Parametervoorstellingen > RaaklijnenVoorbeeld 2
Gegeven is de cirkel
`c`
met middelpunt
`M(4, 0)`
en straal
`sqrt( 10 )`
.
Van de familie van lijnen
`l: y = ax - 2`
raken er twee aan deze cirkel. Welke twee?
De cirkel
`c`
heeft vergelijking:
`(x-4)^2 + y^2 = 10`
.
Vul de vergelijking van lijn
`l: y=ax-2`
in de cirkelvergelijking
`c`
in, en je vindt:
`(x-4)^2 + (ax-2)^2 = 10`
.
Haakjes wegwerken levert op:
`x^2 - 8x + 16 + a^2x^2 - 4ax + 4 = 10`
.
En dus:
`(1 + a^2) x^2 + (text(-)8-4a)x + 10 =0`
.
Omdat
`l`
en
`c`
elkaar raken heeft deze vergelijking precies één oplossing. De discriminant ervan
is daarom
`0`
.
Dus
`(text(-)8-4a)^2 - 4*10*(1 + a^2) = 0`
.
Uitwerken geeft:
`3a^2 - 8 a - 3 = 0`
. Dit levert op:
`a = text(-)1/3 ∨ a = 3`
.
De twee raaklijnen zijn
`y = 3x - 2`
en
`y = text(-)1/3 x - 2`
.
In
Voer zelf deze berekening volledig uit.
Er zijn aan deze cirkel twee raaklijnen met een richtingscoëfficiënt van `3` . Laat dit ook zien met behulp van de discriminantmethode.
Als de richtingscoëfficiënt is gegeven kun je echter ook zonder discriminantmethode te werk gaan.
Welke richtingsvector heeft de raaklijn?
Welke richtingsvectoren hebben de stralen naar beide mogelijke raakpunten?
Welke twee raakpunten moeten de raaklijnen met deze richting hebben?
Hoe kun je nu de twee vergelijkingen van de raaklijnen bepalen? Ga na, dat je dezelfde krijgt als in het voorbeeld.
Gegeven is de cirkel
`c`
door
`x(t) = 4 + sqrt(17) cos(t)`
en
`y(t) = 2 + sqrt(17) sin(t)`
.
Er zijn twee raaklijnen die evenwijdig lopen met de lijn
`y = text(-)4x`
.
Stel van deze twee raaklijnen een vergelijking op.
Er zijn ook twee raaklijnen die door het punt `P(13, 4)` gaan.
Stel van deze twee raaklijnen een vergelijking op.
Gegeven zijn de cirkel `c` door `x^2 + y^2 = a^2` en het punt `P(2a, 0)` . Er zijn twee raaklijnen aan `c` die door `P` gaan. De bijbehorende raakpunten zijn `Q` en `R` .
Druk de lengte van `PQ` uit in `a` .
Bewijs met behulp van een berekening dat `PQ _|_ OQ` .