Dus de richtingsvector van de loodlijn door `P` is `((5),(7))` .
Een passende vectorvoorstelling is `((x),(y)) = ((text(-)5),(10)) + t((5),(7))` .
Hierbij past de vergelijking `text(-)7x + 5y = 85` .

`Q(7, 7)` en `R(0, 12)` . Het midden `M` hiervan is `M(3,5; 9,5)` .
Gevraagd wordt dus de vergelijking van een lijn door `P(text(-)5, 10)` en `M(3,5; 9,5)` .
Dit is `1/2 x + 8 1/2 y = 82 1/2` .

Het midden `M` heb je al berekend: `M(3,5; 9,5)` .
Richtingsvector loodlijn is dan `((5),(7))` .
Een vectorvoorstelling van de loodlijn is dan `((x),(y)) = ((3,5),(9,5)) + t((5),(7))` .
Hierbij past de vergelijking `7x - 5y = text(-)23` .

De oppervlakte van `ΔPQR = 1/2*|QR|*|PS|` met `S` snijpunt hoogtelijn uit `P` met zijde `QR` .

`S` bereken je door `text(-)7x + 5y = 85` te snijden met `5x + 7y = 84` . Dit geeft `S(text(-)175/74, 1013/74)` .

Dan geldt `|QR| = sqrt(74)` en `|PS| = 39/74 sqrt(74)` . Dan vind je oppervlakte van `ΔPQR = 19,5` .

Het middelpunt `M` is het snijpunt van twee middelloodlijnen van de driehoek. Een middelloodlijn, die van zijde `QR` heb je al berekend: `7x - 5y = text(-)23` .

De middelloodlijn van bijvoorbeeld `PR` is `5x + 2y = 9,5` . Deze twee middelloodlijnen snijden geeft `M(1/26, 4 17/26)` . Kies een van de hoekpunten om met behulp van de stelling van Pythagoras de grootte van de straal uit te rekenen. Dan vind je `r ~~ 7,35` .

Een geschikte parametervoorstelling is dan `x(t) ~~ 0,04 + 7,35*sin(t)` en `y(t) ~~ 4,65 + 7,35cos(t)` .

`vec(OD) = vec(OA) + vec(AD)` en `vec(OA) = ((p),(q))` en `vec(AD)` staat loodrecht op `vec(AB) = ((2 - p),(text(-)q))` .

`vec(OD) = ((p),(q)) + ((q),(2 - p)) = ((p + q),(2 - p + q))` .

`vec(MA) = ((1 - p),(text(-)q))` .

`vec(OE) = ((p),(q)) + ((text(-)q),(p)) = ((p - q),(p + q))` en `vec(ED) = vec(OD) - vec(OE) = ((p + q),(2 - p + q)) - ((p - q),(p + q)) = ((2q),(2 - 2p))` .

Het inproduct van `vec(MA)` en `vec(ED)` is `0` .

Noem `M_1` midden `AB` , `M_2` midden `BC` en `M_3` midden `AC` .

Dan geldt `M_1(1/2 a, 1/2 b)` , `M_2(1/2 b, 1/2 c)` en `M_3(1/2 a, 1/2 c)` .

Stel vectorvoorstellingen op van twee middelloodlijnen. Dit kunnen zijn `((x),(y)) = ((1/2 b),(1/2 c)) + t((c),(b))` en `((x),(y)) = ((1/2 a),(1/2 c)) + t((c),(text(-)a))` . Deze snijden geeft het middelpunt `M((a+b)/2, (ac-bc)/(2a))` . Stel een vergelijking op van de derde middelloodlijn `((x),(y)) = ((1/2 a),(1/2 b)) + t((0),(text(-)b+a))` . Het middelpunt ligt op deze lijn.

Het middelpunt van deze cirkel heb je al uitgerekend: `((a+b)/2, (ac-bc)/(2a))` . Kies nu een van de punten van de driehoek om de straal `r` uit te rekenen.

Kies bijvoorbeeld `C(0, c)` en `M((a+b)/2, (ac-bc)/(2a))` .
Dan geldt `|MC| = sqrt(((ac-bc)/(2a) - c)^2 + ((a+b)/2 - 0)^2) = sqrt(((a-b)/2)^2(1 + (c^2)/(a^2)))` .

De vergelijking van de cirkel wordt dan `(x - (a+b)/2)^2 + (y - (ac-bc)/(2a))^2 = ((a-b)/2)^2(1 + (c^2)/(a^2))` .

De hoek tussen `AB` en `CD` is gelijk aan `37^@` .

Ongeveer `6,26` .

`(10 1/3, text(-)4 2/3)` .