Parameterkrommen > Snelheid en versnelling
12345Snelheid en versnelling

Uitleg

Als je de tijd t (in seconden) laat lopen dan zie je de kromme die punt P doorloopt. Om iets over de snelheid van P op een bepaald tijdstip te kunnen zeggen is er een punt Q getekend dat h seconden voor loopt op punt P. Nu is P = ( x ( t ) , y ( t ) ) en dus is Q = ( x ( t + h ) , y ( t + h ) ) .
Dit betekent dat in h seconden punt P ongeveer de vector

doorloopt.

Per seconde doorloopt P de vector

En deze benadering wordt beter naarmate h naar 0 nadert.

Daarom zeg je dat punt P beweegt volgens de snelheidsvector .
Deze snelheidsvector ligt op de raaklijn in punt P aan de kromme.
De richtingscoëfficiënt van deze raaklijn is d y d x = y ' ( t ) x ' ( t ) .
De snelheid waarmee het punt beweegt is de lengte van de snelheidsvector.
Dus de baansnelheid is v = ( x ' ( t ) ) 2 + ( y ' ( t ) ) 2 .

De afgeleide van de snelheidvector is de versnellingsvector .
De baanversnelling is de afgeleide van de baansnelheid.

Opgave 1

Bestudeer in de Uitleg wat de snelheidsvector van een bewegend punt is en hoe je daarmee de snelheid van die beweging in een bepaald punt kunt uitrekenen.
Bij de getekende kromme hoort de parametervoorstelling ( x ( t ) , y ( t ) ) = ( 4 cos ( t ) + 2 cos ( 2 t ) , 4 sin ( t ) + 2 sin ( 2 t ) ) met t in s en de lengte-eenheden in m.

a

Waarom is hier geen sprake van een Lissajousfiguur?

b

Welke snelheidsvector hoort er bij deze kromme?

c

Bereken de snelheidsvector voor t = 0 en laat m.b.v. de applet zien dat die snelheidsvector inderdaad klopt.

d

Met welke snelheid beweegt punt P op t = 0 ?

e

Neem nu t = 1 2 π en bereken zowel de snelheidsvector als de snelheid waarmee P op dit tijdstip beweegt.

f

Doe hetzelfde als bij e voor nog een paar andere tijdstippen. Controleer steeds je antwoorden met de applet.

Opgave 2

In de Uitleg zie je ook hoe je de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan een kromme opstelt.

a

Hoe kun je uit de snelheidsvector die richtingscoëfficiënt afleiden?

Bij de getekende kromme hoort de parametervoorstelling ( x ( t ) , y ( t ) ) = ( 4 cos ( t ) + 2 cos ( 2 t ) , 4 sin ( t ) + 2 sin ( 2 t ) ) .

b

Bereken de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan deze kromme voor t = 1 2 π .

c

Stel een vergelijking op van de raaklijn aan deze kromme voor t = 1 2 π .

d

In welke punten zijn de raaklijnen horizontaal, dus evenwijdig aan de x-as? Welke vergelijkingen hebben ze dan?

e

In welke punten zijn de raaklijnen verticaal, dus evenwijdig aan de y-as? Welke vergelijkingen hebben ze dan?

Opgave 3

Bij Verkennen V1 heb je dezelfde kromme bekeken als in de Uitleg . De parametervoorstelling vind je bij de voorgaande opgaven.

a

In welk punt beweegt P het snelst? En hoeveel bedraagt die snelheid?

b

Er is een punt van de kromme waar de beweging omkeert en snelheid even 0 is. Welk punt is dat? En welk tijdstip hoort er bij?

c

Wat kun je in dat punt over de helling van de kromme zeggen?

Opgave 4

Bekijk de kromme in de Uitleg.

a

Welke versnellingsvector hoort er bij deze kromme?

b

Bereken de versnellingsvector voor .

c

Hoe groot is de baanversnelling van punt op ?

d

Bereken zowel de versnellingsvector als de baanversnelling voor .

Geef je antwoord in m/s op twee decimalen nauwkeurig.

verder | terug