Parameterkrommen

Parameterkrommen > Lissajousfiguren

12345Lissajousfiguren

Voorbeeld 3

Gegeven is de parameterkromme $(x, y) = (2 \sin (t), \sin (3 t))$ .
Deze Lissajousfiguur is ook te beschrijven door een vergelijking waarin alleen $x$ en $y$ voorkomen. Leid deze vergelijking af.

> antwoord

Uit $x = 2 \sin (t)$ volgt: $\sin (t) = \frac{1}{2} x$ .

Vervolgens is $y = \sin (3 t) = \sin (2 t + t) = \sin (2 t) \cos (t) + \cos (2 t) \sin (t)$ .
In deze uitdrukking kun je de verdubbelingsformules stoppen:
$y = 2 \sin (t) \cos^{2} (t) + (1 - 2 \sin^{2} (t)) \sin (t)$ .
Gebruik je nu ook nog dat $\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t) = 1$ , dan vind je:
$y = 2 \sin (t) (1 - \sin^{2} (t)) + (1 - 2 \sin^{2} (t)) \sin (t)$ .

Vervang in deze laatste uitdrukking overal $\sin (t)$ door $\frac{1}{2} x$ en je vindt een vergelijking met alleen $x$ en $y$ : $y = 1 \frac{1}{2} x - \frac{3}{4} x^{3}$ .

Je hebt nu door $t$ te elimineren een vergelijking gekregen in $x$ en $y$ .
Omdat deze vergelijking de vorm $y = ...$ heeft is er sprake van een functievoorschrift. Je kunt de kromme ook op die wijze in beeld brengen. Welk domein en bereik moet je functie dan hebben?

Opgave 7

Bekijk de kromme in Voorbeeld 3.

Breng deze kromme in beeld op je grafische rekenmachine.

Voer zelf het herleiden van de parametervoorstelling tot een vergelijking in $x$ en $y$ uit.

Breng nu de grafiek van $y = 1 \frac{1}{2} x - \frac{3}{4} x^{3}$ in beeld. Wat is het verschil met de gegeven kromme?

Opgave 8

Kromme $k_{1}$ is gegeven door ${\begin{matrix} x (t) = 5 + 2 t \\ y (t) = 4 - t \end{matrix}$ .

Dit is geen Lissajousfiguur, waarom niet?

Toon aan dat deze kromme een rechte lijn is door hem in de vorm $y = a x + b$ te schrijven.

Kromme $k_{2}$ is gegeven door $x (t) = 5 + 2 \sin (t)$ en $y (t) = 4 - \sin (t)$

Deze kromme is wel een Lissajousfiguur. Toch kun je hierbij hetzelfde verband tussen $x$ en $y$ vinden als bij b. Laat dit zien.

Beide krommen zijn niet hetzelfde. Licht dit toe.

verder | terug