Doen.

Zowel de $x$-functie $x(t)$ als de $y$-functie $y(t)$ hebben een amplitude van $2$.

$x(t)=2$ geeft $\cos (3t)=1$ en dus $t=0+k\cdot \frac{2}{3}\pi$. Dit invullen in $P(x,y)$ geeft de punten $(2,0)$, $(2,\sqrt{3})$ en $(2,\text{-}\mathrm{}\sqrt{3})$.

$x(t)=\text{-}2$ geeft $\cos (3t)=\text{-}1$ en dus $t=\frac{1}{3}\pi +k\cdot \frac{2}{3}\pi$. Dit invullen in $P(x,y)$ geeft de punten $(\text{-}2,0)$, $(\text{-}2,\sqrt{3})$ en $(\text{-}2,\text{-}\mathrm{}\sqrt{3})$.

$y(t)=2$ geeft $\sin (t)=1$ en dus $t=\frac{1}{2}\pi +k\cdot 2\pi$. Dit invullen in $P(x,y)$ geeft het punt $(0,2)$.

$y(t)=\text{-}2$ geeft $\sin (t)=\text{-}1$ en dus $t=1\frac{1}{2}\pi +k\cdot 2\pi$. Dit invullen in $P(x,y)$ geeft het punt $(0,\text{-}2)$.

Werk met de applet.

De $x$-functie $x(t)$ als de $y$-functie $y(t)$ hebben een vaste amplitude van $2$ en evenwichtsstand `0` .

$x(t)$ heeft drie maxima en bij elk van die maxima is $y(t)=0$. Dat levert dus één uiterste punt op.

$x(t)$ heeft twee minima en bij elk van die minima vind je een andere waarde voor $y$. Dat levert dus twee uiterste punten op, maar die zitten precies ook bij de uiterste waarden van $y$.

$y(t)$ heeft drie maxima en bij twee van die maxima vind je een dezelfde waarde voor $x$ en de derde zit precies bij een uiterste waarde van $x$. Hieruit vind je één extra uiterste punt.

Hetzelfde geldt voor de minima van $y(t)$.

$x(t)=2$ geeft $\cos (\text{-}2t)=1$ en dus $t=0+k\cdot \pi$. Dit invullen in $P(x,y)$ geeft het punt $(2,0)$.

$x(t)=\text{-}2$ geeft $\cos (\text{-}2t)=\text{-}1$ en dus $t=\text{-}\mathrm{}\frac{1}{2}\pi +k\cdot \pi$. Dit invullen in $P(x,y)$ geeft de punten $(\text{-}2,2)$, $(\text{-}2,\text{-}2)$.

$y(t)=2$ geeft $\sin (3t)=1$ en dus $t=\frac{1}{6}\pi +k\cdot \frac{2}{3}\pi$. Dit invullen in $P(x,y)$ geeft het punt $(1,2)$.

$y(t)=\text{-}2$ geeft $\sin (3t)=\text{-}1$ en dus $t=\frac{1}{2}\pi +k\cdot \frac{2}{3}\pi$. Dit invullen in $P(x,y)$ geeft het punt $(1,\text{-}2)$.

Je krijgt dan altijd een cirkel met straal $2$.

Het maakt niets uit voor de uiteindelijke vorm van de kromme (tenzij je beide $0$) kiest, maar wel in de snelheid waarmee de kromme wordt doorlopen. Neem je voor beide dezelfde negatieve waarde dan wordt de kromme in de negatieve draairichting doorlopen.

Ook dan krijg je een cirkel met straal $2$.

$x^2+y^2={(2\cos (2t))}^2+{(2\sin (2t))}^2=4({\cos }^2(2t)+{\sin }^2(2t))=4\cdot 1=4$.
Dus $x^2+y^2=4$

Controleer je berekening in het voorbeeld.

$x(t)=0$ geeft $4\sin (t)=0$, dus $\sin (t)=0$.
Hieruit volgt: $t=k\cdot \pi$. Invullen en je vindt hetzelfde snijpunt als in het voorbeeld.

Doen, zie het voorbeeld voor de antwoorden.

Doen.

$x(t)=0$ geeft $\sin (3t)=0$, dus $t=k\cdot \frac{1}{3}\pi$. Invullen en je vindt $(0,0)$ en $(0,\pm \sqrt{3})$.

$y(t)=0$ geeft $\sin (2t)=0$, dus $t=k\cdot \frac{1}{2}\pi$. Invullen en je vindt $(0,0)$ en $(\pm 1,0)$.

Los op $x(t)=\pm 1$ en $y(t)=\pm 2$.
Je vindt $(\pm 1,0)$, $(\pm 2,\pm \sqrt{3})$ en $(\pm \frac{1}{2}\sqrt{2},\pm 2)$.

Eigen antwoorden.

Vergelijk je antwoorden met die in het voorbeeld.

Los op `x(t) = 0` en je vindt `sin(0,5t) = text(-)1` en `t = 3pi + k*4pi` en het punt `(0, 0)` .

Los op `x(t) = 4` en je vindt `sin(0,5t) = 1` en `t = pi + k*4pi` en het punt `(4, 0)` .

Los op `y(t) = 3` en je vindt `sin(2t) = 1` en `t = 1/4 pi + k*pi` en de punten `(0,15; 3)` , `(1,23; 3)` , `(2,77; 3)` en `(3,85; 3)` .

Los op `y(t) = text(-)3` en je vindt `sin(2t) = text(-)1` en `t = 3/4 pi + k*pi` en de punten `(0,15; text(-)3)` , `(1,23; text(-)3)` , `(2,77; text(-)3)` en `(3,85; text(-)3)` .

Neem venster $[\text{-}2,2]\times [\text{-}1,1]$.

Doen.

De grafiek loopt naar boven en beneden oneindig ver door, bij de kromme is dat niet het geval. De kromme heeft punten waarin de bewegingsrichting echt omkeert, dat noem je keerpunten. Daarover meer in de volgende paragraaf.

De $x$-functie en de $y$-functie zijn geen van beide sinusoïden.

Uit $x=5+2t$ volgt $t=\frac{1}{2}x-2\frac{1}{2}$ en dit kun je invullen: $y=4-(\frac{1}{2}x-2\frac{1}{2})=\text{-}\mathrm{}\frac{1}{2}x+6\frac{1}{2}$.

Uit $x=5+2\sin (t)$ volgt $\sin (t)=\frac{1}{2}x-2\frac{1}{2}$ en dit kun je invullen: $y=4-(\frac{1}{2}x-2\frac{1}{2})=\text{-}\mathrm{}\frac{1}{2}x+6\frac{1}{2}$.

De kromme bij c is maar een deel van een rechte lijn. Hij blijft binnen het venster $[3,7]\times [3,5]$.

Ja, zowel de $x$-functie en de $y$-functie zijn sinusoïden.

Kies als venster bijvoorbeeld `[text(-)5, 5]xx[2, 6]` .

De periode van de $x$-functie is $4$ en de periode van de $y$-functie is $2$. Dus op $t=4$ heb je deze kromme geheel doorlopen.

Daarvoor moet je oplossen: $x(t)=\pm 5$, $y(t)=2$ en $y(t)=6$. Je vindt dan $(\pm 5,4)$, $(\pm \mathrm{2,5}\sqrt{2};2)$ en $(\pm \mathrm{2,5}\sqrt{2};6)$.

Vul $x(t)=5\sin (\frac{1}{2}\pi t)$ en $y(t)=4+2\sin (\pi t)$ in deze vergelijking in. Gebruik daarna `sin(pi t) = 2 sin(1/2 pi t) cos(1/2 pi t)` om aan te tonen dat de uitdrukking die je krijgt voor elke $t$ waar is.

Neem als venster `[text(-)4, 4]xx[text(-)4, 4]` .

`y = 4 cos(t)` geeft `cos(t) = 0,25y` . Dus is `x = 4 cos(2t) = 8 cos^2(t) - 4 = 8 * (0,25y)^2 - 4 = 0,5y^2 - 4` . Dus `a = 0,5` , `b = 0` en `c = text(-)4` .

`4 cos(2t) = 4 cos(t)` geeft `cos(2t) = cos(t)` en dus `2t = +-t + k * 2pi` .
Hieruit volgt `t = k * 2pi vv t = k * 2/3 pi` .
De snijpunten zijn `(4, 4)` en `(text(-)2, text(-)2)` .

Je kunt dit ook vinden uit `y = 0,5y^2 - 4` .

`x(t) = 0` geeft `5 sin(t) + 4 = 0` en dus `sin(t) = text(-)0,8` zodat `t ~~ text(-)0,93 + k * 2pi vv t ~~ 4,07 + k * 2pi` . Hiermee worden de snijpunten met de `y` -as: `(0; 4,8)` en `(0; 1,2)` .
`y(t) = 0` geeft `3 cos(t) + 3 = 0` en dus `sin(t) = text(-)1` zodat `t = 1,5pi + k * 2pi` . Het snijpunt met de `x` -as wordt daarom `(4, 0)` .

Kies venster `[1, 9]xx[0, 6]` .

`(4, 0)` , `(4, 6)` , `(text(-)1, 3)` en `(9, 3)` .

`x = 5 sin(t) + 4 = 2` en dat geeft `sin(t) = text(-)0,4` en dus `t ~~ text(-)0,41 + k * 2pi vv t ~~ 3,55 + k * 2pi` . Dit geeft `y ~~ 5,75 vv y ~~ 0,25` . De gevraagde afstand is ongeveer van `5,5` .

Vul `x = 5 sin(t) + 4 = 2` en `y = 3 cos(t) + 3` in deze vergelijking in en laat zien dat de uitdrukking die je vindt voor elke `t` klopt.

`x(t)` is geen sinusoïde.

`y(t) = 0` geeft `cos(2t) = 1` , dus `t = k*pi` .
Hierbij vind je de punten `(0, 0)` , `(pi, 0)` en `(2pi, 0)` .

Omdat `0 le t le 2pi` is `0 le x le 2pi` .
En verder is `0 le y le 4` .

Je krijgt de M van Mc.Donald's in beeld...

`y(t) = 0` geeft `t = text(-)1` en `x(text(-)1) = text(-)3` .

Het snijpunt met de `x` -as is `(text(-)3, 0)` .

`x(t) = 0` geeft `t = 2 vv t = text(-)2` .

`y(2) = 6` en `y(text(-)2) = text(-)2)` .

Snijpunten met de `y` -as: `(0, 6)` en `(0, text(-)2)`

`y = 2t + 2` geeft `t = 1/2 y - 1` , substitueer dit in `x(t)` :

`x = (1/2 y - 1)^2 - 1 = 1/4 y^2 - y`

Dit is een vergelijking van een (liggende) parabool.

De periode van deze periodieke beweging is `(10pi)/10 = pi` seconden.
Dus je krijgt: `x(t) = 5 cos(2t)` en `y(t) = 5 sin(2t)` .

De afstand tussen beide punten is `sqrt(16^2 + 12^2) = 20` .
Het punt `Q` beweegt elke seconde `4` m in horizontale richting en `3` m in verticale richting. De bijbehorende parametervoorstelling is daarom: `x(t) = text(-)10 + 4t` en `y(t) = text(-)4 + 3t` .

Voer beide krommen in je GR in en vergelijk de `t` -waarden rond beide snijpunten, gebruik de Trace-mogelijkheid. In (de buurt van) het linker snijpunt verschillen die `t` -waarden weinig, maar toch genoeg om ze niet te laten botsen. In het rechter snijpunt verschillen de `t` -waarden veel.

Voor de baan van `P` geldt: `x(t) = 5 cos(2t)` en `y(t) = 5 sin(2t)` .
Voor de baan van `Q` geldt: `x(s) = text(-)10 + 4s` en `y(s) = text(-)4 + 3s` .
Neem verschillende letters voor de variabelen van elke kromme, want bij de snijpunten horen verschillende tijdstippen! Nu moet:
`text(-)10 + 4s = 5 cos(2t)` en `text(-)4 + 3s = 5 sin(2t)` .
Dit kun je schrijven als `s = 10/4 + 5/4 cos(2t)` en `s = 4/3 + 5/3 sin(2t)` .
Dus is `10/4 + 5/4 cos(2t) = 4/3 + 5/3 sin(2t)` zodat `20 sin(2t) - 15 cos(2t) = 14` . En dit geeft `sqrt(20^2 + 15^2) sin(2t - 0,6435) = 14` ofwel `sin(2t - 0,6435) = 0,56` , zodat `t ~~ 0,62 + k * pi vv t ~~ 1,60 + k * 2pi` .
Invullen in de parametervoorstelling van `P` geeft de gevraagde snijpunten `(1,6; 4,7)` en `(text(-)5,0; text(-)0,3)` .

`text(-)5 le x(t) le 5` en `text(-)5 le y(t) le 5` .

Neem als venster bijvoorbeeld `[text(-)5, 5]xx[text(-)5, 5]` . Het is een Lissajousfiguur omdat zowel `x(t)` als `y(t)` sinusoïden zijn.

Snijpunten met de `x` -as: `(0, 0)` , `(+- 2,5 sqrt(2); 0)` en `(+-5, 0)` .
Snijpunten met de `y` -as: `(0, 0)` .

Maximaal in `(+-1,91; 5)` en `(+-4,62; 5)` .
Minimaal in `(+-1,91; text(-)5)` en `(+-4,62; text(-)5)` .