Parameterkrommen

Parameterkrommen > Lissajousfiguren

12345Lissajousfiguren

Uitleg

Punt $P$ doorloopt een Lissajousfiguur als je $t$ laat lopen van $0$ tot $2 π$ . Je ziet dat zowel $x (t)$ als $y (t)$ een sinusoïde is. Dat moet ook want het gaat bij een Lissajousfiguur om een punt dat zowel in de $x$ -richting als in de $y$ -richting in harmonische trilling wordt gebracht.
Je ziet ook $x (t)$ en $y (t)$ afzonderlijk in beeld.

Met $a = 3$ en $b = 1$ zijn er $6$ uiterste punten in de $x$ -richting en $2$ in de $y$ -richting. In de grafieken van $x (t)$ en $y (t)$ zijn ze ook te herkennen.
De coördinaten van dergelijke punten zijn net als die van de snijpunten met de assen te berekenen vanuit de bekende $x$ -waarde of $y$ -waarde.
Voor de uiterste punten in de $x$ -richting geldt $x (t) = 2$ of $x (t) = - 2$ . Hieruit kun je bijbehorende $t$ -waarden vinden en die vul je dan weer in $y (t)$ in om de gewenste coördinaten te bepalen.

Opgave 1

Bekijk de applet in de Uitleg .

Stel in $a = 3$ en $b = 1$ . Bekijk nu door de tijd $t$ te "laten lopen" de kromme (rood) die ontstaat.

Hoe kon je vooraf zien dat de kromme binnen het venster $[- 2, 2] \times [- 2, 2]$ past?

Bereken nu alle acht de uiterste punten van deze kromme.

Opgave 2

Werk weer met de applet in de Uitleg .

Stel in $a = - 2$ en $b = 3$ . Bekijk nu door de tijd $t$ te "laten lopen" de kromme (rood) die ontstaat.

Waarom past ook deze kromme binnen het venster $[- 2, 2] \times [- 2, 2]$ ?

Licht toe hoe je uit de afzonderlijke grafieken van $x (t)$ en $y (t)$ het aantal uiterste punten kunt afleiden.

Bereken nu alle vijf de uiterste punten.

Opgave 3

In de applet in de Uitleg kun je ook $a$ en $b$ gelijk maken.

Hoe ziet de Lissajousfiguur er dan altijd uit?

Maakt het verschil welke gelijke waarden van $a$ en $b$ je instelt? Zo ja, waarin zit dan dit verschil?

En wat gebeurt er als $a = - b$ ?

Neem $a = b = 2$ en leid een verband af tussen $x$ en $y$ .

verder | terug