Parametervoorstellingen > Berekeningen met cirkelsVoorbeeld 3
Gegeven zijn de cirkel `c_1` met middelpunt `M_1(0, 4)` en straal `4` en de cirkel `c_2` met straal `2` die zowel de `x` -as als `c_1` raakt. Er is een cirkel `c_3` die zowel beide gegeven cirkels als de `x` -as raakt.
Bereken de straal van `c_3` .
Een figuur zal je in dit geval wel helpen. Stel je voor dat cirkel `c_3` een straal van lengte `r` heeft. Het middelpunt van `c_2` is `M_2` en dat van `c_3` is `M_3` .
Maak nu drie rechthoekige driehoeken met de rechthoekszijden evenwijdig aan de assen, waarvan `M_1 M_2` , `M_1 M_3` en `M_3 M_2` de hypothenusa's zijn. Je kunt dan met behulp van de stelling van Pythagoras afleiden: `sqrt((4+r)^2-(4-r)^2) + sqrt((2+r)^2-(2-r)^2) = sqrt((4+2)^2-(4-2)^2) = sqrt(32)` .
En uit deze vergelijking kun je de waarde van `r` berekenen.
In het voorbeeld wordt alleen een globale oplossing van het op te lossen probleem beschreven.
Maak zelf een tekening en laat zien hoe je aan de vergelijking kunt komen die in het voorbeeld staat.
Los deze vergelijking exact op.
Stel een vergelijking op van cirkel `c_3` .
Je kunt het probleem in het voorbeeld ook oplossen met een meer algebraïsche aanpak en meteen de coördinaten van `M_3` berekenen.
Licht toe dat uit de gegevens volgt `text(d)(M_1 , M_3) = 4 + r` , `text(d)(M_2 , M_3) = 2 + r` en `text(d)(M_3, y=0) = r` .
Van punt `M_2` weet je de `x` -coördinaat niet. Die kun je berekenen uit `text(d)(M_1 , M_2) = 6` . Laat zien hoe dat gaat.
Laat zien hoe je nu `M_3` kunt berekenen vanuit de drie eigenschappen van dit punt die je bij a hebt opgemerkt.
In een cartesisch assenstelsel is vierkant `OABC` gegeven door `O(0, 0)` , `A(4, 0)` en `C(0, 4)` . In dit vierkant zit een kwart cirkel met middelpunt `O` en straal `4` .
Stel een vergelijking op van de cirkel `c` die de gegeven kwart cirkel, lijnstuk `OB` en lijnstuk `AB` raakt.