Parametervoorstellingen

Parametervoorstellingen > Raaklijnen

123456Raaklijnen

Voorbeeld 1

Stel een vergelijking op van de raaklijn `r` in het punt `P(3, 5)` aan de cirkel `c: (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 13` .

> antwoord

Door punt `A` te verplaatsen kun je de gewenste raaklijn maken. Ga na, dat dan `vec(MP)` een normaalvector van de raaklijn is.

Het middelpunt van de cirkel is `M(1, 2)` en het raakpunt is `P(3, 5)` . Dus is de normaalvector van de raaklijn `vec(MP) = ((3−1),(5−2)) = ((2),(3))` .

De vergelijking van de raaklijn is daarom van de vorm `2x + 3y = c` .

Omdat hij door `P(3, 5)` gaat is `2 * 3 + 3 * 5 = c` , dus `c = 21` .

Dus `r` heeft vergelijking `2x + 3y = 21` .

Opgave 4

In Voorbeeld 1 zie je hoe je een vergelijking opstelt van een raaklijn in een punt `P` aan een cirkel als dit punt op de cirkel ligt. Er wordt gebruik gemaakt van de loodrechte stand van `vec(MP)` en de raaklijn. Je kunt echter ook gebruik maken van de parametervoorstelling van de raaklijn `(x, y) = (3 + t, 5 + at)` .

Waarom is dit een geschikte parametervoorstelling van de raaklijn?

Bereken nu `a` met behulp van de discriminantmethode.

Laat zien, dat de raaklijn die je zo hebt gevonden inderdaad loodrecht staat op `vec(MP)` .

Opgave 5

Gegeven `P(5, 10)` en de cirkel met parametervoorstelling `x(t) = 3 + sqrt(20) cos(t)` en `y(t) = 6 + sqrt(20) sin(t)` .

Stel een vergelijking op van de raaklijn in `P(5, 10)` aan deze cirkel .

Bereken de afstand van de oorsprong van het assenstelsel tot deze raaklijn.

verder | terug