Parameterkrommen > Toepassingen
12345Toepassingen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Het snijpunt van de diagonalen.

b

Dit wordt het snijpunt van de drie zwaartelijnen. Ga na, dat dit is.

c

Zie de Uitleg 1.

Opgave 1
a

Een zwaartelijn deelt een driehoek in twee even "zware" driehoeken, dat wil zeggen in twee driehoeken met dezelfde oppervlakte. Een zwaartelijn deelt daarvoor een zijde van de driehoek doormidden en gaat door het tegenoverliggende hoekpunt.

b

De verticale zwaartelijn gaat door hoekpunt en door het midden van de tegenoverliggende zijde . Een mogelijke vectorvoorstelling van de verticale zwaartelijn is:

De stijgende zwaartelijn gaat door hoekpunt en door het midden van de tegenoverliggende zijde . Een mogelijke vectorvoorstelling van de stijgende zwaartelijn is:

De dalende zwaartelijn gaat door hoekpunt en door het midden van de tegenoverliggende zijde . Een mogelijke vectorvoorstelling van de dalende zwaartelijn is:

Omdat de drie zwaartelijnen elkaar in één punt snijden heb je voor het berekenen van het snijpunt maar twee van de drie zwaartelijnen nodig:

Hieruit volgt en .
Het snijpunt is .

c

Stel vectorvoorstellingen op van twee zwaartelijnen en bereken hun snijpunt.
Het wordt pittig rekenwerk.

d

De hoekpunten zijn , en .

Hiermee vind je het zwaartepunt van : .

Opgave 2
a

Het zwaartepunt van de rechthoek of het zwaartepunt van de driehoek.

b

Neem het zwaartepunt van de rechthoek als oorsprong.

Dan is: .

Neem het zwaartepunt van de driehoek als oorsprong.

Dan is: .

Opgave 3
a

moet loodrecht staan op en moet dezelfde lengte hebben.

De vector heeft duidelijk dezelfde lengte en staat loodrecht op , omdat .

b

Bij richtingsvector hoort r.c. en dus .

De lijn gaat door , dus .

Opgave 4

Stel dat , dan is en .

Dit betekent dat over de rechte lijn met parametervoorstelling beweegt. Een vergelijking van deze lijn is .

Opgave 5
a

Omdat het zwaartepunt van figuur 1 nu is en dat maakt het rekenwerk eenvoudiger.

b

Doen, hopelijk krijg je hetzelfde als in het voorbeeld.

Opgave 6

Verdeel de figuur in drie vierkanten en een driehoek. Breng een assenstelsel aan door bijvoorbeeld het midden van het linker vierkant.

Er geldt voor de vierkanten dat de coördinaten van de zwaartepunten zijn: , en .

De oppervlaktes zijn: , en .

Een vectorvoorstelling van de zwaartelijn van de driehoek door punt is met .
Neem voor en dit geeft
De oppervlakte van de driehoek is .

De oppervlakte van de hele figuur is .
, en zijn de vectoren naar de afzonderlijke zwaartepunten.
De vector naar het zwaartepunt van de hele figuur vind je met:

De coördinaten van het zwaartepunt van deze figuur ten opzichte van het midden van het linker vierkant zijn .

Opgave 7
a

Uit volgt .

b

Stel dat , dan is en .

Dit betekent dat .

Een parametervoorstelling van de kromme is .

Een vergelijking van de kromme is .

Opgave 8
a

De vector ligt nu op lijn .

staat loodrecht op en dus ook op en heeft dezelfde lengte als deze vector.

Dit betekent dat . (De vector is naar links gericht.)

De coördinaten van zijn .

b

De vector ligt op lijn .

staat loodrecht op en dus ook op en heeft dezelfde lengte als deze vector.

Dit betekent dat . (De vector is naar links gericht.)

De coördinaten van zijn .

c

Stel dat , dan is .

staat loodrecht en dus ook op en heeft dezelfde lengte als deze vector.

is naar links gericht. Er zijn nu twee situaties te onderscheiden:

  • als
    Dit geeft .

  • als
    Dit geeft .

Dit betekent dat de positieve -as en de negatieve -as doorloopt.

Opgave 9

Haakjes wegwerken geeft en dus .

geeft en deze waarde vul je in de afstandsformule in.

Opgave 10

Een parametervoorstelling van de ellips is .

Neem , dan is .

Hiervan bepaal je het minimum met behulp van je grafische rekenmachine. Je vindt ongeveer met .

Opgave 11

.

Opgave 12

Neem op de kromme, dat is .
Bereken hiervan het minimum. Je vindt .

Opgave 13
a

b

.
Er geldt en hieruit volgt dat op de lijn ligt.

Opgave 14

Verdeel de figuur in een parallellogram en een driehoek. Breng een assenstelsel aan door bijvoorbeeld het midden van het parallellogram.

De coördinaten van het zwaartepunt van het parallellogram is en de oppervlakte is .
Een vectorvoorstelling van de zwaartelijn van de driehoek door punt is met .
Neem voor en dit geeft .
De oppervlakte van de driehoek is .
De oppervlakte van de hele figuur is .
en zijn de vectoren naar de afzonderlijke zwaartepunten.
De vector naar het zwaartepunt van de hele figuur vind je met:

De coördinaten van het zwaartepunt van deze figuur ten opzichte van het midden van de parallellogram zijn .

Opgave 15
a

Een normaalvector van is en van is een normaalvector .

Omdat , is ook een normaalvector van lijn . Dit betekent dat de lijnen evenwijdig zijn.

b

Neem een willekeurig punt op lijn (of ), bijvoorbeeld .

De afstand tussen en is de afstand tussen en .

Lijn door en loodrecht is .

Snijden met : geeft .

Snijpunt .

.

c

en .

Lijn door en loodrecht is .

Snijden met : geeft .

Snijpunt .

.

Dit geeft .

Opgave 16
a

Punt ligt midden op zijde . Een vectorvoorstelling van lijnstuk is:
met
geeft .
De punten , en liggen op één horizontale lijn:

Noem het snijpunt van de hoogtelijn vanuit in met lijn .
Uit en volgt .
Met punt in het midden van punt en vind je .

b

Lijnstuk is de zwaartelijn van driehoek en deelt de driehoek in twee driehoeken van gelijke oppervlakte.
Noem het snijpunt van de hoogtelijn vanuit in met zijde .
Uit en volgt .

De lengte van is minimaal als , dit is als en .
Hieruit volgt dat punt op de cirkel ligt door punt met straal .

Punt ligt ook de lijn door punt loodrecht op lijn .

Het snijpunt van deze cirkel en deze lijn geeft .
Punt ligt links van punt .
geeft .

Opgave 17Zwaartepunt in de astronomie
Zwaartepunt in de astronomie

De totale massa van alle planeten en de zon bij elkaar is aardemassa's.
Het zwaartepunt bereken je als volgt:

Het zwaartepunt van het zonnestelsel ligt AE verwijderd van het massamiddelpunt van de zon.

Opgave 18Bewegen over een lijn
Bewegen over een lijn

Stel dat .

Een parametervoorstelling van lijn is dus .

Uit volgt , substitueer dit in de vergelijking voor :

bron: pilotexamen vwo wiskunde B in 2017, eerste tijdvak

Opgave 19
a

b

Opgave 20
a

b

c

Opgave 21

De kortste afstand is: .

verder | terug