Parameterkrommen > Snelheid en versnelling
12345Snelheid en versnelling

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Als dan beweeg je het snelst als .

b

Als dan beweeg je het snelst als .

c

Eigen antwoord, zie ook de Uitleg.

Opgave 1
a

De functies ( x ( t ) en ( y ( t ) zijn geen sinusoïden.

b

c

.
Controleer dit door t = 0 in te stellen en dan h 0 te schuiven.

d

Met 8 m/s.

e

.
Controleer dit door t = 1,57 in te stellen en dan h 0 te schuiven.

De snelheid van punt P op dit tijdstip is v = ( - 4 ) 2 + ( - 4 ) 2 = 4 2 m/s.

f

Eigen antwoorden.

Opgave 2
a

De snelheidsvector geeft de richting aan waarin wordt bewogen en is dus een richtingsvector. Een richtingsvector heeft een helling van y ' ( t ) x ' ( t ) en die helling is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn, dus d y d x = y ' ( t ) x ' ( t ) .

b

(zie de vorige opgave bij e).

c

d y d x = 1 is de richtingscoëfficiënt van deze raaklijn, die ook door P ( - 2 , 4 ) gaat.
De vergelijking van deze raaklijn is dus y = x + 6 .

d

Horizontale raaklijnen zitten in punten met y ' ( t ) = 0 . Alleen mag dan niet ook x ' ( t ) = 0 , want dan krijg je een onbestaanbare uitkomst voor de richtingscoëfficiënt.

y ' ( t ) = 4 cos ( t ) + 4 cos ( 2 t ) = 0 geeft: cos ( t ) + cos ( 2 t ) = 0 en dus
2 cos 2 ( t ) + cos ( t ) - 1 = 0 , zodat cos ( t ) = - 1 cos ( t ) = 0,5 .
Hieruit volgt: t = π + k 2 π t = 1 3 π + k 2 π t = - 1 3 π + k 2 π .
Ga na, dat dit oplevert: ( 2 , 3 3 ) en ( 2 , - 3 3 ) . Denk er om dat x ' ( t ) 0 , dus ( - 2 , 0 ) vervalt.

De bijbehorende vergelijkingen zijn y = ± 3 3 .

e

Verticale raaklijnen zitten in punten met x ' ( t ) = 0 . Alleen mag dan niet ook y ' ( t ) = 0 , want dan krijg je een onbestaanbare uitkomst voor de richtingscoëfficiënt.

x ' ( t ) = - 4 sin ( t ) - 4 sin ( 2 t ) = 0 geeft: sin ( t ) - sin ( 2 t ) = 0 en dus
sin ( t ) - 2 sin ( t ) cos ( t ) = 0 , zodat sin ( t ) = 0 cos ( t ) = - 0,5 .
Hieruit volgt: t = k π t = 2 3 π + k 2 π t = - 2 3 π + k 2 π .
Ga na, dat dit als uiterste punten oplevert: ( 6 , 0 ) , ( - 3 , 3 ) en ( - 3 , - 3 ) . Denk er weer om dat x ' ( t ) 0 , dus ( - 2 , 0 ) vervalt.

De bijbehorende vergelijkingen zijn x = - 3 3 en x = 6 3 .

Opgave 3
a

In het punt en die snelheid is m/s.

b

Dat is in het punt , dat wordt bereikt op s.

c

Niets anders dan dat die helling onbepaald is.

Opgave 4
a

b

c

Bepaal , dit kan met de GR bepaald worden. Je vindt dat de baanversnelling m/s is.

d

Bepaal , dit kan met de GR bepaald worden. Je vindt dat de baanversnelling ongeveer m/s is.

Opgave 5

Op is m/s.
Verder is de r.c. van de raaklijn en deze raaklijn gaat door . De vergelijking ervan is daarom .

Opgave 6
a

en .

b

De snelheidsvector is .
De snelheid op is daarom .
De snelheid op is daarom .

c

Op is de r.c. en die bestaat niet. De raaklijn is daarom verticaal. Omdat hij door gaat is de vergelijking .
Op is de r.c. . Omdat de raaklijn door gaat is de vergelijking .

Opgave 7
a

Vul en in de gegeven vergelijking in en je ziet dat er aan beide zijden voor elke waarde van hetzelfde staat.

b

Ja, er zijn veel parametervoorstellingen mogelijk, bijvoorbeeld en of en (hoewel deze laatste alleen geldt als ).

c

.

d

De snelheidsvector is .
De snelheid is .
Dus een punt wat gelijkmatig beweegt op een cirkel met een grotere straal heeft ook een grotere snelheid.

Opgave 8

Doen, vergelijk jouw antwoorden met het voorbeeld.

Opgave 9
a

Raaklijn evenwijdig -as: .
Dit geeft en dus , behalve de punten waarin . Hieruit vind je de punten en .
Raaklijn evenwijdig -as: .
Dit geeft en dus , behalve de punten waarin . Hieruit vind je het punt .

b

In een keerpunt is: .
Dit geeft en dus . Hieruit vind je de punten en .

Opgave 10
a

De snelheid is maximaal wanneer een veelvoud van is. De coördinaten van zijn in dat geval altijd hetzelfde. Neem bijvoorbeeld :

b

De snelheid is minimaal wanneer , ofwel wanneer .
Hier geldt:

c

De snelheid is minimaal wanneer . De coördinaten van zijn in dat geval altijd hetzelfde. Neem bijvoorbeeld :

Opgave 11
a

De baansnelheid wordt bepaald door de snelheidsvector . Hier geldt:
en
De baansnelheid op tijdstip is de lengte van de snelheidsvector. Hiervoor geldt:

De minimale snelheid vind je met . De kettingregel geeft:

Wanneer de snelheid minimaal is, geldt: .

Hiermee vind je de minimale snelheid:

b

c

De snelheid op tijdstip wordt gegeven door . De grafiek van deze functie is afnemend dalend links van en toenemend stijgend rechts daarvan. De grafiek heeft dus geen maximum.

Opgave 12
a

invullen in geeft .

Hieruit volgt: en dus .

Deze -waarden invullen geeft dezelfde punten als in het voorbeeld.

b

In heeft de raaklijn richtingsvector en de lijn heeft richtingsvector .
Inproduct: de hoek is .

In heeft de raaklijn richtingsvector en de lijn heeft richtingsvector .
Inproduct: de hoek is .

Opgave 13
a

Substitutie van de uitdrukkingen van en in de vergelijking van de parabool geeft: .
Deze vergelijking kun je niet algebraïsch oplossen.
Voer in op de GR: en .
Snijden: en .

b

en .

c

Vanwege symmetrie zijn de hoeken in beide snijpunten hetzelfde.

d

Hier wordt de hoek in berekend. Deze correspondeert met .
De snelheidsvector van is:
De raaklijnvector aan de baan van is .
De helling van de raaklijn aan de parabool in wordt gegeven door diens afgeleide:
en dit geeft .
De bijbehorende raaklijnvector is .
Inproduct geeft als hoek .

Opgave 14

De snelheidsvector is .
De baansnelheid is dus .
Deze is op het interval maximaal als , ofwel als . De maximale snelheid is:
.

Opgave 15
a

De snelheidsvector is: .
De snelheid op is: .
De versnellingsvector is: .
De versnelling op is: .

b

De snelheidsvector is: .
De snelheid op is: .
De versnellingsvector is: .
De versnelling op is: .

c

De snelheidsvector is: .
De snelheid op is: .
De versnellingsvector is: .
De versnelling op is: .

Opgave 16
a

Er geldt: 0 x 4 , 0 y 4 en 0 t 2 π .

b

P beweegt het snelst als het de oorsprong passeert. Dat gebeurt als x ( t ) = 0 y ( t ) = 0 . Dus als cos ( 2 t ) = 0 , zodat t = 1 4 π + k 1 2 π .

De snelheidsvector is .
De snelheid is dan v = ( x ' ( 1 4 π ) ) 2 + ( y ' ( 1 4 π ) ) 2 = 4 2 . Die snelheid is voor alle andere waarden van t hetzelfde.

c

In O ( 0 , 0 ) heb je te maken met twee verschillende richtingscoëfficiënten, namelijk:

  • voor t = 1 4 π + k π een r.c. van d y d x = 1 ;

  • voor t = 3 4 π + k π een r.c. van d y d x = -1 ;

En daarom staan beide bewegingsrichtingen loodrecht op elkaar.

Opgave 17
a

geeft .
Dit levert op .
Hieruit volgen de punten , , en .

b

In de keerpunten is . Dit geeft . Er zijn geen tijdstippen die hieraan voldoen, dus er zijn geen keerpunten.

Opgave 18
a

geeft en dus . Dit geeft de punten , en .

b

geeft , dus .
Hierbij vind je de punten en .

Opgave 19
a

Evenwijdig aan de -as:
geeft: .
Dit levert op: zodat en .
Dit geeft de punten en .
Merk op dat  geen oplossingen heeft

Evenwijdig aan de -as:
geeft: .
Dit levert op: waaruit volgt en .
Dit geeft de punten en .

b

Voer de kromme in je GR in. Venster: .

c

Bekijk de kromme op de GR. Het punt wordt twee keer doorlopen.
Dat gebeurt als . Dit is het geval als . Dit geeft .
De bijbehorende hellingwaarden zijn en .
De bijbehorende raaklijnen zijn en .

d

Voer in op de GR: en .
Venster bijvoorbeeld: .
Snijden geeft: en .

e

De richtingsvector van lijn is .
De raaklijnen aan  in de snijpunten hebben richtingsvectoren en .
Inproduct bij geeft .
Inproduct bij geeft .

Opgave 20Cirkel of niet?
Cirkel of niet?
a

In dit geval moet de afstand van elk punt van tot gelijk zijn aan .
ofwel .
Omdat en kun je die uitdrukking schrijven als en dat is waar voor elke waarde van .
Voor is de kromme inderdaad een cirkel.

b

heeft parametervoorstelling .
Er moet gelden dat , zodat:



.
Dit geeft de punten , en .

c

Er moet gelden:




Alleen bij is ook .
Dit geeft het keerpunt .

d

Er moet gelden:




Als dan en . Dit geeft twee punten met een horizontale raaklijn.
Als , dan heeft de vergelijking geen oplossing. Dit betekent dat in dit geval er twee punten zijn met een horizontale raaklijn.

Opgave 21
a

en .

b

Neem als venster bijvoorbeeld .
Het is een Lissajousfiguur omdat zowel als sinusoïden zijn.

c

Raaklijn evenwijdig met de -as: en .

Raaklijn evenwijdig met de -as: geen punten.

d

De twee keerpunten zijn en .

e

De raaklijn is .

Opgave 22

De hoek op is ongeveer .
De hoek op is ongeveer .

verder | terug