Parameterkrommen > Snelheid en versnellingVoorbeeld 4
Bekijk de figuur met daarin de baan `K` beschreven door `(x(t), y(t)) = (1/2 t^3 - t, t^2 - 1)` en ook de lijn `l: y = 2x - 1` .
Uit de figuur blijkt dat `l` en `K` elkaar drie keer snijden. Bereken in twee decimalen de coördinaten van de snijpunten en de hoeken waaronder de lijn de kromme snijdt.
Om te berekenen voor welke waarden van `t` de kromme de lijn snijdt substitueer je de uitdrukkingen voor `x(t)` en `y(t)` in de vergelijking van `l` en los je deze op.
De coördinaten van de snijpunten zijn `(0, text(-)1), (1/2, 0)` en `(2, 3)` .
De hoek met lijn `l` die de kromme maakt in een snijpunt wordt bepaald door de helling van de raaklijn aan de kromme in dat punt. Bekijk bijvoorbeeld het snijpunt `(0, text(-)1)` .
De helling van de raaklijn wordt bepaald door de snelheidsvector:
`vec(v) = ((x'(t)), (y'(t))) = ((3/2 t^2 - 1), (2t))`
De helling van de raaklijn in het snijpunt is:
`(y'(0))/(x'(0)) = 0`
De raaklijn heeft richtingsvector
`((1),(0))`
en de lijn heeft richtingsvector
`((1),(2))`
.
Met behulp van het inproduct vind je voor de gevraagde hoek ongeveer
`63,4^@`
.
Op dezelfde manier vind je dat de hoek in `(1/2, 0)` ongeveer `40,60^@` en de hoek in `(2, 3)` ongeveer `24,76^@` is.
Bestudeer
Reken de coördinaten van de snijpunten na.
Voor één snijpunt is de hoek waaronder lijn `l` de kromme snijdt berekend. Bereken zelf de hoeken die bij de andere twee snijpunten horen in twee decimalen nauwkeurig.
Bekijk de figuur met daarin de baan van een punt `P` beschreven door `(x(t), y(t)) = (1/2 t^3 - t , t^2 - 1)` en de grafiek van `y = text(-)1/2 x^2 + 5` . De baan van `P` wordt twee keer gesneden door de parabool.
Bepaal voor welke waarden van `t` dit gebeurt.
Bepaal de coördinaten van de snijpunten.
Wat kun je zeggen over de hoeken tussen de grafieken in beide snijpunten?
Bereken de hoeken tussen de grafieken in de snijpunten. Rond af op twee decimalen.