Parametervoorstellingen > Raaklijnen
123456Raaklijnen

Uitleg

In de figuur zie je een punt `P` op een cirkel `c` . Je ziet ook dat de raaklijn in `P` aan de cirkel loodrecht staat op de straal `OP` . De raaklijn aan een cirkel staat altijd loodrecht op de straal naar het raakpunt `P` . Dit is een eigenschap van een raaklijn aan de cirkel.

Met behulp van symmetrie is dat snel duidelijk te maken. De hele figuur van cirkel en raaklijn is namelijk spiegelsymmetrisch t.o.v. de lijn door het middelpunt `O` van de cirkel en het raakpunt `P` . Dit betekent dat de twee hoeken bij `P` waarvan de raaklijn het éne been en de straal `OP` het andere been is even groot moeten zijn. Maar ze zijn ook samen `180^@` . Dus zijn ze elk `90^@` .

Dit kun je gebruiken om een vectorvoorstelling of een vergelijking op te stellen van een raaklijn als het raakpunt bekend is. De vector `vec(OP)` staat namelijk loodrecht op de raaklijn en is er dus een normaalvector van.
Hiermee kun je direct een vergelijking van de raaklijn opstellen, omdat ook de coördinaten van het raakpunt `P` gegeven zijn.

Opgave 1

Gegeven is een cirkel `c` met middelpunt `O(0, 0)` en door het punt `P(3, 4)` .

a

Welke vergelijking heeft cirkel `c` ?

b

Welke richtingsvector heeft lijn `OP` ?

c

Welke normaalvector heeft de raaklijn in `P` aan cirkel `c` ?

d

Welke vergelijking heeft die raaklijn? En welke vectorvoorstelling?

e

Welke vergelijking heeft de raaklijn in `P(5, 0 )` aan de cirkel?

Opgave 2

Op de cirkel `c` met parametervoorstelling `(x, y) = (1 + sqrt(10) cos(t), 2 + sqrt(10) sin(t))` ligt het punt `P(4, 3)` . Stel een vergelijking op van de raaklijn door `P` aan cirkel  `c` .

Opgave 3

Gegeven is de cirkel `c: x^2 + y^2 = 25` en het punt `P(7, 5)` . Je wilt een vergelijking opstellen van de raaklijnen die door `P` gaan en raken aan cirkel `c` .

a

Waarom staat zo'n raaklijn nu niet loodrecht op `vec(OP)` ?

b

Waarom kun je een parametervoorstelling van zo'n raaklijn schrijven als `(x, y) = (7 + t, 5 + a*t)` ?

c

Je weet dat zo'n raaklijn precies één punt met de cirkel `c` gemeen heeft. Hoe kun je daarmee `a` berekenen?

d

Stel de vergelijkingen van beide raaklijnen op.

verder | terug