Parametervoorstellingen > Berekeningen met cirkels
123456Berekeningen met cirkels

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

`|OC| = d = sqrt((r_1 + r_2)^2 - (r_1 - r_2)^2) = sqrt(4 r_1 r_2)`

Opgave 1
a

Subsitueer hiertoe `y=3` in de cirkelvergelijking `x^2+y^2=25` .

Dan vind je `x^2+3^2=25` .

Uitwerken geeft `x=+-4` en dus zijn de snijpunten `A(text(-)4, 3)` en `B(4, 3)` .

Gebruik voor de hoek het inproduct van de richtingsvector van de raaklijn en de richtingsvector van `y=0` . Deze vectoren zijn  `((3),(text(-)4))` en  `((1),(0))` .

Dus `((3),(text(-)4))*((1),(0))=|5 |*|1 |*cos(φ)` . En   `3=5cos(φ)` .

Dit geeft `φ=53,13°` .

b

Beide hoeken zijn hetzelfde.

c

De richtingsvector van de straal is nu `vec(OA) = ((text(-)4),(3))` en die van de raaklijn dus `((3),(4))` .
Weer gaat het om de hoek tussen vectoren `((3),(4))` en `((1),(0))` en weer is die hoek ongeveer `53,13` °.

Opgave 2

De hoek tussen de raaklijn en lijn `l` is ongeveer `18,4` °.

Opgave 3
a

De hoek tussen twee cirkels is de hoek tussen de richtingsvectoren van de raaklijnen aan deze cirkels in één van beide snijpunten te berekenen.

b

De afstand van het punt tot het punt op de cirkel dat er het dichtst bij licht. Je hoeft daartoe alleen maar de afstand van het punt tot het middelpunt van de cirkel te berekenen en daar dan de straal af te trekken.

c

De afstand van de lijn tot het punt op de cirkel dat er het dichtst bij licht. Je hoeft daartoe alleen maar de afstand van de lijn tot het middelpunt van de cirkel te berekenen en daar dan de straal af te trekken.

Opgave 4

`A(text(-)1,3 )` en `B(1,3 )` ongeveer `63,4` °.

Opgave 5

`P(5,5 )` en `Q(6,2 )` en de hoek tussen beide cirkels is ongeveer `26,6` °.

Opgave 6
a

De afstand is ongeveer `3,24` .

b

De afstand tussen het snijpunt van de lijn `m` door het middelpunt `M` van de cirkel en loodrecht op `l` met lijn `l` en het snijpunt van `m` met de cirkel. Die afstand is ongeveer `1,82` .

c

Ongeveer `1,83` .

Opgave 7
a

Ongeveer `3,80` .

b

Alleen als beide lijnen evenwijdig lopen, anders is de afstand `0` .

Opgave 8
a

 Maak eerst drie rechthoekige driehoeken. Noem de straal van `c_3` `r` .

Driehoek 1: `ΔM_1AM_3` . Hier geldt: `|M_1A|=4-r` en   `M_1M_3=4+r` en dus volgt met pythagoras `|AM_3|=sqrt((4+r)^2-(4-4)^2)` .

Driehoek 2: `ΔM_2M_3C` . Hier geldt: `|M_2M_3|=2+r` en `|M_2C|=2-r` . en dus volgt met pythagoras `|M_3C|=sqrt((2+r)^2-(2-r)^2)` .

Nu ligt `C` rechtonder `M_2` . Trek een lijn door `M_2` evenwijdig aan `AC` . Snijpunt met `y` -as is `D` . Nu geldt `|M_2D|=|AC||= sqrt((4+r)^2-(4-r)^2) + sqrt((2+r)^2-(2-r)^2)` .

Driehoek 3:  `ΔM_1DM_2` . Hier geldt: `|M_1D|=4-2` en `|M_2D|=sqrt((4+r)^2-(4-r)^2) + sqrt((2+r)^2-(2-r)^2)` en `|M_1M_2|=4+2` .

Met Pythagoras volgt dan  `sqrt((4+r)^2-(4-r)^2) + sqrt((2+r)^2-(2-r)^2) =  sqrt(32)` .

b

`sqrt((4+r)^2-(4-r)^2) + sqrt((2+r)^2-(2-r)^2) = sqrt(32)` geeft `6 sqrt(r) = sqrt(32)` en dus `r = 8/9` .

c

`(x - 24/9 sqrt(2))^2 + (y - 8/9)^2 = 64/81` .

Opgave 9
a

Breng het nogmaals in beeld, maar accentueer nu `d(M_1,M_3)` , `d(M_2,M_3)` en `d(M_3,y=0)` .

  • `M_1M_3` bestaat uit de stralen `4` en `r` . Dus `M_1M_3=4+r` .

  • `M_2M_3` bestaat uit de stralen `2` en `r` . Dus `M_2M_3=2+r` .

  • `d(M_3,y=0)` is gelijk aan de straal van `c_3` en dus gelijk aan `r` .

b

`sqrt((0 - x)^2 + (4 - 2)^2) = 6` geeft `x^2 = 32` en dus `x = sqrt(32) = 4sqrt(2)` .

c

Laat `r` de straal van `c_3` zijn.
Uit `text(d)(M_3, y=0) = r` volgt dan `M_3 (a, r)` . En uit `text(d)(M_1 , M_3) = 4 + r` volgt `sqrt((0-a)^2 + (4 - r)^2) = 4 + r` en uit `text(d)(M_2 , M_3) = 2 + r` volgt `sqrt((4sqrt(2)-a)^2 + (2 - r)^2) = 2 + r` . Je krijgt zo twee vergelijkingen met twee onbekenden, namelijk `a` en `r` . Oplossen van dit stelsel geeft `r = 8/9` en `a = 24/9 sqrt(2)` .

Opgave 10

Neem aan dat `M` het middelpunt en `r` de straal van de gezochte cirkel `c` is.

Teken een geschikte figuur met daarin de extra punten `E` (het snijpunt van een loodlijn door `M` op `AB` met dit lijnstuk) en `F` (het snijpunt van de loodlijn door `M` en loodrecht op `OB` met dit lijnstuk) en lijnstuk `BM` . Nu is `text(d)(M, AB) = |ME| = r` , `text(d)(M, OB) = |MF| = r` en `text(d)(O, M) = 4 + r` .

Er geldt `OB=sqrt(32)` en `BF=OB-OF` .

In het plaatje zie je dat met de stelling van pythagoras geldt: `OF=sqrt((4+r)^2+r^2)` . En dus geldt dat `BF=4sqrt(2)-sqrt((4+r)^2+r^2)` .

Ook geldt `BE=AB-BE` . Er geldt `AB=4` en `AE=sqrt((4+r)^2-(4-r)^2)` . Zodat `BE=4-sqrt((4+r)^2-(4-r)^2)` .

Omdat `|BF| = |BE|`   `4sqrt(2) - sqrt((4 + r)^2 + r^2) = 4 - sqrt((4 + r)^2 - (4 - r)^2)` .

Deze vergelijking oplossen levert `r~~0,53` .

De `x` -coördinaat van `M` is dan `4-r` en dit wordt `3,47` .

De `y` -coördinaat van `M` is dan `sqrt((4 + r)^2 - (4 - r)^2)` en dit wordt `2,91` .

De vergelijking van cirkel `c` wordt dan `(x-3,47)^2+(y-2,91)^2=0,28` .

Opgave 11
a

De hoek tussen de cirkel en de `y` -as is ongeveer `56,3°` .

 

b

De hoek tussen beide cirkels, `c_1` en `c_2` , is ongeveer `29,7°` .

Opgave 12
a

`7,34`

b

`4,60`

c

`1`

Opgave 13

`M(3,2 )` en `r=sqrt(8)`

Opgave 14
a

`| BC |=| AC |=| AB |=4`

b

`x^2 + ( y-2/ (sqrt(3))) ^2 =4/3`

Opgave 15

Neem aan dat `M_2` het middelpunt en `r` de straal van `c_2` is.

Dan is `M_2 (r, r)` en dus is `r + r sqrt(2) = 6` .

Hieruit volgt `r = 6/(1 + sqrt(2)) = 6sqrt(2) - 6` .

De gevraagde vergelijking is `(x - 6sqrt(2) + 6)^2 + (y - 6sqrt(2) + 6)^2 = 108 - 72sqrt(2)` .

Opgave 16
a

De middelpunten van de cirkels zijn de hoekpunten van een rechthoekige driehoek. Daarin is `(r + 3)^2 + 15^2 = (r + 12)^2` . Dit geeft `r = 5` .

Een vergelijking van `c_3` is `x^2 + (y - 8)^2 = 25` .

b

Er is één verticale gemeenschappelijke raaklijn: `x = 3` .

De andere twee gemeenschappelijke raaklijnen gaan door `(text(-)k, 0)` en daarvoor geldt: `k/3 = (k + 15)/12` (gelijkvormige rechthoekige driehoeken met de middelpunten en de raakpunten). Dit geeft `k = 5` . Dus het gaat om twee raaklijnen door `(text(-)5, 0)` aan deze cirkels. Ze hebben dus een parametervoorstelling van de vorm: `(x, y) = (text(-)5 + t, at)` . Invullen in bijvoorbeeld `c_1` geeft `a = +-0,75` .

bron: pilotexamen wiskunde B vwo in 2013, tweede tijdvak

Opgave 17

`r~~4,85a`

Opgave 18
a

Het middelpunt van deze cirkel is het snijpunt van `l` en de lijn `m: y = x` .

De vergelijking wordt `(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 16` .

b

`45` °

c

`4,8 sqrt(5) - 4`

Opgave 19

`x^2 +y^2 =3,2`

verder | terug