Parametervoorstellingen > Berekeningen met cirkels
123456Berekeningen met cirkels

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

`|OC| = d = sqrt((r_1 + r_2)^2 - (r_1 - r_2)^2) = sqrt(4 r_1 r_2)`

Opgave 1
a

Substitueer hiertoe `y = 3` in de cirkelvergelijking `x^2+y^2 = 25` .

Dan vind je `x^2 + 3^2 = 25` .

Uitwerken geeft `x = +-4` en dus zijn de snijpunten `A(text(-)4, 3)` en `B(4, 3)` .

Gebruik voor de hoek het inproduct van de richtingsvector van de raaklijn en de richtingsvector van `y = 0` . Deze vectoren zijn `((3),(text(-)4))` en `((1),(0))` .

Dus `((3),(text(-)4))*((1),(0)) = 5*1*cos(φ)` en `cos(φ) = 0,6` .

Dit geeft `φ ~~ 53,13^@` .

b

Beide hoeken zijn even groot.

c

De richtingsvector van de straal is nu `vec(OA) = ((text(-)4),(3))` en die van de raaklijn dus `((3),(4))` .
Weer gaat het om de hoek tussen vectoren `((3),(4))` en `((1),(0))` en weer is die hoek ongeveer `53,13^@` .

Opgave 2

Een vergelijking van de cirkel `c` is `(x-3)^2 + y^2 = r^2` . Door `P(4, 2)` geeft `(4-3)^2 + 2^2 = r^2` en dus geldt `1 + 4 = r^2` en `r = sqrt(5)` . Dan geldt `c: (x-3)^2 + y^2 = 5` .

Snijden met `y = x` geeft `(x-3)^2 + x^2 = 5` .

Oplossen geeft de snijpunten `A(1, 1)` en `B(2, 2)` .

Dan is `vec(AM) = ((2),(text(-)1))` en dus is de richtingsvector van de raaklijn `((1),(2))` . De lijn `y = x` heeft richtingsvector `((1),(1))` .

Dus `((1),(2))*((1),(1)) = sqrt(5)*sqrt(2)*cos(φ)` en `3 = sqrt(10)cos(φ)` .

Dit geeft `φ ~~ 18,4^@` .

De hoek tussen de raaklijn en lijn `y = x` is ongeveer `18,4^@` .

Opgave 3
a

De hoek tussen twee cirkels is de hoek tussen de richtingsvectoren van de raaklijnen aan deze cirkels in één van beide snijpunten te berekenen.

b

De afstand van het punt tot het punt op de cirkel dat er het dichtst bij licht. Je hoeft daartoe alleen maar de afstand van het punt tot het middelpunt van de cirkel te berekenen en daar dan de straal af te trekken.

c

De afstand van de lijn tot het punt op de cirkel dat er het dichtst bij licht. Je hoeft daartoe alleen maar de afstand van de lijn tot het middelpunt van de cirkel te berekenen en daar dan de straal af te trekken.

Opgave 4

Bereken eerst de snijpunten van `c_1` en `c_2` .

`x^2 + y^2 = 10` en `x^2 + y^2 = 8y - 14` combineren geeft `8y - 14 = 10` en dus `8y = 24` en `y = 3` .

Dan vind je de snijpunten `A(text(-)1, 3)` en `B(1, 3)` . Je kunt nu de hoek tussen de cirkels berekenen in `A` of `B` . Beide levert hetzelfde antwoord op.

Voor `c_1` geldt `vec(OB) = ((1),(3))` en richtingsvector raaklijn `((3),(text(-)1))` .

Het middelpunt `M` van `c_2` is `(0, 4)` .

Voor `c_2` geldt `vec(MB) = ((1),(text(-)1))` en richtingsvector raaklijn `((1),(1))` .

Met behulp van het inproduct kun je nu de hoek tussen beide raaklijnen uitrekenen. De hoek tussen beide cirkels is gelijk aan de hoek tussen beide raaklijnen.

`((3),(text(-)1))*((1),(1)) = sqrt(10)*sqrt(2)*cos(φ)` en `2 = sqrt(20)cos(φ)` .

Dit geeft `φ~~63,4^@` .

Opgave 5

De vergelijking van `c_1` is `(x-1)^2 + (y-2)^2 = 25` en de vergelijking van `c_2` is `(x-4)^2 + (y-3)^2 = 5` .

Snijpunten berekenen: uit `c_2` volgt `x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 5` dus `x^2 + y^2 = 8x + 6y - 20` .

Uit `c_1` volgt: `x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 25` dus `x^2 + y^2 = 2x + 4y + 20` .

Dan volgt `8x + 6y - 20 = 2x + 4y + 20` en de snijpunten liggen dus op de lijn `3x + y = 20` .

`3x + y = 20` snijden met `c_1` (of `c_2` ) geeft de snijpunten `P(5, 5)` en `Q(6, 2)` .

Dan geldt `vec(M_1A) = ((4),(3))` en richtingsvector raaklijn `((3),(text(-)4))` .

Dan geldt `vec(M_2A) = ((1),(2))` en richtingsvector raaklijn `((2),(text(-)1))` .

Met behulp van het inproduct bereken je dat `φ ~~ 26,6^@` .

Opgave 6
a

Het middelpunt van cirkel `c_1` is `M(5, 4)` .

De lijn `OM` is `text(-)4x + 5y = 0` ofwel `y = 0,8x` . Deze lijn snijdt `c_1` in `T(7,47; 5,98)` en `S(2,53; 2,02)` . Dus `S` ligt het dichtst bij `O` . Met de stelling van pythagoras bereken je `|OS| ≈ 3,24` .

b

De afstand tussen het snijpunt van de lijn `m` door het middelpunt `M` van de cirkel en loodrecht op `l` met lijn `l` en het snijpunt van `m` met de cirkel.

De vergelijking van een loodlijn door `M` loodrecht op `l` is `4x - 5y = 0` . Dit snijden met `l` geeft `Q(10/9, 8/9).` Met pythagoras bereken je vervolgens `|MQ| = sqrt(2009/81)` .

`|MQ| - sqrt(10)` geeft de gevraagde afstand `sqrt(2009/81) - sqrt(10) ~~ 1,82` .

c

De tweede cirkel heeft vergelijking `x^2 + y^2 = 2` . Deze snijden met `y = 0,8x` geeft `U(1,1; 0,88)` .

De gevraagde afstand tussen beide cirkels is `|US|` .
`S(2,53; 2,02)` heb je bij a al berekend.
De afstand wordt `~~1,83` .

Opgave 7
a

Breng eerst beide lijnen in beeld. Het zijn evenwijdige lijnen en dus heeft het zin om de afstand tussen beide lijnen uit te rekenen.

Een vergelijking van een loodlijn door `O(0, 0)` loodrecht op `l` is `2x - y = 0` . Deze staat dan ook loodrecht op `m` .

`2x - y = 0` snijden met `2x + 4y = 7` geeft `S_1(0,7; 1,4)` .

`2x - y = 0` snijden met `y = 6 - 0,5x` geeft `S_2(2,4; 4,8)` .

Met behulp van de stelling van Pythagoras bereken je de afstand tussen beide punten `S_1` en `S_2` . Dit is ongeveer `3,8` .

b

Alleen als beide lijnen evenwijdig lopen, anders is de afstand `0` .

Opgave 8
a

Maak eerst drie rechthoekige driehoeken. Noem de straal van `c_3` `r` .

Driehoek 1: `ΔM_1AM_3` . Hier geldt: `|M_1A| = 4 - r` en `M_1M_3 = 4 + r` en dus `|AM_3| = sqrt((4+r)^2 - (4-4)^2)` .

Driehoek 2: `ΔM_2M_3C` . Hier geldt: `|M_2M_3| = 2 + r` en `|M_2C| = 2 - r` en dus `|M_3C| = sqrt((2+r)^2 - (2-r)^2)` .

Nu ligt `C` recht onder `M_2` . Trek een lijn door `M_2` evenwijdig aan `AC` . Snijpunt met `y` -as is `D` . Nu geldt `|M_2D| = |AC| = sqrt((4+r)^2 - (4-r)^2) + sqrt((2+r)^2 - (2-r)^2)` .

Driehoek 3: `ΔM_1DM_2` . Hier geldt: `|M_1D| = 4 - 2` en `|M_2D| = sqrt((4+r)^2 - (4-r)^2) + sqrt((2+r)^2 - (2-r)^2)` en `|M_1M_2| = 4 + 2` .

Dus `sqrt((4+r)^2 - (4-r)^2) + sqrt((2+r)^2 - (2-r)^2) = sqrt(32)` .

b

`sqrt((4+r)^2 - (4-r)^2) + sqrt((2+r)^2 - (2-r)^2) = sqrt(32)` geeft `6 sqrt(r) = sqrt(32)` en dus `r = 8/9` .

c

Nu je `r` weet hoef je enkel nog de coördinaten van `M_3` te bepalen voor de vergelijking van de cirkel.

De `x` -coördinaat van `M_3` is `sqrt((4+r)^2 - (4-r)^2) ` met `r=8/9` . Dit geeft `24/9sqrt(2)` .

De `y` -coördinaat van `M_3` is `r` dus `8/9` .

De vergelijking van `c_3` wordt dan `(x - 24/9 sqrt(2))^2 + (y - 8/9)^2 = 64/81` .

Opgave 9
a

Bekijk `d(M_1,M_3)` , `d(M_2,M_3)` en `d(M_3, y = 0)` .

  • `M_1M_3` bestaat uit de stralen `4` en `r` . Dus `|M_1M_3| = 4 + r` .

  • `M_2M_3` bestaat uit de stralen `2` en `r` . Dus `|M_2M_3| = 2 + r` .

  • `d(M_3, y = 0)` is gelijk aan de straal van `c_3` en dus gelijk aan `r` .

b

`sqrt((0 - x)^2 + (4 - 2)^2) = 6` geeft `x^2 = 32` en dus `x = sqrt(32) = 4sqrt(2)` .

c

Laat `r` de straal van `c_3` zijn.
Uit `text(d)(M_3, y = 0) = r` volgt dan `M_3 (a, r)` . En uit `text(d)(M_1, M_3) = 4 + r` volgt `sqrt((0 - a)^2 + (4 - r)^2) = 4 + r` en uit `text(d)(M_2 , M_3) = 2 + r` volgt `sqrt((4sqrt(2) - a)^2 + (2 - r)^2) = 2 + r` . Je krijgt zo twee vergelijkingen met twee onbekenden, namelijk `a` en `r` . Oplossen van dit stelsel geeft `r = 8/9` en `a = 24/9 sqrt(2)` .

Opgave 10
a

De snijpunten van de cirkel met de verticale as zijn `(0, 1)` en `(0, 7)` .

In `(0, 1)` is de richtingsvector van de raaklijn `((3),(text(-)2))` en de richtingsvector van de `y` -as is `((0),(1))` . Met behulp van het inproduct bereken je dan de hoek tussen beide vectoren.

De gevraagde hoek is ongeveer `56,3^@` .

b

Vergelijking `c_1` is `(x-2)^2 + (y-4)^2 = 13` met `M_1(2, 4)` .

Vergelijking `c_2` is `(x+2)^2 + y^2 = 5` met `M_2(text(-2), 0)` .

Bereken de snijpunten van `c_1` en `c_2` . Dit zijn `S_1(0, 1)` en `2_2(text(-)1, 2)` .

De richtingsvectoren van de raaklijnen zijn dan `((2),(text(-)3))` en `((2),(text(-)1))` .

Met het inproduct bereken je de hoek tussen beide vectoren. Deze is ongeveer `29,7^@` .

Opgave 11
a

Laat een loodlijn `m` neer vanuit `P` op `l` . De vergelijking van deze loodlijn is `5x + 4y = 22` .

`m` en `l` snijden geeft het snijpunt `S(270/41, text(-)112/41)` .

De afstand tussen `P` en `S` is `sqrt(2209/41) ~~ 7,34` .

b

Het middelpunt `M` van cirkel `c` is `(text(-)3, text(-)4)` .

De straal van de cirkel is gelijk aan `4` .

Met behulp van de stelling van pythagoras bereken je de afstand `|PM| = sqrt((3-text(-)4)^2+(2-text(-)3)^2) = sqrt(74)` .

De afstand van `P` tot de cirkel is dan ongeveer `sqrt(74) - 4 ~~ 4,6` .

c

Laat vanuit `M(text(-)3, text(-)4)` een loodlijn neer op `l` .

De vergelijking van deze loodlijn is `5x+4y=text(-)31` .

De loodlijn met `l` snijden levert het snijpunt `T(0,12; text(-)7,9)` op.

De afstand `|MT|=5` .

De afstand van de lijn `l` tot de cirkel is dan gelijk aan `5-4=1` .

Opgave 12

Aangezien `(1, 0)` en `(5, 0)` snijpunten met de `x` -as zijn, is de `x` -coördinaat van het middelpunt al duidelijk: `M(3, b)` .

De raaklijn snijdt de `x` -as onder een hoek van `45^@` en dus is de richtingsvector van `MB` bijvoorbeeld `((1),(text(-)1))` en die van `MA` is `((text(-)1),(text(-)1))` .

`M` is dan het snijpunt van `((x),(y))=((1),(0))+t((text(-)1),(text(-)1))` en `((x),(y)) = ((5),(0)) + s((1),(text(-)1))` . Hieruit volgt `M(3, 2)` .

De straal `r` volgt dan uit de afstand `MA` of `MB` en die is `sqrt((5-3)^2 + (2-0)^2) = sqrt(8)` .

Opgave 13
a

`|BC| = sqrt((2-0)^2 + (2sqrt(3)-0)^2) = sqrt(4+12) = 4` .

`|AC| = sqrt((2-0)^2 + (2sqrt(3)-0)^2) = sqrt(4+12) = 4` .

`|AB| = 2 - text(-)2 = 4` .

Dus het is inderdaad een gelijkzijdige driehoek.

b

Bereken eerst het middelpunt van de cirkel. De ingeschreven cirkel raakt aan de middens van de zijden van de gelijkzijdige driehoek. Dus bijvoorbeeld in `O(0, 0)` en `F(1, sqrt(3))` .

Een vectorvoorstelling van een lijn door `O` en `M` is `((x),(y)) = ((0),(0)) + t((0),(1))` .

Een vectorvoorstelling van een lijn door `F` en `M` is `((x),(y)) = ((1),(sqrt(3))) + s((1),(sqrt(3)))` .

Deze twee snijden levert het middelpunt `M` van de cirkel op: `M(0, 2/sqrt(3))` .

Bereken nu `r` door de afstand te berekenen tussen bijvoorbeeld `M` en `C` . Dan vind je `r = 4/3` .

De vergelijking van de cirkel wordt `x^2 + (y - 2/(sqrt(3)))^2 = 4/3` .

Opgave 14

Neem aan dat `M_2` het middelpunt en `r` de straal van `c_2` is.

Dan is `M_2 (r, r)` en dus is `r + r sqrt(2) = 6` .

Hieruit volgt `r = 6/(1 + sqrt(2)) = 6sqrt(2) - 6` .

De gevraagde vergelijking is `(x - 6sqrt(2) + 6)^2 + (y - 6sqrt(2) + 6)^2 = 108 - 72sqrt(2)` .

Opgave 15

Neem aan dat `M` het middelpunt en `r` de straal van de gezochte cirkel `c` is.

Teken een geschikte figuur met daarin de extra punten `E` (het snijpunt van een loodlijn door `M` op `AB` met dit lijnstuk) en `F` (het snijpunt van de loodlijn door `M` en loodrecht op `OB` met dit lijnstuk) en lijnstuk `BM` . Nu is `text(d)(M, AB) = |ME| = r` , `text(d)(M, OB) = |MF| = r` en `text(d)(O, M) = 4 + r` .

Er geldt `|OB| = sqrt(32)` en `|BF| = |OB| - |OF|` .

`|OF| = sqrt((4+r)^2 + r^2)` en dus is `|BF| = 4sqrt(2) - sqrt((4+r)^2 + r^2)` .

Ook geldt `|BE| = |AB| - |AE|` . Er geldt `|AB| = 4` en `|AE| = sqrt((4+r)^2 - (4-r)^2)` . Zodat `|BE| = 4 - sqrt((4+r)^2 - (4-r)^2)` .

Omdat `|BF| = |BE|` `4sqrt(2) - sqrt((4 + r)^2 + r^2) = 4 - sqrt((4 + r)^2 - (4 - r)^2)` .

Deze vergelijking oplossen levert `r ~~ 0,53` .

De `x` -coördinaat van `M` is `4 - r ~~ 3,47` .

De `y` -coördinaat van `M` is `sqrt((4 + r)^2 - (4 - r)^2) ~~ 2,91` .

De vergelijking van cirkel `c` wordt `(x-3,47)^2 + (y-2,91)^2 = 0,28` .

Opgave 16Raakcirkel en raaklijnen
Raakcirkel en raaklijnen
a

De middelpunten van de cirkels zijn de hoekpunten van een rechthoekige driehoek. Daarin is `(r + 3)^2 + 15^2 = (r + 12)^2` . Dit geeft `r = 5` .

Een vergelijking van `c_3` is `x^2 + (y - 8)^2 = 25` .

b

Er is één verticale gemeenschappelijke raaklijn: `x = 3` .

De andere twee gemeenschappelijke raaklijnen gaan door `(text(-)k, 0)` en daarvoor geldt: `k/3 = (k + 15)/12` (gelijkvormige rechthoekige driehoeken met de middelpunten en de raakpunten). Dit geeft `k = 5` . Dus het gaat om twee raaklijnen door `(text(-)5, 0)` aan deze cirkels. Ze hebben dus een parametervoorstelling van de vorm: `(x, y) = (text(-)5 + t, at)` . Invullen in bijvoorbeeld `c_1` geeft `a = +-0,75` .

(bron: pilotexamen wiskunde B vwo in 2013, tweede tijdvak)

Opgave 17Raaklijnen aan twee cirkels
Raaklijnen aan twee cirkels

Voor de uitwerking bekijk je de rechthoekige driehoek die wordt beschreven door de oorsprong `O(0, 0)` , het gegeven punt dat je `A(0, 3a)` noemt en het snijpunt van de rechter raaklijn `Q` met de `x` -as.
Omdat de uiteindelijke driehoek gelijkzijdig is, geldt `/_Q = 60^@` en dit geeft:
`tan(60^@) = sqrt(3) = |OA|/|OQ| = (3a)/|OQ|`
Daarmee is `|OQ| = (3a)/(tan(60^@)) = sqrt(3)a` en is: `Q(sqrt(3)a, 0)` .
De richtingsvector van de raaklijn `AQ` is `((1),(text(-)sqrt(3)))` .

De raaklijn gaat door het punt `P` op de rechter cirkel. De lijn door het middelpunt `M` en `P` staat loodrecht op de raaklijn en heeft richtingsvector: `((sqrt(3)),(1))` .
Vectorvoorstelling van deze lijn: `((x),(y)) = ((a),(0)) + t*((sqrt(3)),(1))` .
Het snijpunt van `MP` en `AQ` is `P((1/4 + 3/4 sqrt(3))a, (text(-)1/4 sqrt(3) + 5 1/4)a)` .
Dus is `r=|MP| = sqrt(((text(-)3/4 + 3/4 sqrt(3))a)^2 + ((text(-)1/4 sqrt(3) + 5 1/4)a)^2) ~~ 4,85a` .

Opgave 18
a

`c: (x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 16` .

b

`45^@`

c

`text(d)(P, c) ~~ 4,94`

Opgave 19

`x^2 + y^2 = 3,2`

verder | terug