Parameterkrommen > Beweging in het vlak
12345Beweging in het vlak

Uitleg

De beweging van een punt P met de tijd t kun je beschrijven door elk van de coördinaten een functie van t te maken: P ( x , y ) = ( x ( t ) , y ( t ) ).
Een goed voorbeeld is de beweging van P met een constante snelheid over een cirkel, de eenparige cirkelbeweging. Heeft de cirkel een straal van 4 cm en wordt in 2 π seconden de cirkel één keer compleet doorlopen, dan geldt: P ( x , y ) = ( 4 cos ( t ) , 4 sin ( t ) ).

Deze eenparige cirkelbeweging herhaalt zich eindeloos als je de tijd laat doorlopen. Dit is het prototype van een periodieke beweging. De pijl die wijst vanuit de oorsprong O van het assenstelsel naar punt P is plaatsvector O P . Het aantal radialen per seconde dat plaatsvector O P aflegt heet de hoeksnelheid van eenparige cirkelbeweging. Hier is de hoeksnelheid 1 rad/s, want in 2 π seconden wordt 2 π radialen afgelegd. De snelheid waarmee punt P beweegt is echter vier keer zo groot want in 2 π seconden wordt een afstand van 2 π 4 cm afgelegd.

Punt P kan de cirkel ook in bijvoorbeeld 10 seconden doorlopen.
In dat geval moet de periode van de twee sinusoïden die de baan beschrijven worden aangepast. De plaatsvector wordt ( x , y ) = ( 4 cos ( 2 π 10 t ) , 4 sin ( 2 π 10 t ) ) .
Ook kunnen de straal van de cirkel en het middelpunt anders zijn.

Opgave 1

Bekijk de Uitleg .

a

Leg uit waarom P ( x , y ) = ( 4 cos ( t ) , 4 sin ( t ) ).

b

Waar zit P als t = π?

c

Leg uit wat het verschil is tussen de hoeksnelheid van punt P en de baansnelheid van ditzelfde punt.

d

Hoe groot zijn de hoeksnelheid en de baansnelheid van P als dit punt de cirkel in 10 s doorloopt?

Opgave 2

`P` doorloopt met een vaste snelheid elke `15` seconden een cirkel met straal `6`  cm en middelpunt `M(0, 0)` .

a

Beschrijf de beweging van punt `P` op dezelfde manier als in de Uitleg .

b

Hoeveel bedragen nu de hoeksnelheid en de baansnelheid van punt `P`

Opgave 3

`P` doorloopt met een vaste snelheid elke `15` seconden een cirkel met straal `6`  cm en middelpunt `M(1, 2)` .

a

Beschrijf de beweging van punt `P` op dezelfde manier als in de Uitleg .

De hoeksnelheid is de snelheid in radialen per seconden waarmee een vector zijn vaste beginpunt draait.

b

Waarom is de hoeksnelheid van `vec(OP)` nu niet een constante?

b

Is de baansnelheid wel een constante?

verder | terug