De helling van de raaklijn wordt gegeven door: $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{y\text{'}(t)}{x\text{'}(t)}$.

• De raaklijn is evenwijdig aan de $x$-as als: $y^{\text{'}}(t)=0\wedge x^{\text{'}}(t)\ne 0$.
  $y^{\text{'}}(t)=4\cos (t)+4\cos (2t)=0$ geeft: $\cos (t)+\cos (2t)=0$ en dus
  $2{\cos }^2(t)+\cos (t)-1=0$, zodat $\cos (t)=\text{-}1\vee \cos (t)=\mathrm{0,5}$.
  Hieruit volgt: $t=\pi +k\cdot 2\pi \vee t=\frac{1}{3}\pi +k\cdot 2\pi \vee t=\text{-}\mathrm{}\frac{1}{3}\pi +k\cdot 2\pi$.
  Ga na, dat dit als uiterste punten oplevert: $(2,3\sqrt{3})$ en $(2,\text{-}3\sqrt{3})$. (Denk er om dat $x^{\text{'}}(t)\ne 0$, dus $(\text{-}2,0)$ vervalt.)

• De raaklijn is evenwijdig aan de $y$-as als: $x^{\text{'}}(t)=0\wedge y^{\text{'}}(t)\ne 0$.
  $x^{\text{'}}(t)=\text{-}4\sin (t)-4\sin (2t)=0$ geeft: $\sin (t)-\sin (2t)=0$ en dus
  $\sin (t)-2\sin (t)\cos (t)=0$, zodat $\sin (t)=0\vee \cos (t)=\text{-}\mathrm{0,5}$.
  Hieruit volgt: $t=k\cdot \pi \vee t=\frac{2}{3}\pi +k\cdot 2\pi \vee t=\text{-}\mathrm{}\frac{2}{3}\pi +k\cdot 2\pi$.
  Ga na, dat dit als uiterste punten oplevert: $(6,0)$, $(\text{-}3,\sqrt{3})$ en $(\text{-}2,\text{-}\mathrm{}\sqrt{3})$. (Denk er weer om dat $x^{\text{'}}(t)\ne 0$, dus $(\text{-}2,0)$ vervalt.)

• Voor het keerpunt geldt $x^{\text{'}}(t)=0\wedge y^{\text{'}}(t)=0$ en dat levert juist het punt $(\text{-}2,0)$ op. In de figuur is duidelijk te zien waarom dit punt een keerpunt heet: de bewegingsrichting keert er om.