`r^2 = 3^2 + 4^2 = 25` en dus vind je `x^2 +y^2 = 25` als vergelijking van de cirkel.

`vec(OP) = ((3),(4))`

Dat is natuurlijk dezelfde vector: `vec(OP) = ((3),(4))` .

De normaalvector is `vec(OP) = ((3),(4))` , dus `3x + 4y = c` .
Vul hierin `P(3, 4)` in. Dit geeft `c = 25` . Dus de vergelijking van de raaklijn in `P` aan de cirkel is `3x + 4y = 25` .

Maak een schets van de situatie.

Dit kan alleen maar een verticale raaklijn zijn bij `x = 5` . Dit is dus ook meteen de vergelijking van de raaklijn.

`P(7, 5)` ligt niet op de cirkel `c: x^2 + y^2 = 25` .

De lijn heeft een plaatsvector `vec(OP) = ((7),(5))` en een richtingsvector `((1),(a))` waarin `a` de richtingscoëfficiënt van de raaklijn is. Dus is `((x),(y)) = ((7),(5)) + t*((1),(a))` een mogelijke vectorvoorstelling. Hieruit volgt meteen de parametervoorstelling.

Je substitueert `x = 7+t` en `y = 5 + at` in de vergelijking van de cirkel. Dit geeft een kwadratische vergelijking in `t` waarvan de discriminant `0` moet zijn.

Substitueer `x = 7 + t` en `y = 5 + at` in `x^2 + y^2 = 25` . Dit geeft `(7+t)^2 + (5+at)^2 = 25` .

De bedoeling is nu om `a` uit te rekenen. Aangezien het een raaklijn is, heeft deze één punt gemeenschappelijk met de cirkel. Dus `D = 0` .

`49 + 14t + t^2 + 25 + 10at + a^2t^2 = 25` geeft `(1+a^2)t^2 + (14+10a)t + 49 = 0` .

Dus `D = (14+10a)^2 - 4*(1+a^2)*49 = 0` levert op `a = 35/12 ∨ a = 0` .

De raaklijnen zijn dan `y = 5` en `y = 35/12 x - 185/12` .

De raaklijn door `P` heeft een onbekende richtingscoëfficiënt die je `a` kunt noemen.

Substitueer `x = 3+t` en `y = 5+at` in `(x-1)^2 + (y-2)^2 = 13` .

Dit levert `(3+t-1)^2 + (5+at-2)^2 = 13` , dus `(2+t)^2 + (3+at)^2 = 13` .

Hieruit volgt `(1+a^2)t^2 + (4+6a)t = 0` .

Omdat `D = 0` geldt `(4+6a)^2 - 4*(1+a^2)*0 = 0` en dus `4 + 6a = 0` met `a = text(-)2/3` .

Het inproduct van de r.v. van de raaklijn `((1),(text(-)2/3))` en `vec(MP) = ((2),(3))` is `0` .

Ga eerst na, dat `P` op deze cirkel ligt. Het middelpunt van de cirkel is `M(3, 6)` .
`vec(MP) = ((2),(4))` , dus de vergelijking van de raaklijn is `2x + 4y = c` .
De raaklijn gaat door `P` , dus de vergelijking wordt `2x + 4y = 50` .

Met de afstand van een punt `O(0, 0)` tot een lijn wordt kortste afstand bedoeld, ofwel de loodrechte afstand.
Nu staat `OP` loodrecht op de raaklijn, want `OP` gaat door `M` en `P` is een raakpunt.
De stelling van Pythagoras levert dus de gevraagde afstand: `sqrt(10^2 + 5^2) = sqrt(125) = 5sqrt(5)` .

Zie het voorbeeld.

Deze raaklijnen hebben als vergelijking `y = 3x + b` . Vul dit in de cirkelvergelijking in en stel weer de discriminant gelijk aan `0` . Je vindt dan `b = text(-)2 vv b = text(-)22` . De raaklijnen zijn `y = 3x - 2` en `y = 3x - 22` .

Bijvoorbeeld `((1),(3))` .

Een veelvoud van `((text(-)3),(1))` en van `((3),(text(-)1))` . Merk op dat deze vectoren beide een lengte hebben die gelijk is aan de straal van de cirkel, dus je hoeft er geen veelvoud van de bepalen.

`P_1(4 - 3, 0 + 1) = P_1(1, 1)` en `P_2(4 + 3, 0 - 1) = P_2(7, text(-)1)` .

Je weet de richtingscoëfficiënt en het raakpunt.

Dus `y = 3x+b` door `P_1(1, 1)` en door `P_2(7, text(-)1)` .

Door `P_1(1, 1)` levert `1 = 3*1 + b` en dus `b = text(-)2` .

Door `P_2(7, text(-)1)` levert `text(-)1 = 3*7 + b` en dus `b = text(-)22` .

De raaklijnen zijn dus `y = 3x - 2` en `y = 3x - 22` .

Gebruik bijvoorbeeld de discriminantmethode met `y = text(-)4x + b` . Een vergelijking van de cirkel is `(x-4)^2 + (y-2)^2 = 17` . Substitutie van `y = text(-)4x + b` levert op `(x-2)^2 + (text(-)4x+b-2)^2 = 17` .

Met `D = 0` vind je dan `b = 1 ∨ b = 35` .

Je vindt `y = text(-)4x + 1` en `y = text(-)4x + 35` .

Ook hier kun je werken met de discriminantmethode, bijvoorbeeld met de parametervoorstelling `(x, y) = (13 + t, 4 + at)` . Je vindt dan `a = text(-)0,25 vv a = 0,8125` . Dit geeft de vergelijkingen `y = text(-)0,25x + 7,25` en `y = 0,8125x - 6,5625` .

Dit kan meetkundig als je er gebruik van maakt dat bij `Q` een rechte hoek zit: `PQ _|_ OQ` . Met de stelling van Pythagoras vind je dan `|PQ| = a sqrt(3)` .
Je kunt ook eerst de vergelijkingen van de beide raaklijnen opstellen met de discriminantmethode. Je vindt `y = sqrt(3) * x - 2a sqrt(3)` en `y = text(-)sqrt(3) * x + 2a sqrt(3)` . Dan kun je beide raakpunten berekenen: `(1/2 a, +- 1/2 a sqrt(3))` . En dan kun je `|PQ|` berekenen.

Zie bij a hoe je de twee raaklijnen en de raakpunten berekent.
Raaklijn `PQ` heeft b.v. als r.v. `((1),(text(-)sqrt(3)))` .
Dan is `vec(OQ) = ((1/2 a),(1/2 a sqrt(3)))` . Het inproduct van deze twee vectoren is `0` .

Er zijn meerdere methoden om dit te doen: je kunt van beide cirkels vergelijkingen maken en dan dit stelsel oplossen. Je kunt ook de parametervoorstelling van `c_1` invullen in de vergelijking van `c_2` .

Bijvoorbeeld `c_1: x^2 + y^2 = 25` en `c_2: x^2 + y^2 - 24x - 18y + 125 = 0` .
Substitutie geeft `25 - 24x - 18y + 125 = 0` . Dus is `4x + 3y = 25` een vergelijking van een lijn door het raakpunt.
Substitutie van `4x + 3y = 25` in bijvoorbeeld `x^2 + y^2 = 25` levert `x = 4` en `y = 3` .
Dus `P(4, 3)` is inderdaad het raakpunt.

`c_2: x^2 + y^2 - 24x - 18y + 125 = 0` herleid je tot `(x-12)^2 + (y-9)^2 = 100` . Dus `M(12, 9)` en `r = 10` .

Dan geldt `vec(MP) = ((4),(3))` . De raaklijn wordt `4x + 3y = c` en gaat door `P(4, 3)` .
Dus `c = 25` en de raaklijn is `4x + 3y = 25` .

Breng de cirkels in beeld en je ziet dat `P(text(-)2,text(-)2)` een gemeenschappelijk punt is.

In `c_1: (text(-)2)^2 + text(-)2)^2 = 8` dus `P` ligt op `c_1` .

In `c_2:(text(-)2-4)^2 + (text(-)2-4)^2 = 72` dus `P` ligt op `c_2` .

Aangezien `P` op beide cirkels ligt is dit een raakpunt.

`c_2: x^2 - 8x + 16 + y^2 - 8y + 16 = 72` geeft `x^2 + y^2 - 8x - 8y = 40` .
Substitutie van `c_1` geeft `text(-)8x - 8y = 32` en dus `x + y = text(-4)` .

De cirkel moet raken aan `c_1` en `c_2` .
`P(text(-)2, text(-)2)` is het raakpunt van `c_1` en `c_2` en `Q` is het raakpunt van `c_2` en `c_3` . `P(text(-)2, text(-)2)` en middelpunt `M` van `c_2` is `(4, 4)` en dus `Q(10, 10)` .

`R` is het snijpunt van `c_1` en `c_3` .
Omdat de straal van `c_1` gelijk is aan `sqrt(8)` geldt `R(2, 2)` .
`c_3` heeft dus `r = sqrt(32)` en middelpunt `N(6, 6)` .

De vergelijking van `c_3` is `(x - 6)^2 + (y - 6)^2 = 32` .

`vec(OA) = ((3),(5))` en dit is de normaalvector van de raaklijn in `A` . De raaklijn heeft dus de vorm `3x + 5y = c` en gaat door `(3, 5)` Dus geldt `3x + 5y = 34` voor de raaklijn.

Stel eerst een parametervoorstelling van een lijn op door `P` : `((x),(y)) = ((2),(8)) + t((1),(a))` . En dus geldt `x = 2 + t` en `y = 8 + at` . Substitutie hiervan in `x^2 + y^2 = 34` geeft `(2+t)^2 + (8+at)^2 = 34` . Gebruik nu de discriminant methode om de mogelijke aarden van `a` uit te rekenen. Dit geeft `a = 3/5 vv a = text(-)5/3` .

Dit geeft de vergelijkingen van de raaklijnen in `P` aan `c` : `3x - 5y = text(-)34` en `5x + 3y = 34` . De gevraagde hoek is `90^@` , want `((5),(3))*((text(-)3),(5)) = 0` .

Eerst de punten `Q` en `R` bepalen: `Q(0; 6,8)` en `R(4,25; 4,25)` .
De oppervlakte is (vanwege de rechte hoek bij `P` ): `1/2 * |PQ| * |PR| = 5,1` .

Dit kan door met behulp van de discriminantmethode de vergelijking van `l` op te stellen. De parametervoorstelling voor lijn `l` kan zijn `((x),(y)) = ((8),(0)) + t((1),(a))` en dus `x = 8 + t` en `y = at` . Substitueer dit in de cirkelvergelijking en je vindt `l: 4x + 3y = 32` . Deze lijn snijden met de `y` -as geeft `S(0, 10 2/3)` .

Je kunt ook gebruik maken van het raakpunt `Q` en de gelijkvormigheid van de driehoeken `OPS` en `QMS` (een gemeenschappelijke hoek en allebei rechthoekig). Daarmee kun je `|OS|` berekenen en zo de coördinaten van `S` berekenen.

`R` is een snijpunt van cirkel `c` en de cirkel `x^2 + y^2 = 36` .
Uit `c` volgt `x^2 = text(-)(y-4)^2 + 16` en er geldt ook `x^2 = text(-)y^2 + 36` .

Dus `text(-)(y-4)^2 + 16 = text(-)y^2 + 36` zodat `y = 4 1/2` .

De twee mogelijke punten zijn `R(+- 1/2 sqrt(63), 4 1/2)` .

`c_1` heeft vergelijking `x^2 + (y-4)^2 = 16` .

Van `c_2` weet je `(x-a)^2 + (y-2)^2 = 4` . Je moet dus `a` berekenen. Noem het raakpunt `R` en omdat beide cirkels elkaar raken liggen de punten `M_1` , `R` en `M_2` op een rechte lijn. Dus geldt `|M_1M_2| = |M_1R| + |M_2R| = 4 + 2 = 6` .

Het punt dat je zoekt is dan het snijpunt van de cirkel met `M_1` als middelpunt en straal `6` met de lijn `y = 2` .

Dus het stelsel `x^2 + (y-4)^2 = 36` en `y = 2` oplossen. Dit geeft `x^2 + (text(-)2)^2 = 36` en dit geeft `x=+-sqrt(32)` . Dus `M_2 (4sqrt(2), 2)` of `M_2 (text(-)4sqrt(2), 2)` .

Bereken eerst de coördinaten van `Q` : `x^2 + (y-4)^2 = 16` en `(x-sqrt(32))^2 + (y-2)^2 = 2` .
`Q` is het enige snijpunt van beide cirkels in het eerste kwadrant dus `Q(8/3 sqrt(2), 2 2/3)` .

De raaklijn in `Q` aan beide cirkels staat loodrecht op `vec(M_1 M_2) = ((4sqrt(2)),(text(-)2))` .

De vergelijking van die raaklijn is `8/3sqrt(2) * x - 1 1/3 y = 10 2/3` .

De derde raaklijn snijdt de `x` -as in een punt `P` dat op lijn `M_1 M_2` ligt. Uit `M_1 M_2` : `y = text(-)1/4 sqrt(2) x + 4` volgt `P = (8sqrt(2), 0)` . Nu kun je vergelijkingen opstellen van lijnen door `P` die raken aan bijvoorbeeld `c_1` met behulp van de discriminantmethode.

Je kunt ook het raakpunt `R` met `c_1` berekenen door gebruik te maken van het feit dat `R` het snijpunt is van `c_1` en een cirkel met middelpunt `P` en straal `8sqrt(2)` . Dit geeft `R(16/9 sqrt(2), 64/9)` .

In beide gevallen vind je `64/9 x + 56/9 sqrt(2) y = 512/9 sqrt(2)` als derde raaklijn.

`M(4, 3)` en `Q(1, 4)` en gebruik de stelling van Pythagoras.
`|QM| = sqrt((4-1)^2 + (4-3)^2) = sqrt(10)` .

Gebruik het gegeven dat de raaklijn aan een cirkel loodrecht staat op de straal naar het raakpunt. Dus `ΔQAM` is rechthoekig. Dan volgt ook `|QA| = sqrt(10-5) = sqrt(5)` . Dus `|QA| = |QB| = sqrt(5)` .

Het middelpunt van `c_2` is `Q(1, 4)` . De cirkelvergelijking is dan in eerste instantie `(x-1)^2+(y-4)^2 = k^2` . `c_2` . De straal van deze cirkel is `|QA| = sqrt(5)` , en dus volgt `(x-1)^2 + (y-4)^2 = 5` .

Er geldt `c: (x-4)^2 + (y-3)^2 = 5` en `(x-1)^2 + (y-4)^2 = 5` .
Er geldt: `c: x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 5` en `c_2: x^2 - 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = 5` .

Dus `text(-)8x + 16 - 6y + 9 = text(-)2x + 1 - 8y + 16` en dit herleid je tot lijn `l: 3x - y = 4` .
Dit is een lijn door de snijpunten van de twee cirkels.
Snijd `l` nu met `c` of `c_2` en je vindt de gevraagde snijpunten `A(2, 2)` en `B(3, 5)` .

`vec(QA) = ((1),(text(-)2))` dus de eerste raaklijn is `x - 2y = k` door `Q(1, 4)` geeft `1 - 2*4 = text(-)7` .
Dus de eerste raaklijn door `Q` is `x - 2y = text(-)7` ofwel `y = 0,5x + 3,5` .

`vec(QB) = ((2),(1))` dus de tweede raaklijn is `2x + y = m` door `Q(1, 4)` geeft `2*1 + 4 = 6` .
Dus de tweede raaklijn door `Q` is `2x+y = 6` ofwel `y = text(-)2x + 6` .

`2x + 4y = 0` .

`y = 2x + 10` en `y = 2x - 10` .

`sqrt(40)`