Parameterkrommen > Snelheid en versnelling
12345Snelheid en versnelling

Voorbeeld 3

Neem nogmaals de baan van punt `P` beschreven door de parametervoorstelling `P(x(t),y(t)) = (4cos(t) + 2cos(2t), 4sin(t) + 2sin(2t))` . Bereken algebraïsch de maximale baansnelheid van punt `P` .

> antwoord

De baansnelheid wordt bepaald door de snelheidsvector `vec(v) = ((x'(t)),(y'(t)))` .
Hier geldt: `x'(t) = text(-)4sin(t)-4sin(4t)` en `y'(t) = 4cos(t)+4cos(2t)` .
De baansnelheid `v` (ook wel vectoriële snelheid) op tijdstip `t` is de lengte van de snelheidsvector: `v = |vec(v)|` . Hiervoor geldt:

`v` `=` `sqrt((x'(t))^2 + (y'(t))^2)`
`x'(t)` en `y'(t)` invullen
`=` `sqrt((text(-)4sin(t) - 4sin(2t))^2 + (4cos(t) + 4cos(2t))^2)`
haakjes wegwerken
`=` `sqrt(16 + 16 + 32sin(t)sin(2t) + 32cos(t)cos(2t))`

formules voor `sin(2t)` en `cos(2t)` gebruiken

`=` `sqrt(32 + 32 cos(t))`

Omdat `text(-)1 le cos(t) le 1` weet je dat de maxima van `v` liggen op `cos(t) = 1` , ofwel `t = k*2pi` .
Hiermee vind je de maximale snelheid en de coördinaten waarop de snelheid maximaal is:
`v(k*pi) = 4sqrt(4) = 8` .

Opgave 10

Bestudeer Voorbeeld 3.

a

Welke coördinaten heeft `P` wanneer de snelheid maximaal is?

b

Omdat de baan van `P` een keerpunt heeft, weet je dat de minimale snelheid `0` is.

Toon aan dat dit ook volgt uit de formule voor `v` uit het voorbeeld.

c

Welke coördinaten heeft `P` wanneer de snelheid minimaal is?

Opgave 11

Neem de baan van punt `P` beschreven door de parametervoorstelling `(x(t), y(t)) = (2t^2 - 1, t^3 - 2t + 2)` .

a

Bereken de minimale baansnelheid van punt `P` .

b

Welke coördinaten heeft `P` als de snelheid minimaal is?

c

Beredeneer of er een maximale snelheid is.

verder | terug