Parameterkrommen > Lissajousfiguren
12345Lissajousfiguren

Voorbeeld 3

Gegeven is de parameterkromme ( x , y ) = ( 2 sin ( t ) , sin ( 3 t ) ) .
Deze Lissajousfiguur is ook te beschrijven door een vergelijking waarin alleen x en y voorkomen. Leid deze vergelijking af.

> antwoord

Uit x = 2 sin ( t ) volgt: sin ( t ) = 1 2 x .

Vervolgens is y = sin ( 3 t ) = sin ( 2 t + t ) = sin ( 2 t ) cos ( t ) + cos ( 2 t ) sin ( t ) .
In deze uitdrukking kun je de verdubbelingsformules stoppen:
y = 2 sin ( t ) cos 2 ( t ) + ( 1 - 2 sin 2 ( t ) ) sin ( t ) .
Gebruik je nu ook nog dat sin 2 ( t ) + cos 2 ( t ) = 1 , dan vind je:
y = 2 sin ( t ) ( 1 - sin 2 ( t ) ) + ( 1 - 2 sin 2 ( t ) ) sin ( t ) .

Vervang in deze laatste uitdrukking overal sin ( t ) door 1 2 x en je vindt een vergelijking met alleen x en y: y = 1 1 2 x - 3 4 x 3 .

Je hebt nu door t te elimineren een vergelijking gekregen in x en y.
Omdat deze vergelijking de vorm y = ... heeft is er sprake van een functievoorschrift. Je kunt de kromme ook op die wijze in beeld brengen. Welk domein en bereik moet je functie dan hebben?

Opgave 7

Bekijk de kromme in Voorbeeld 3.

a

Breng deze kromme in beeld op je grafische rekenmachine.

b

Voer zelf het herleiden van de parametervoorstelling tot een vergelijking in x en y uit.

c

Breng nu de grafiek van y = 1 1 2 x - 3 4 x 3 in beeld. Wat is het verschil met de gegeven kromme?

Opgave 8

Kromme k 1 is gegeven door { x ( t ) = 5 + 2 t y ( t ) = 4 - t .

a

Dit is geen Lissajousfiguur, waarom niet?

b

Toon aan dat deze kromme een rechte lijn is door hem in de vorm y = a x + b te schrijven.

Kromme k 2 is gegeven door x ( t ) = 5 + 2 sin ( t ) en y ( t ) = 4 - sin ( t )

c

Deze kromme is wel een Lissajousfiguur. Toch kun je hierbij hetzelfde verband tussen x en y vinden als bij b. Laat dit zien.

d

Beide krommen zijn niet hetzelfde. Licht dit toe.

verder | terug