Parameterkrommen > Snelheid en versnelling
12345Snelheid en versnelling

Uitleg

Als je de tijd t (in seconden) laat lopen dan zie je de kromme die punt P doorloopt. Om iets over de snelheid van P op een bepaald tijdstip te kunnen zeggen is er een punt Q getekend dat h seconden voor loopt op punt P. Nu is P = ( x ( t ) , y ( t ) ) en dus is Q = ( x ( t + h ) , y ( t + h ) ) .
Dit betekent dat in h seconden punt P ongeveer de vector
P Q = ( x ( t + h ) x ( t ) , y ( t + h ) y ( t ) )
doorloopt.

Per seconde doorloopt P de vector
v ( x ( t + h ) x ( t ) h , y ( t + h ) y ( t ) h )
En deze benadering wordt beter naarmate h naar 0 nadert.

Daarom zeg je dat punt P beweegt volgens de snelheidsvector v = ( x ( t ) , y ( t ) ) .
Deze snelheidsvector ligt op de raaklijn in punt P aan de kromme.
De richtingscoëfficiënt van deze raaklijn is d y d x = y ' ( t ) x ' ( t ) .
De snelheid waarmee het punt beweegt is de lengte van de snelheidsvector.
Dus de baansnelheid is v = ( x ' ( t ) ) 2 + ( y ' ( t ) ) 2 .

De afgeleide van de snelheidvector is de versnellingsvector .
De baanversnelling is de afgeleide van de baansnelheid.

Opgave 1

Bestudeer in de Uitleg 1 wat de snelheidsvector van een bewegend punt is en hoe je daarmee de snelheid van die beweging in een bepaald punt kunt uitrekenen.
Bij de getekende kromme hoort de parametervoorstelling ( x ( t ) , y ( t ) ) = ( 4 cos ( t ) + 2 cos ( 2 t ) , 4 sin ( t ) + 2 sin ( 2 t ) ) met t in s en de lengte-eenheden in m.

a

Waarom is hier geen sprake van een Lissajousfiguur?

b

Welke snelheidsvector hoort er bij deze kromme?

c

Bereken de snelheidsvector voor t = 0 en laat m.b.v. de applet zien dat die snelheidsvector inderdaad klopt.

d

Met welke snelheid beweegt punt P op t = 0 ?

e

Neem nu t = 1 2 π en bereken zowel de snelheidsvector als de snelheid waarmee P op dit tijdstip beweegt.

f

Doe hetzelfde als bij e voor nog een paar andere tijdstippen. Controleer steeds je antwoorden met de applet.

Opgave 2

Bestudeer de uitleg. Bij de getekende kromme hoort de parametervoorstelling met in seconden en de lengte-eenheden in meter.

a

Welke versnellingsvector hoort er bij deze kromme?

b

Bereken de versnellingsvector voor .

c

Hoe groot is de baanversnelling van punt op ?

d

Bereken zowel de versnellingsvector als de baanversnelling voor .

Geef je antwoord in m/s op twee decimalen nauwkeurig.

Opgave 3

In de uitleg zie je hoe je de baanversnelling uit kunt rekenenen.
Maar je kunt hier ook de formule voor gebruiken. Toon aan dat dit klopt.

Opgave 4

In de Uitleg 1 zie je ook hoe je de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan een kromme opstelt.

a

Hoe kun je uit de snelheidsvector die richtingscoëfficiënt afleiden?

Bij de getekende kromme hoort de parametervoorstelling ( x ( t ) , y ( t ) ) = ( 4 cos ( t ) + 2 cos ( 2 t ) , 4 sin ( t ) + 2 sin ( 2 t ) ) .

b

Bereken de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan deze kromme voor t = 1 2 π .

c

Stel een vergelijking op van de raaklijn aan deze kromme voor t = 1 2 π .

d

In welke punten zijn de raaklijnen horizontaal, dus evenwijdig aan de x-as? Welke vergelijkingen hebben ze dan?

e

In welke punten zijn de raaklijnen verticaal, dus evenwijdig aan de y-as? Welke vergelijkingen hebben ze dan?

Opgave 5

Bij Verkennen V1 heb je dezelfde kromme bekeken als in de Uitleg 1. De parametervoorstelling vind je bij de voorgaande opgaven.

a

In welk punt beweegt P het snelst? En hoeveel bedraagt die snelheid?

b

Er is een punt van de kromme waar de beweging omkeert en snelheid even 0 is. Welk punt is dat? En welk tijdstip hoort er bij?

c

Wat kun je in dat punt over de helling van de kromme zeggen?

verder | terug