De functies $(x(t)$ en $(y(t)$ zijn geen sinusoïden.

`vec(v(t)) = ((x'(t)),(y'(t))) = ((text(-)4 sin(t)-4sin(2t)),(4cos(t)+4cos(2t)))`

`vec(v(0)) = ((x'(0)),(y'(0))) = ((0),(8))` .
Controleer dit door $t=0$ in te stellen en dan $h\to 0$ te schuiven.

Met $8$ m/s.

`vec(v(1/2 pi)) = ((x'(1/2 pi)),(y'(1/2 pi))) = ((text(-)4),(text(-)4))` .
Controleer dit door $t=\mathrm{1,57}$ in te stellen en dan $h\to 0$ te schuiven.

De snelheid van punt $P$ op dit tijdstip is $v=\sqrt{{(\text{-}4)}^2+{(\text{-}4)}^2}=4\sqrt{2}$ m/s.

Eigen antwoorden.

De snelheidsvector geeft de richting aan waarin wordt bewogen en is dus een richtingsvector. Een richtingsvector `vec(v)=((x'(t)),(y'(t)))` heeft een helling van $\frac{y^{\text{'}}(t)}{x^{\text{'}}(t)}$ en die helling is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn, dus $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{y\text{'}(t)}{x\text{'}(t)}$.

`(text(d)y)/(text(d)x) = (y'(1/2 pi))/(x'(1/2 pi)) = (text(-)4)/(text(-)4) = 1` (zie de vorige opgave bij e).

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=1$ is de richtingscoëfficiënt van deze raaklijn, die ook door $P(\text{-}2,4)$ gaat.
De vergelijking van deze raaklijn is dus $y=x+6$.

Horizontale raaklijnen zitten in punten met $y^{\text{'}}(t)=0$. Alleen mag dan niet ook $x^{\text{'}}(t)=0$, want dan krijg je een onbestaanbare uitkomst voor de richtingscoëfficiënt.

$y^{\text{'}}(t)=4\cos (t)+4\cos (2t)=0$ geeft: $\cos (t)+\cos (2t)=0$ en dus
$2{\cos }^2(t)+\cos (t)-1=0$, zodat $\cos (t)=\text{-}1\vee \cos (t)=\mathrm{0,5}$.
Hieruit volgt: $t=\pi +k\cdot 2\pi \vee t=\frac{1}{3}\pi +k\cdot 2\pi \vee t=\text{-}\mathrm{}\frac{1}{3}\pi +k\cdot 2\pi$.
Ga na, dat dit oplevert: $(2,3\sqrt{3})$ en $(2,\text{-}3\sqrt{3})$. Denk er om dat $x^{\text{'}}(t)\ne 0$, dus $(\text{-}2,0)$ vervalt.

De bijbehorende vergelijkingen zijn $y=\pm 3\sqrt{3}$.

Verticale raaklijnen zitten in punten met $x^{\text{'}}(t)=0$. Alleen mag dan niet ook $y^{\text{'}}(t)=0$, want dan krijg je een onbestaanbare uitkomst voor de richtingscoëfficiënt.

$x^{\text{'}}(t)=\text{-}4\sin (t)-4\sin (2t)=0$ geeft: $\sin (t)-\sin (2t)=0$ en dus
$\sin (t)-2\sin (t)\cos (t)=0$, zodat $\sin (t)=0\vee \cos (t)=\text{-}\mathrm{0,5}$.
Hieruit volgt: $t=k\cdot \pi \vee t=\frac{2}{3}\pi +k\cdot 2\pi \vee t=\text{-}\mathrm{}\frac{2}{3}\pi +k\cdot 2\pi$.
Ga na, dat dit als uiterste punten oplevert: $(6,0)$, $(\text{-}3,\sqrt{3})$ en $(\text{-}3,\text{-}\mathrm{}\sqrt{3})$. Denk er weer om dat $x^{\text{'}}(t)\ne 0$, dus $(\text{-}2,0)$ vervalt.

De bijbehorende vergelijkingen zijn $x=\text{-}3\sqrt{3}$ en $x=6\sqrt{3}$.

In het punt `(6, 0)` en die snelheid is `8` m/s.

Dat is in het punt `(text(-)2, 0)` , dat wordt bereikt op `t = pi` s.

Niets anders dan dat die helling onbepaald is.

`((x''(t)),(y''(t))) = ((text(-)4cos(t) - 8cos(2t)), (text(-)4sin(t) - 8sin(2t)))`

`((x''(0)),(y''(0))) = ((text(-)12),(0))`

Voer `v(t) = sqrt((text(-)4sin(t) - 4sin(2t))^2 + (4cos(t) + 4cos(2t))^2)` als functie in.

Bepaal `v'(0)` met de GR. Je vindt dat de baanversnelling `0` m/s is.

De versnellingsvector is `((x''(1/2 pi)),(y''(1/2 pi))) = ((8), (text(-)12))` .

Bepaal de baanversnelling `v'(1/2 pi)` met de GR. Je vindt dat de baanversnelling ongeveer `text(-)2,83` m/s is.

`text(-)5 le x le 5` en `text(-)5 le y le 5` .

De snelheidsvector is `vec(v) = ((text(-)10 sin(2t)),(15 cos(3t)))` .
De snelheid op `t = 0` is daarom `v = sqrt((x'(0))^2 + (y'(0))^2) = sqrt(0^2 + 15^2) = 15` .
De snelheid op `t = 1/4 pi` is daarom `v = sqrt((x'(1/4 pi))^2 + (y'(1/4 pi))^2) = sqrt((text(-)10)^2 + (text(-)7,5 sqrt2)^2) ~~ 14,58` .

Op `t = 0` is de r.c. `(text(d)y)/(text(d)x) = (y'(0))/(x'(0))` en die bestaat niet. De raaklijn is daarom verticaal. Omdat hij door `(5, 0)` gaat is de vergelijking `x = 5` .
Op `t = 1/4 pi` is de r.c. `(text(d)y)/(text(d)x) = (y'(1/4 pi))/(x'(1/4 pi)) = (text(-)7,5 sqrt2)/(text(-)10) = 3/4 sqrt2` . Omdat de raaklijn door `(0; 2,5sqrt2)` gaat is de vergelijking `y = 0,75x sqrt2 + 2,5sqrt2` .

Vul `x = t` en `y = at + b` in de gegeven vergelijking in en je ziet dat er aan beide zijden voor elke waarde van `t` hetzelfde staat.

Ja, er zijn veel parametervoorstellingen mogelijk, bijvoorbeeld `x(t) = 2t` en `y(t) = 2at + b` of `y(t) = t` en `x(t) = (t - b)/a` (hoewel deze laatste alleen geldt als `a != 0` ).

`vec(v) = ((x'(t)),(y'(t))) = ((1),(a))` .

De snelheidsvector is `vec(v) = ((x'(t)),(y'(t))) = ((r cos(t)),(text(-)r sin(t)))` .
De snelheid is `v = sqrt((r cos(t))^2 + (text(-)r sin(t))^2) = sqrt(r^2(cos^2(t) + sin^2(t))) = r` .
Dus een punt dat gelijkmatig beweegt op een cirkel met een grotere straal heeft ook een grotere snelheid.

Raaklijn evenwijdig `x` -as: `y'(t) = 0 ^^ x'(t) != 0` .
Dit geeft `15 cos(3t) = 0 ^^ text(-)10 sin(2t) != 0` en dus `t = 1/6 pi + k * 1/3 pi` , behalve de punten waarin `t = k * 1/2 pi` . Hieruit vind je de punten `(2,5; 5)` en `(2,5; text(-)5)` .
Raaklijn evenwijdig `y` -as: `x'(t) = 0 ^^ y'(t) != 0` .
Dit geeft `text(-)10 sin(2t) = 0 ^^ 15 cos(3t) != 0` en dus `t = k * 1/2 pi` , behalve de punten waarin `t = 1/6 pi + k * 1/3 pi` . Hieruit vind je het punt `(5, 0)` .

In een keerpunt is: `y'(t) = 0 ^^ x'(t) = 0` .
Dit geeft `15 cos(3t) = 0 ^^ text(-)10 sin(2t) = 0` en dus `t = 1/6 pi + k * 1/3 pi ^^ t = k * 1/2 pi` . Hieruit vind je de punten `(text(-)5; 5)` en `(text(-)5; text(-)5)` .

De snelheid is maximaal wanneer `t` een veelvoud van `2pi` is. De coördinaten van `P` zijn in dat geval altijd hetzelfde. Neem bijvoorbeeld `t = 0` :
`P(x(0), y(0)) = (6, 0)`

De snelheid is minimaal wanneer `cos(t) = text(-)1` , ofwel wanneer `t = pi+k*2pi` .
Hier geldt:
`v(pi + k*2pi) = 4sqrt(2 - 2) = 0`

De snelheid is minimaal wanneer `t = pi+k*2pi` . De coördinaten van `P` zijn in dat geval altijd hetzelfde. Neem bijvoorbeeld `t = pi` :
`P(x(pi),y(pi)) = (text(-)2, 0)`

De baansnelheid wordt bepaald door de snelheidsvector `vec(v) = ((x'(t)), (y'(t)))` . Hier geldt:
`x'(t) = 4t` en `y'(t) = 3t^2 - 2`
De baansnelheid `v` op tijdstip `t` is de lengte van de snelheidsvector. Hiervoor geldt: `v = sqrt(9t^4 + 4t^2 + 4)`

De minimale snelheid vind je met `(text(d)v)/(text(d)t)` . De kettingregel geeft:
`v'(t) = (36t^3 + 8t)/(2sqrt(9t^4 + 4t^2 + 4))`
Wanneer de snelheid minimaal is, geldt: `v'(t) = 0` .

Hiermee vind je de minimale snelheid:
`v(0) = sqrt(4) = 2`

`P(x(0),y(0)) = (text(-)1, 2)`

De snelheid op tijdstip `t` wordt gegeven door `v(t) = sqrt(9t^4 + 4t^2 + 4)` . De grafiek van deze functie is afnemend dalend links van `t = 0` en toenemend stijgend rechts daarvan. De grafiek heeft dus geen maximum.

Je kunt ook werken met de afgeleide: `v'(t) = 0` geeft alleen `t = 0` en daar zit een minimum.

`(x(t), y(t)) = (1/2 t^3 - t, t^2 - 1)` invullen in `y = 2x - 1` geeft `t^2 - 1 = t^3 - 2t -1` .

Hieruit volgt: `t^3 - t^2 - 2t = t(t-2)(t+1) = 0` en dus `t = 0 vv t = text(-)1 vv t = 2` .

Deze `t` -waarden invullen geeft dezelfde punten als in het voorbeeld.

In `(1/2 , 0)` heeft de raaklijn richtingsvector `((1/2),(text(-)2))` en de lijn heeft richtingsvector `((1),(2))` .
Inproduct: de hoek is `~~40,60^@` .

In `(2 , 3)` heeft de raaklijn richtingsvector `((5),(4))` en de lijn heeft richtingsvector `((1),(2))` .
Inproduct: de hoek is `~~24,76^@` .

Substitutie van de uitdrukkingen van `x` en `y` in de vergelijking van de parabool geeft: `t^2 - 1 = text(-)1/2 (1/2 t^3 - t)^2 + 5` .
Deze vergelijking kun je niet algebraïsch oplossen.
Voer in op de GR: `y_1 = x^2 - 1` en `y_2 = text(-)1/2 (1/2 x^3 - x)^2 + 5` .
Snijden: `t = text(-)2` en `t = 2` .

`P(x(text(-)2), y(text(-)2)) = (text(-)2, 3)` en `P(x(2), y(2)) = (2, 3)` .

Vanwege symmetrie zijn de hoeken in beide snijpunten hetzelfde.

Hier wordt de hoek in `(2, 3)` berekend. Deze correspondeert met `t = 2` .
De snelheidsvector van `P` is: `vec(v) = ((3/2 t^2 - 1),(2t))` .
De raaklijnvector aan de baan van `P` is `((5),(4))` .
De helling van de raaklijn aan de parabool in `x = 2` wordt gegeven door diens afgeleide:
`y' = text(-)x` en dit geeft `y'(2) = text(-)2` .
De bijbehorende raaklijnvector is `((1),(text(-)2))` .
Inproduct geeft als hoek `~~77,91^@` .

De snelheidsvector is: `vec(v) = ((x'(t)),(y'(t))) = ((2),(text(-)2t))` .
De snelheid is `v(t) = sqrt(4 + 4t^2)` en de versnelling is `a(t) = v'(t) = (4t)/(sqrt(4 + 4t^2))` .

De snelheid op `t = 2` is: `v(2) = sqrt(20) = 2sqrt(5)` .
De versnelling op `t = 2` is: `a(2) = 8/(sqrt(20)) = 4/(sqrt(5))` .

De snelheidsvector is: `vec(v) = ((x'(t)),(y'(t))) = ((3t^2 - 2),(2t + 4))` .
De snelheid is `v(t) = sqrt((3t^2 - 2)^2 + (2t + 4)^2)` .

De snelheid op `t = 1` is: `v(1) = sqrt(37)` .
De versnelling op `t = 1` is: `a(1) = v'(1) ~~ 2,96` (met de GR).

De snelheidsvector is: `vec(v) = ((x'(t)),(y'(t))) = ((4cos(2t)),(text(-)3sin(t) + 1))` .
De snelheid is `v(t) = sqrt((4cos(2t))^2 + (text(-)3sin(t) + 1)^2)` .

De snelheid op `t = 0` is: `v(0) = sqrt(17)` .
De versnelling op `t = 0` is: `a(0) = v'(0) ~~ text(-)0,73` (met de GR).

Er geldt: $0\le x\le 4$, $0\le y\le 4$ en $0\le t\le 2\pi$.

$P$ beweegt het snelst als het de oorsprong passeert. Dat gebeurt als $x(t)=0\wedge y(t)=0$. Dus als $\cos (2t)=0$, zodat $t=\frac{1}{4}\pi +k\cdot \frac{1}{2}\pi$.

De snelheidsvector is `((x'(t)),(y'(t)))=((text(-)8sin(2t)cos(t)−4cos(2t)sin(t)),(text(-)8sin(2t)sin(t)+4cos(2t)cos(t)))` .
De snelheid is dan $v=\sqrt{{(x^{\text{'}}(\frac{1}{4}\pi ))}^2+{(y^{\text{'}}(\frac{1}{4}\pi ))}^2}=4\sqrt{2}$. Die snelheid is voor alle andere waarden van $t$ hetzelfde.

In $O(0,0)$ heb je te maken met twee verschillende richtingscoëfficiënten, namelijk:

• voor $t=\frac{1}{4}\pi +k\cdot \pi$ een r.c. van $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=1$;

• voor $t=\frac{3}{4}\pi +k\cdot \pi$ een r.c. van $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=-1$;

En daarom staan beide bewegingsrichtingen loodrecht op elkaar.

`x'(t) = 0 ^^ y'(t) != 0` geeft `6cos(2t) = 0 ^^ 3cos(t) != 0` .
Dit levert op `t = 1/4pi+k * 1/2 pi ^^ t != 1/2pi+k * pi` .
Hieruit volgen de punten `(text(-)3, 3/2sqrt(2))` , `(text(-)3, text(-)3/2sqrt(2))` , `(3, 3/2sqrt(2))` en `(3, text(-)3/2sqrt(2))` .

In de keerpunten is `x'(t) = 0 ^^ y'(t) = 0` . Dit geeft `t = 1/4 pi + k * 1/2 pi ^^ t = 1/2 pi + k*pi` . Er zijn geen tijdstippen die hieraan voldoen, dus er zijn geen keerpunten.

`x'(t) = 0 ^^ y'(t) = 0` geeft `1 - cos(2t) = 0 ^^ 2 sin(2t) = 0` en dus `t = k * pi` . Dit geeft de punten `(0, 0)` , `(pi, 0)` en `(2pi, 0)` .

`y'(t) = 0 ^^ x'(t) != 0` geeft `2 sin(2t) = 0 ^^ 1 - cos(2t) != 0` , dus `t = 1/2 pi + k * pi` .
Hierbij vind je de punten `(1/2 pi, 4)` en `(1 1/2 pi, 4)` .

Evenwijdig aan de `x` -as:
`y'(t) = 0 ^^ x'(t) != 0` geeft: `4 cos(t) + 2 cos(2t) = 0 ^^ 6 cos(t) - 2 sin(2t) != 0` .
Dit levert op: `4 cos^2(t) + 4 cos(t) - 2 = 0` zodat `cos(t) = text(-)1/2 + 1/2 sqrt3` en `t ~~ 1,196 vv t ~~ 5,087` .
Dit geeft de punten `(4,9; 4,4)` en `(text(-)6,3; text(-)4,4)` .
Merk op dat `cos(t)=text(-)1/2-1/2 sqrt(3)` geen oplossingen heeft.

Evenwijdig aan de `y` -as:
`x'(t) = 0 ^^ y'(t) != 0` geeft: `6 cos(t) - 2 sin(2t) = 0 ^^ 4 cos(t) + 2 cos(2t) != 0` .
Dit levert op: `2 cos(t)(3 - 2 sin(t)) = 0` waaruit volgt `cos(t) = 0` en `t = 1/2 pi vv t = 1 1/2 pi` .
Dit geeft de punten `(5, 4)` en `(text(-)7, text(-)4)` .

Voer de kromme in je GR in. Venster: `[text(-)7, 5] xx [text(-5), 5]` .

Bekijk de kromme op de GR. Het punt `(1, 0)` wordt twee keer doorlopen.
Dat gebeurt als `y = 4 sin(t) + sin(2t) = 0` . Dit is het geval als `sin(t)(4 + 2 cos(t)) = 0` . Dit geeft `t = 0 vv t = pi` .
De bijbehorende hellingswaarden zijn `(text(d)y)/(text(d)x) = 1` en `(text(d)y)/(text(d)x) = 1/3` .
De bijbehorende raaklijnen zijn `y = x - 1` en `y = 1/3 x - 1/3` .

Voer in op de GR: `y_1 = 6sin(x) + cos(2x)` en `y_2 = 4sin(x) + sin(2x)` .
Venster bijvoorbeeld: `[0, 2pi]xx[text(-)6, 6]` .
Snijden geeft: `t ~~ 3,37` en `t ~~ 5,63` .

De richtingsvector van lijn `l` is `((1),(1))` .
De raaklijnen aan `k` in de snijpunten hebben richtingsvectoren `((x'(3,37)),(y'(3,37)))` en `((x'(5,63)),(y'(5,63)))` .
Inproduct bij `t~~3,37` geeft `~~27,7^@` .
Inproduct bij `t~~5,63` geeft `~~16,2^@` .

In dit geval moet de afstand van elk punt `P(x(t), y(t))` van `k_0` tot `M(0, 1)` gelijk zijn aan `1` .
`sqrt(x^2 + (y - 1)^2) = 1` ofwel `(2 sin(t)cos(t))^2 + (2 sin^2(t) - 1)^2 = 1` .
Omdat `2 sin(t)cos(t) = sin(2t)` en `1 - 2 sin^2(t) = cos(2t)` kun je die uitdrukking schrijven als `(sin(2t))^2 + (cos(2t))^2 = 1` en dat is waar voor elke waarde van `t` .
Voor `a=0` is de kromme inderdaad een cirkel.

`k_1` heeft parametervoorstelling `(x, y) = ((1 + 2sin(t))cos(t), (1 + 2 sin(t))sin(t))` .
Er moet gelden dat `x=0` , zodat:

`(1 + 2 sin(t))cos(t) = 0`
`sin(t) = text(-)1/2 vv cos(t) = 0`
`t = 1 1/6pi + k * 2pi vv t = 1 5/6 pi + k * 2pi vv x = 1/2 pi + k * pi` .
Dit geeft de punten `(0, 0)` , `(0, 1)` en `(0, 3)` .

Er moet gelden: `x'(0) = 0 ^^ y'(0) = 0` .
`x'(t) = 2cos^2(t) - (2 + 2sin(t))sin(t)`
`y'(t) = 2cos(t)sin(t) + (2 + 2sin(t))cos(t)`

`2cos(t)sin(t) + (2 + 2sin(t))cos(t) = 0`
`2cos(t)(2sin(t) + 1) = 0`
`cos(t) = 0 vv sin(t) = text(-)1/2`
`t = 1/2 pi + k*pi vv t = 7/6 pi + k*2pi vv t = 11/6 pi + k*2pi`

Alleen bij `t = 1 1/2 pi + k*2pi` is `x'(t)` ook `0` .
Dit geeft het keerpunt `O(0, 0)` .

Er moet gelden: ` y'(t) = 0 ^^ x'(t) ne 0` .
`x'(t) = 2cos^2(t) - (a + 2sin(t))sin(t)`
`y'(t) = 2cos(t)sin(t) + (a + 2sin(t))cos(t)`

`2cos(t)sin(t) + (a + 2sin(t))cos(t) = 0`
`cos(t)(4sin(t) + a) = 0`
`cos(t) = 0 vv sin(t) = (text(-)a)/4`
`t = 1/2 pi + k*2pi vv sin(t) = (text(-)a)/4`

Als `t = 1/2 pi vv t = 1 1/2 pi` dan `y'(t) = 0` en `x'(t) ne 0` . Dit geeft twee punten met een horizontale raaklijn.
Als `a gt 4` , dan heeft de vergelijking `sin(t) = (text(-)a)/4` geen oplossing. Dit betekent dat in dit geval er twee punten zijn met een horizontale raaklijn.

`text(-)5 le x(t) le 5` en `text(-)5 le y(t) le 5` .

Neem als venster bijvoorbeeld `[text(-)5, 5]xx[text(-)5, 5]` .
Het is een Lissajousfiguur omdat zowel `x(t)` als `y(t)` sinusoïden zijn.

Raaklijn evenwijdig met de `x` -as: `(2,5; 5)` en `(text(-)2,5; text(-)5)` .

Raaklijn evenwijdig met de `y` -as: geen punten.

De twee keerpunten zijn `(text(-)5, 5)` en `(5, text(-)5)` .

De raaklijn is `y = 3x` .