Parameterkrommen > Lissajousfiguren
12345Lissajousfiguren

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

a en b gelijk maken of precies elkaars tegengestelde.

b

Het gaat om a en b, hoe groter die zijn, hoe meer keerpunten, behalve wanneer de éne een veelvoud van de andere is.

Opgave 1
a

Doen.

b

Zowel de x-functie x ( t ) als de y-functie y ( t ) hebben een amplitude van 2.

c

x ( t ) = 2 geeft cos ( 3 t ) = 1 en dus t = 0 + k 2 3 π . Dit invullen in P ( x , y ) geeft de punten ( 2 , 0 ) , ( 2 , 3 ) en ( 2 , - 3 ) .

x ( t ) = - 2 geeft cos ( 3 t ) = - 1 en dus t = 1 3 π + k 2 3 π . Dit invullen in P ( x , y ) geeft de punten ( - 2 , 0 ) , ( - 2 , 3 ) en ( - 2 , - 3 ) .

y ( t ) = 2 geeft sin ( t ) = 1 en dus t = 1 2 π + k 2 π . Dit invullen in P ( x , y ) geeft het punt ( 0 , 2 ) .

y ( t ) = - 2 geeft sin ( t ) = - 1 en dus t = 1 1 2 π + k 2 π . Dit invullen in P ( x , y ) geeft het punt ( 0 , - 2 ) .

Opgave 2
a

Doen.

b

De x-functie x ( t ) als de y-functie y ( t ) hebben een vaste amplitude van 2.

c

x ( t ) heeft drie maxima en bij elk van die maxima is y ( t ) = 0 . Dat levert dus één uiterste punt op.

x ( t ) heeft twee minima en bij elk van die minima vind je een andere waarde voor y. Dat levert dus twee uiterste punten op, maar die zitten precies ook bij de uiterste waarden van y.

y ( t ) heeft drie maxima en bij twee van die maxima vind je een dezelfde waarde voor x en de derde zit precies bij een uiterste waarde van x. Hieruit vind je één extra uiterste punt.

Hetzelfde geldt voor de minima van y ( t ) .

d

x ( t ) = 2 geeft cos ( - 2 t ) = 1 en dus t = 0 + k π . Dit invullen in P ( x , y ) geeft het punt ( 2 , 0 ) .

x ( t ) = - 2 geeft cos ( - 2 t ) = - 1 en dus t = - 1 2 π + k π . Dit invullen in P ( x , y ) geeft de punten ( - 2 , 2 ) , ( - 2 , - 2 ) .

y ( t ) = 2 geeft sin ( 3 t ) = 1 en dus t = 1 6 π + k 2 3 π . Dit invullen in P ( x , y ) geeft het punt ( 1 , 2 ) .

y ( t ) = - 2 geeft sin ( 3 t ) = - 1 en dus t = 1 1 2 π + k 2 3 π . Dit invullen in P ( x , y ) geeft het punt ( 1 , - 2 ) .

Opgave 3
a

Je krijgt dan altijd een cirkel met straal 2.

b

Het maakt niets uit voor de uiteindelijke vorm van de kromme (tenzij je beide 0) kiest, maar wel in de snelheid waarmee de kromme wordt doorlopen. Neem je voor beide dezelfde negatieve waarde dan wordt de kromme in de negatieve draairichting doorlopen.

c

Ook dan krijg je een cirkel met straal 2.

d

x 2 + y 2 = ( 2 cos ( 2 t ) ) 2 + ( 2 sin ( 2 t ) ) 2 = 4 ( cos 2 ( 2 t ) + sin 2 ( 2 t ) ) = 4 1 = 4 .
Dus x 2 + y 2 = 4

Opgave 4
a

Controleer je berekening in het voorbeeld.

b

x ( t ) = 0 geeft 4 sin ( t ) = 0 , dus sin ( t ) = 0 .
Hieruit volgt: t = k π . Invullen en je vindt hetzelfde snijpunt als in het voorbeeld.

c

Doen, zie het voorbeeld voor de antwoorden.

Opgave 5
a

Doen.

b

x ( t ) = 0 geeft sin ( 3 t ) = 0 , dus t = k 1 3 π . Invullen en je vindt ( 0 , 0 ) en ( 0 , ± 3 ) .

y ( t ) = 0 geeft sin ( 2 t ) = 0 , dus t = k 1 2 π . Invullen en je vindt ( 0 , 0 ) en ( ± 1 , 0 ) .

c

Los op x ( t ) = ± 1 en y ( t ) = ± 2 .
Je vindt ( ± 1 , 0 ) , ( ± 2 , ± 3 ) en ( ± 1 2 2 , ± 2 ) .

d

Eigen antwoorden.

Opgave 6
a

Doen.

b

Los op x ( t ) = 0 , x ( t ) = 4 , y ( t ) = -3 en y ( t ) = 3 .

Opgave 7
a

Doen, venster [ - 2 , 2 ] × [ - 1 , 1 ] .

b

Doen.

c

De grafiek loopt naar boven en beneden oneindig ver door, bij de kromme is dat niet het geval. De kromme heeft punten waarin de bewegingsrichting echt omkeert, dat noem je keerpunten. Daarover meer in de volgende paragraaf.

Opgave 8
a

De x-functie en de y-functie zijn geen van beide sinusoïden.

b

Uit x = 5 + 2 t volgt t = 1 2 x 2 1 2 en dit kun je invullen: y = 4 ( 1 2 x 2 1 2 ) = - 1 2 x + 6 1 2 .

c

Uit x = 5 + 2 sin ( t ) volgt sin ( t ) = 1 2 x 2 1 2 en dit kun je invullen: y = 4 ( 1 2 x 2 1 2 ) = - 1 2 x + 6 1 2 .

d

De kromme bij c is maar een deel van een rechte lijn. Hij blijft binnen het venster [ 3 , 7 ] × [ 3 , 5 ] .

Opgave 9
a

De -functie en de -functie zijn geen van beide sinusoïden.

b

Uit volgt en dit kun je invullen:

c

Uit volgt en dit kun je invullen:

d

De kromme bij c is maar een deel van een rechte lijn. Hij blijft binnen het venster .

Opgave 10
a

Snijpunt -as:

Snijpunten -as: en

b

Dit is een vergelijking van een (liggende) parabool.

Opgave 11
a

Ja, zowel de x-functie en de y-functie zijn sinusoïden.

b

Doen, kies als venster bijvoorbeeld .

c

De periode van de x-functie is 4 en de periode van de y-functie is 2. Dus op t = 4 heb je deze kromme geheel doorlopen.

d

Daarvoor moet je oplossen: x ( t ) = ± 5 , y ( t ) = 2 en y ( t ) = 6 . Je vindt dan ( ± 5 , 4 ) , ( ± 2,5 2 ; 2 ) en ( ± 2,5 2 ; 6 ) .

e

Vul x ( t ) = 5 sin ( 1 2 π t ) en y ( t ) = 4 + 2 sin ( π t ) in deze vergelijking in. Gebruik daarna de goniometrische formules dat de uitdrukking die je krijgt voor elke t waar is.

Opgave 12
a

Neem als venster .

b

geeft . Dus is . Dus , en .

c

geeft en dus .
Hieruit volgt .
De snijpunten zijn en .

Je kunt dit ook vinden uit .

Opgave 13
a

geeft en dus zodat . Hiermee worden de snijpunten met de -as: en .
geeft en dus zodat . Het snijpunt met de -as wordt daarom .

b

Kies venster .

c

, , en .

d

en dat geeft en dus . Dit geeft . De gevraagde afstand is ongeveer van .

e

Vul en in deze vergelijking is en laat zien dat de uitdrukking die je vindt voor elke klopt.

Opgave 14
a

is geen sinusoïde.

b

geeft , dus .
Hierbij vind je de punten , en .

c

Omdat is .
En verder is .

d

Je krijgt de M van Mc.Donald's in beeld...

Opgave 15
a

De periode van deze periodieke beweging is seconden.
Dus je krijgt: en .

b

De afstand tussen beide punten is .
Het punt beweegt elke seconde m in horizontale richting en m in verticale richting. De bijbehorende parametervoorstelling is daarom: en .

c

Voer beide krommen in je GR in en vergelijk de -waarden rond beide snijpunten, gebruik de Trace-mogelijkheid. In (de buurt van) het linker snijpunt verschillen die -waarden weinig, maar toch genoeg om ze niet te laten botsen. In het rechter snijpunt verschillen de -waarden veel.

d

Voor de baan van geldt: en .
Voor de baan van geldt: en .
Neem verschillende letters voor de variabelen van elke kromme, want bij de snijpunten horen verschillende tijdstippen! Nu moet:
en .
Dit kun je schrijven als en .
Dus is zodat . En dit geeft ofwel , zodat .
Invullen in de parametervoorstelling van geeft de gevraagde snijpunten en .

Opgave 16
a

en .

b

Doen, neem als venster bijvoorbeeld . Het is een Lissajousfiguur omdat zowel als sinusoïden zijn.

c

Snijpunten met de -as: geeft . Dus , en .
Snijpunten met de -as: geeft . Dus .

d

geeft . Dus ongeveer en .
geeft . Dus ongeveer en .

Opgave 17

Vul en in en gebruik dat en dat . Laat zien dat er ongeacht de waarde van links en rechts van het isgelijkteken hetzelfde staat.

verder | terug