Parameterkrommen

Parameterkrommen > Beweging in het vlak

12345Beweging in het vlak

Voorbeeld 3

In de applet zie je de beweging van de "Polyp" op de kermis.
Stel in $r = 2$ en $a = 3$ . Dan zijn de stralen van de cirkels $4$ m en $2$ m en is de hoeksnelheid waarmee de kleine cirkel doorlopen wordt $3$ keer die waarmee de grote cirkel doorlopen wordt. Stel een mogelijke parametervoorstelling voor de kromme op.

> antwoord

Kies het assenstelsel zoals je in de figuur ziet. Dan is draaihoek `alpha` gelijk aan $t$ en draaihoek `beta` gelijk aan $3 t$ .

Voor het tweede draaipunt geldt:
$(x (t), y (t)) = (4 \cos (t), 4 \sin (t))$ .

Voor het bakje geldt: $(x (t), y (t)) = (4 \cos (t) + 2 \cos (3 t), 4 \sin (t) + 2 \sin (3 t))$ .

Dit is meteen de parametervoorstelling van de kromme die het bakje doorloopt. Met je grafische rekenmachine kun je deze kromme ook in beeld brengen.

Opgave 8

In Voorbeeld 3 wordt de "Polyp" nagebootst. Neem weer `a = 3` en `b = 2` en bekijk de kromme die ontstaat als je de tijd `t` "laat lopen" .

Bekijk de parametervoorstelling van deze kromme. Maak de kromme ook op je grafische rekenmachine.

In welk punt zit het bakje als `t = 1/2 pi` ? Laat zien hoe dit uit de parametervoorstelling volgt.

Op welke zes tijdstippen gedurende de eerste complete beweging passeert het bakje de `y` -as? Gebruik je GR.

De snelheid waarmee het bakje beweegt is nu niet overal hetzelfde, dat maakt het zitten in zo'n kermisattractie nu juist leuk. Waar is je baansnelheid het hoogst?

Opgave 9

Gebruik de applet van Voorbeeld 3. Stel nu in `a = 2` en `r = 2` en bekijk de kromme die ontstaat.

Welke parametervoorstelling hoort hier bij?

Breng de kromme in beeld op je grafische rekenmachine. Bepaal de punten waarin de kromme de `y` -as snijdt.

Laat zien, hoe je deze punten ook algebraïsch kunt vinden.

Verander nu de instelling voor `r` in `r = 3` .

Wat verandert er?

Experimenteer met de applet als `a = 2` door voor `r` verschillende waarden te kiezen.

Bij welke `r` gaat de kromme door de oorsprong?

Opgave 10

Bekijk weer de applet in Voorbeeld 3. Stel nu in `a = text(-)3` en `r = 2` en bekijk de kromme die ontstaat.

Welke parametervoorstelling hoort hier bij?

Breng deze kromme in beeld op je grafische rekenmachine en controleer daarmee je antwoord bij a.

Op welke tijdstippen zit het bakje het verst van het centrale draaipunt `O` verwijderd? Laat zien, dat het bakje dan `6` m van `O` af zit. Hoe kun je dit vanuit de parametervoorstelling beredeneren?

Experimenteer nog met andere waarden van zowel `a` als `r` . Probeer vooraf de aantallen lussen te beredeneren. En ook of het bakje weer door `O` zal gaan.

verder | terug