Parameterkrommen > Snelheid en versnelling
12345Snelheid en versnelling

Voorbeeld 2

De parameterkromme in de Theorie wordt gegeven door de parametervoorstelling
( x ( t ) , y ( t ) ) = ( 4 cos ( t ) + 2 cos ( 2 t ) , 4 sin ( t ) + 2 sin ( 2 t ) ) .

In de uiterste punten van deze kromme is de raaklijn evenwijdig aan de x-as of de y-as. Bereken deze punten in twee decimalen nauwkeurig.
Deze kromme heeft ook een keerpunt. Bereken dit keerpunt.

> antwoord

De helling van de raaklijn wordt gegeven door: d y d x = y ' ( t ) x ' ( t ) .

  • De raaklijn is evenwijdig aan de x-as als: y ' ( t ) = 0 x ' ( t ) 0 .
    y ' ( t ) = 4 cos ( t ) + 4 cos ( 2 t ) = 0 geeft: cos ( t ) + cos ( 2 t ) = 0 en dus
    2 cos 2 ( t ) + cos ( t ) - 1 = 0 , zodat cos ( t ) = - 1 cos ( t ) = 0,5 .
    Hieruit volgt: t = π + k 2 π t = 1 3 π + k 2 π t = - 1 3 π + k 2 π .
    Ga na, dat dit als uiterste punten oplevert: ( 2 , 3 3 ) en ( 2 , - 3 3 ) . (Denk er om dat x ' ( t ) 0 , dus ( - 2 , 0 ) vervalt.)

  • De raaklijn is evenwijdig aan de y-as als: x ' ( t ) = 0 y ' ( t ) 0 .
    x ' ( t ) = - 4 sin ( t ) - 4 sin ( 2 t ) = 0 geeft: sin ( t ) - sin ( 2 t ) = 0 en dus
    sin ( t ) - 2 sin ( t ) cos ( t ) = 0 , zodat sin ( t ) = 0 cos ( t ) = - 0,5 .
    Hieruit volgt: t = k π t = 2 3 π + k 2 π t = - 2 3 π + k 2 π .
    Ga na, dat dit als uiterste punten oplevert: ( 6 , 0 ) , ( - 3 , 3 ) en ( - 2 , - 3 ) . (Denk er weer om dat x ' ( t ) 0 , dus ( - 2 , 0 ) vervalt.)

  • Voor het keerpunt geldt x ' ( t ) = 0 y ' ( t ) = 0 en dat levert juist het punt ( - 2 , 0 ) op. In de figuur is duidelijk te zien waarom dit punt een keerpunt heet: de bewegingsrichting keert er om.

Opgave 8

Bekijk hoe in Voorbeeld 2 zowel de uiterste punten als de keerpunten van een kromme worden berekend.

Voer zelf deze berekeningen uit zonder naar het voorbeeld te kijken.

Opgave 9

Een kromme wordt gegeven door en .

a

Bereken algebraïsch de punten van deze kromme waarin de raaklijn evenwijdig is met de -as of de -as op de manier zoals in Voorbeeld 2.

b

Bereken de twee keerpunten van deze kromme.

verder | terug