Parametervoorstellingen > Berekeningen met cirkels
123456Berekeningen met cirkels

Voorbeeld 3

Gegeven zijn de cirkel `c_1` met middelpunt `M_1(0, 4)` en straal `4` en de cirkel `c_2` met straal `2` die zowel de `x` -as als `c_1` raakt. Er is een cirkel `c_3` die zowel beide gegeven cirkels als de `x` -as raakt.

Bereken de straal van `c_3` .

> antwoord

Een figuur zal je in dit geval wel helpen. Stel je voor dat cirkel `c_3` een straal van lengte `r` heeft. Het middelpunt van `c_2` is `M_2` en dat van `c_3` is `M_3` .

Maak nu drie rechthoekige driehoeken met de rechthoekszijden evenwijdig aan de assen, waarvan `M_1 M_2` , `M_1 M_3` en `M_3 M_2` de hypothenusa's zijn. Je kunt dan met behulp van de stelling van Pythagoras afleiden: `sqrt((4+r)^2-(4-r)^2) + sqrt((2+r)^2-(2-r)^2) = sqrt((4+2)^2-(4-2)^2) = sqrt(32)` .

En uit deze vergelijking kun je de waarde van `r` berekenen.

Opgave 8

In het voorbeeld wordt alleen een globale oplossing van het op te lossen probleem beschreven.

a

Maak zelf een tekening en laat zien hoe je aan de vergelijking kunt komen die in het voorbeeld staat.

b

Los deze vergelijking exact op.

c

Stel een vergelijking op van cirkel `c_3` .

Opgave 9

Je kunt het probleem in het voorbeeld ook oplossen met een meer algebraïsche aanpak en meteen de coördinaten van `M_3` berekenen.

a

Licht toe dat uit de gegevens volgt `text(d)(M_1 , M_3) = 4 + r` , `text(d)(M_2 , M_3) = 2 + r` en `text(d)(M_3, y=0) = r` .

b

Van punt `M_2` weet je de `x` -coördinaat niet. Die kun je berekenen uit `text(d)(M_1 , M_2) = 6` . Laat zien hoe dat gaat.

c

Laat zien hoe je nu `M_3` kunt berekenen vanuit de drie eigenschappen van dit punt die je bij a hebt opgemerkt.

Opgave 10

In een cartesisch assenstelsel is vierkant `OABC` gegeven door `O(0, 0)` , `A(4, 0)` en `C(0, 4)` . In dit vierkant zit een kwart cirkel met middelpunt `O` en straal `4` .

Stel een vergelijking op van de cirkel `c` die de gegeven kwart cirkel, lijnstuk `OB` en lijnstuk `AB` raakt.

verder | terug