Parameterkrommen > Snelheid en versnelling
12345Snelheid en versnelling

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Als dan beweeg je het snelst als .

b

Als dan beweeg je het snelst als .

c

Eigen antwoord.

Opgave 1
a

De functies ( x ( t ) en ( y ( t ) zijn geen sinusoïden.

b

( x ( t ) , y ( t ) ) = ( - 4 sin ( t ) 4 sin ( 2 t ) , 4 cos ( t ) + 4 cos ( 2 t ) )

c

( x ( 0 ) , y ( 0 ) ) = ( 0 ; 8 ) . Controleer dit door t = 0 in te stellen en dan h 0 te schuiven.

d

Met 8 m/s.

e

( x ( 1 2 π ) , y ( 1 2 π ) ) = ( - 4 ; - 4 ) . Controleer dit door t = 1,57 in te stellen en dan h 0 te schuiven.

De snelheid van punt P op dit tijdstip is v = ( - 4 ) 2 + ( - 4 ) 2 = 4 2 m/s.

f

Eigen antwoorden.

Opgave 2
a

b

c

Bepaal , dit kan met de GR bepaald worden. Je vindt dat de baanversnelling m/s is.

d

ongeveer m/s

Opgave 3

Eerst differentiëren met de kettingregel en dan herleiden:

Opgave 4
a

De snelheidsvector geeft de richting aan waarin wordt bewogen en is dus een richtingsvector. Een richtingsvector ( x ( t ) , y ( t ) ) heeft een helling van y ( t ) x ( t ) en die helling is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn, dus d y d x = y ' ( t ) x ' ( t ) .

b

d y d x = y ' ( 1 2 π ) x ' ( 1 2 π ) = - 4 - 4 = 1 (zie de vorige opgave bij d).

c

d y d x = = 1 is de richtingscoëfficiënt van deze raaklijn, die ook door P ( - 2 , 4 ) gaat.
De vergelijking van deze raaklijn is dus y = x + 6 .

d

Horizontale raaklijnen zitten in punten met y ( t ) = 0 . Alleen mag dan niet ook x ( t ) = 0 , want dan krijg je een onbestaanbare uitkomst voor de richtingscoëfficiënt.

y ( t ) = 4 cos ( t ) + 4 cos ( 2 t ) = 0 geeft: cos ( t ) + cos ( 2 t ) = 0 en dus
2 cos 2 ( t ) + cos ( t ) 1 = 0 , zodat cos ( t ) = - 1 cos ( t ) = 0,5 .
Hieruit volgt: t = π + k 2 π t = 1 3 π + k 2 π t = - 1 3 π + k 2 π .
Ga na, dat dit oplevert: ( 2 , 3 3 ) en ( 2 , - 3 3 ) . Denk er om dat x ( t ) 0 , dus ( - 2 , 0 ) vervalt.

De bijbehorende vergelijkingen zijn y = ± 3 3 .

e

Verticale raaklijnen zitten in punten met x ( t ) = 0 . Alleen mag dan niet ook y ( t ) = 0 , want dan krijg je een onbestaanbare uitkomst voor de richtingscoëfficiënt.

x ( t ) = - 4 sin ( t ) 4 sin ( 2 t ) = 0 geeft: sin ( t ) sin ( 2 t ) = 0 en dus
sin ( t ) 2 sin ( t ) cos ( t ) = 0 , zodat sin ( t ) = 0 cos ( t ) = - 0,5 .
Hieruit volgt: t = k π t = 2 3 π + k 2 π t = - 2 3 π + k 2 π .
Ga na, dat dit als uiterste punten oplevert: ( 6 , 0 ) , ( - 3 , 3 ) en ( - 3 , - 3 ) . Denk er weer om dat x ( t ) 0 , dus ( - 2 , 0 ) vervalt.

De bijbehorende vergelijkingen zijn x = - 3 3 en x = 6 3 .

Opgave 5
a

In het punt en die snelheid is m/s.

b

Dat is in het punt , dat wordt bereikt op s.

c

Niets anders dan dat die helling onbepaald is.

Opgave 6
a

Bepaal de snijpunten door de uitdrukking van en uit te substitueren in de vergelijking van en te bereken.

Je vindt de punten , en

b



De richtingscoëfficiënt van de raaklijn op is niet gedefinieerd, dat is een verticale lijn.

c

De hoeken op , en zijn respectievelijk ; en .

Opgave 7
a

en

b

Op is de helling afgerond en op is de helling afgerond .

c

Op is de hoek 56°, en op is de hoek 86°.

Opgave 8

Op is m/s.
Verder is de r.c. van de raaklijn en deze raaklijn gaat door . De vergelijking ervan is daarom .

Opgave 9
a

en .

b

De snelheidsvector is .
De snelheid op is daarom .
De snelheid op is daarom .

c

Op is de r.c. en die bestaat niet. De raaklijn is daarom verticaal. Omdat hij door gaat is de vergelijking .
Op is de r.c. . Omdat de raaklijn door gaat is de vergelijking .

Opgave 10
a

Vul en in de gegeven vergelijking in en je ziet dat er aan beide zijden voor elke waarde van hetzelfde staat.

b

Ja, er zijn veel parametervoorstellingen mogelijk, bijvoorbeeld en of en (hoewel deze laatste alleen geldt als ).

c

.

d

De snelheidsvector is .
De snelheid is .
Dus een punt wat gelijkmatig beweegt op een cirkel met een grotere straal heeft ook een grotere snelheid.

Opgave 11

Doen.

Opgave 12
a

Raaklijn evenwijdig -as: .
Dit geeft en dus , behalve de punten waarin . Hieruit vind je de punten en .
Raaklijn evenwijdig -as: .
Dit geeft en dus , behalve de punten waarin . Hieruit vind je het punt .

b

In een keerpunt is: .
Dit geeft en dus . Hieruit vind je de punten en .

Opgave 13
a

b

De snelheid is minimaal wanneer , ofwel wanneer .
Hier geldt:

c

Opgave 14
a

De baansnelheid wordt bepaald door de snelheidsvector . Hier geldt:
en
De baansnelheid op tijdstip is de lengte van de snelheidsvector. Hiervoor geldt:

De minimale snelheid vind je met . De kettingregel geeft:

Wanneer de snelheid minimaal is, geldt: .

Hiermee vind je de minimale snelheid:

b

c

De snelheid op tijdstip wordt gegeven door . De grafiek van deze functie is afnemend dalend links van en toenemend stijgend rechts daarvan. De grafiek heeft dus geen maximum.

Opgave 15
a

b

De hoek in is:
.
De hoek in is:
.

Opgave 16
a

en

b

en

c

Vanwege symmetrie zijn de hoeken in beide snijpunten hetzelfde.

d

Deze zijn allebei ongeveer .

Opgave 17

De snelheidsvector is
De baansnelheid is dus
Deze is op het interval maximaal als , ofwel als . De maximale snelheid is:

Opgave 18
a


b


c


Opgave 19
a

Er geldt: 0 x 4 , 0 y 4 en 0 t 2 π .

b

P beweegt het snelst als het de oorsprong passeert. Dat gebeurt als x ( t ) = 0 y ( t ) = 0 . Dus als cos ( 2 t ) = 0 , zodat t = 1 4 π + k 1 2 π .

De snelheidsvector is ( x ( t ) , y ( t ) ) = ( -8 sin ( 2 t ) cos ( t ) 4 cos ( 2 t ) sin ( t ) , -8 sin ( 2 t ) sin ( t ) + 4 cos ( 2 t ) cos ( t ) ) .
De snelheid is dan v = ( x ( 1 4 π ) ) 2 + ( y ( 1 4 π ) ) 2 = 4 2 . Die snelheid is voor alle andere waarden van t hetzelfde.

c

In O ( 0 , 0 ) heb je te maken met twee verschillende richtingscoëfficiënten, namelijk:

  • voor t = 1 4 π + k π een r.c. van d y d x = 1 ;

  • voor t = 3 4 π + k π een r.c. van d y d x = -1 ;

En daarom staan beide bewegingsrichtingen loodrecht op elkaar.

Opgave 20
a

; ; en

b

In de keerpunten is . Dit geeft . Er zijn geen tijdstippen die hieraan voldoen, dus er zijn geen keerpunten.

Opgave 21
a

geeft en dus . Dit geeft de punten , en .

b

geeft , dus .
Hierbij vind je de punten en .

Opgave 22
a

Evenwijdig aan de  -as: en
Evenwijdig aan de  -as: en

b

Voer de kromme in je GR in. Venster:

c

en

d

en

e

De hoek wanneer is ongeveer .
De hoek wanneer is ongeveer .

Opgave 23
a

In dit geval moet de afstand van elk punt van tot gelijk zijn aan 1.
ofwel
Omdat en kun je die uitdrukking schrijven als en dat is waar voor elke waarde van .
Voor is de kromme inderdaad een cirkel.

b

, en

c

Er moet gelden:




Alleen bij is ook 0.
Dit geeft het keerpunt .

d

Er moet gelden:




Als dan en . Dit geeft twee punten met een horizontale raaklijn.
Als , dan heeft de vergelijking geen oplossing. Dit betekent dat in dit geval er twee punten zijn met een horizontale raaklijn.

 

Opgave 24
a

en . Neem .

b

Doen, neem als venster bijvoorbeeld . Het is een Lissajousfiguur omdat zowel als sinusoïden zijn.

c

Raaklijn evenwijdig met de -as: geeft . Dus en .

Raaklijn evenwijdig met de -as: geeft . Dus geen punten.

d

geeft , dus . De twee keerpunten zijn en .

e

In is en .
De raaklijn is .

Opgave 25

De hoek op is ongeveer .
De hoek op is ongeveer .

verder | terug