Parameterkrommen > Lissajousfiguren
12345Lissajousfiguren

Voorbeeld 2

Gegeven is de parameterkromme k door x ( t ) = 2 + 2 sin ( 0,5 t ) en y ( t ) = 3 sin ( 2 t ) .
Waarom is hier sprake van een Lissajousfiguur? Voor welke waarden van t wordt deze kromme precies één keer doorlopen? Hoe kun je het aantal uiterste punten herleiden uit de gegeven parametervoorstelling?

> antwoord

Er ontstaat een Lissajousfiguur omdat zowel x ( t ) als y ( t ) sinusoïden zijn. Je ziet dat:

  • x ( t ) een periode van 4 π, een amplitude van 2 en een evenwichtsstand x = 2 heeft;

  • y ( t ) een periode van π, een amplitude van 3 en een evenwichtsstand y = 0 heeft.

Dit betekent dat de kromme binnen een venster met afmetingen [ 0 , 4 ] × [ - 3 , 3 ] ligt.
En verder dat hij geheel wordt doorlopen als t loopt vanaf bijvoorbeeld 0 t/m 4 π.

Het aantal uiterste punten wordt bepaald door het aantal keren dat x ( t ) en y ( t ) voor verschillende waarden van t een maximum of minimum bereiken.
x ( t ) bereikt 1 keer zijn maximum en 1 keer zijn minimum op [ 0 , 4 π ] en y ( t ) bereikt 4 keer zijn maximum en 4 keer zijn minimum op [ 0 , 4 π ] . Door beide functies met de GR te bekijken zie je dat dit op [ 0 , 4 π ] telkens voor verschillende waarden van t gebeurt. Er zijn daarom 10 uiterste punten.

Opgave 6

Bekijk de vragen in Voorbeeld 2.

a

Probeer eerst zelf die vragen te beantwoorden.

b

Bereken alle uiterste punten.

verder | terug