`c_1: x^2 - 12x + y^2 + 10 = 0` kwadraatafsplitsen levert:

`(x-6)^2 - 36 + y^2 + 10 = 0` en dus `c_1: (x-6)^2 + y^2 = 26` en dus is `M(6, 0)` en `r = sqrt(26)` .

`c_2: (x-4)^2 + (y-2)^2 = 10` snijden met `c_1: x^2 + y^2 = 12x - 10` .

Haakjes wegwerken: `c_2: x^2 + y^2 = 8x + 4y - 10` .

Combineren geeft `12x - 10 = 8x + 4y - 10` en `y = x` . Dit invullen in één van de cirkelvergelijkingen geeft de snijpunten `(1 , 1)` en `(5 , 5)` .

`M_2(4, 2)` en `M_1(6, 0)` geeft `text(d)(M_1 M_2) = sqrt((6-4)^2 + (2-0)^2) = sqrt(8)` .

De straal van `c_1` is `sqrt(26)` en omdat `M_2` binnen `c_1` ligt wordt `text(d)(M_2, c_1) = sqrt(26) - sqrt(8)` .

`vec(M_2A) = ((1),(3))` en de richtingsvector raaklijn is `((3),(text(-)1))` .

`vec(M_1A) = ((text(-)1),(5))` en de richtingsvector raaklijn is `((5),(1))` .

Met behulp van het inproduct van `((3),(text(-)1))` en `((5),(1))` bereken je de hoek tussen beide vectoren. Deze is ongeveer `29,7^@` .

Vectorvoorstelling van een lijn door `A` is `((x),(y)) = ((0),(4)) + t((1),(a))` .
Snijd deze met `c_2: (x-4)^2 + (y-2)^2 = 10` en reken `a` uit met behulp van de discriminantmethode.
Je vindt dan `3x + y = 4` en `text(-)x + 3y = 12` voor de raaklijnen.

`vec(M_1P) = ((1),(5))` en dus is richtingsvector van de raaklijn `((5),(text(-)1))` .
De vergelijking van de raaklijn is dan `x + 5y = 32` en het snijpunt met de `x` -as is `(32, 0)` .

`P(7, 5)` en `Q(32, 0)` en dus is lijn `PQ: x + 5y = 32` .
Laat vanuit `M_2` een loodlijn neer op deze lijn.
De vergelijking van deze loodlijn is `5x - y = 18` . Snijden met lijn `PQ` geeft `S(61/13, 71/13)` .

Dus `d(M_2, PQ) = |M_2 S| = sqrt(162)/13 = 9/13 sqrt(26)` .

`x^2 + y^2 = r^2`

`c: x^2 + y^2 = r^2` snijden met `2x + y = 6` .
De vergelijking van `l` kan herschreven worden naar `y = text(-)2x + 6` .
Substitutie: `x^2 + (text(-)2x+6)^2 = r^2` . Uitwerken levert: `5x^2 - 24x + 36 - r^2 = 0` .
`D = (text(-)24)^2 - 4*5*(36-r^2) = 0` oplossen levert `r = sqrt(7,2) = 6/5 sqrt(5)` .

`△OAB` is gelijkvormig met `△CAO` .

Dus `(OC)/(OB) = (OA)/(AB)` en dan volgt `(OC)/3 = 6/(sqrt(45))` en `OC = 6/5 sqrt(5)` .

`|OC|` is de afstand tussen `O` en lijn `l` en dus gelijk aan `d(O, l)` .

Gebruik het feit dat `△OAB` gelijkvormig is met `△CAO` .
Een willekeurige lijn heeft vergelijking `ax + by = c` en een normaalvector hiervan is `((a),(b))` .
De lengte van deze normaalvector is `sqrt(a^2 + b^2)` .
`|c|` is het aantal keer dat de normaalvector er in past.
Dus `text(d)(O, l) = |c|* 1/(sqrt(a^2 + b^2))` .

`l: x + 2y = 6` dus `a = 1` , `b = 2` , `c = 6` .

Dan volgt `d(O,l) = |6|/(sqrt(1^2 + 2^2)) = 6/(sqrt(5)) = 6/5 sqrt(5)` .

`c: (x-1)^2 + y^2 = 4` en `l: y = 2x` snijden levert `A(text(-)3/5, text(-)1 1/5)` en `B(1, 2)` .

En dus geldt `|OA| = 3/5 sqrt(5)` en `|OB| = sqrt(5)` zodat `|OA|*|OB| = 3` .

`c: (x-1)^2 + y^2 = 4` en `l: y = ax` snijden geeft `(x-1)^2 + (ax)^2 = 4` en dus `x^2 - 2x + 1 + a^2x^2 - 4 = 0` , ofwel `(1+a^2)x^2 - 2x - 3 = 0` .
Dit geeft `x = (2 +- sqrt(16+12a^2))/(2(1+a^2))` .

`|OA| = sqrt(((2+sqrt(16+12a^2))/(2(1+a^2)))^2 + a^2*((2+sqrt(16+12a^2))/(2(1+a^2)))^2)` en dit wordt `|OA| = sqrt((1+a^2)*((2+sqrt(16+12a^2))/(2(1+a^2)))^2) = sqrt(((2+sqrt(16+12a^2))^2)/(4(1+a^2)))` . Zo krijg je ook `|OB|=sqrt(((2+sqrt(16+12a^2))^2)/(4(1+a^2)))` .
En hieruit volgt na enig rekenwerk `|OA|*|OB|=3` .

`MC = 2` en `MD = 4` en met de stelling van Pythagoras in `ΔMCD` geeft `CD = sqrt(4^2 - 2^2) = sqrt(12)` .

Gebruik een rechthoekige driehoek `KLS` met `S` de loodrechte projectie van `K` op `LQ` (of een rechthoekige driehoek `PQX` met `X` het snijpunt van `LQ` en de lijn door `P` evenwijdig aan `KL` ).

Dan geldt: `LS = 2` , `KS = PQ` en `KL = 4` (of: `QX = 2` en `PQ = KL = 4` ).

De stelling van Pythagoras in driehoek `KLS` (of in driehoek `PQX` ) geeft `KS = sqrt(4^2 - 2^2)` dus `PQ = sqrt(12)` . Dus geldt `|CD| = |PQ|` .

`KM = 3` , `MT = 4 - r` en `KT = 1 + r` .

De cosinusregel in `ΔKMT` geeft `(1+r)^2 = 3^2 + (4-r)^2 - 2*3*(4-r)cos(alpha)` .

Dit herleid je tot `cos(alpha) = (12 - 5r)/(12 - 3r)` .

Er geldt `(7r-4)/(4-r) = (12-5r)/(12-3r)` , dus `(7r-4)(12-3r) = (12-5r)(4-r)` .

Dit herleid je tot `26r^2-128r+96 = 0` en `r = 12/13` .

Noem `PQ = x` . Dan geldt: `AP = 1 - 1/2 x` en `AQ = 1 + 1/2 x` .
Met de stelling van Pythagoras in `Delta AQR` vind je dan `x = 6/5` .

In driehoek `AMT` , waarbij `T` de loodrechte projectie van `M` op `AB` is, geldt `AM = 2 - r` en `MT = 6/5 + r` . De stelling van Pythagoras in `Delta AMT` geeft `r = 39/160` .

Lijn `m` maakt een hoek van ongeveer `63,4^@` met de `x` -as.
De bissectrice moet dus een hoek van `31,7^@` en `tan(31,7^@)~~0,62` .
De bissectrice heeft vergelijking `y≈0,62 x` .

Laat zien dat voor `P(p; 0,62p)` geldt `text(d)(P, l) = text(d)(P, m)` .

`AC = 5` . Noem de straal van de cirkel `x` , dan is `BP = BQ = x` , `AR = AP = 4 - x` en `CR = CQ = 3 - x` . Dit geeft `4 - x + 3 - x = 5` en dus `x = 1` .

`Delta APM` en `Delta AUN` zijn gelijkvormig, dus `(AU)/(AP) = (UM)/(PM)` zodat `(AU)/3 = r/1` en `AU = 3r` .

`NT = UP = AB - AU - PB = 4 - 3r - 1 = 3 - 3r` .
SvP in `NTM` : `(3 - 3r)^2 + (1 - r)^2 = (1 + r)^2` .
Deze vergelijking oplossen geeft `r ~~ 0,52` .

`(MD)/(OB) = (AM)/(AO)` met `AM = a - 1 - r` geeft `r/1 = (a - 1 - r)/a` en dus `r = (a - 1)/(a + 1)` .

Er geldt `OA = AB = 1` en dus `OA = a = sqrt(2)` . Dus is `r = (sqrt(2) - 1)/(sqrt(2) + 1) = 3 - 2sqrt(2)` . Dus `p = 3` en `q = text(-)2` .