De beweging van een punt in het -vlak wordt voor `0 le t le 2pi` gegeven door:
In de figuur is de baan van het punt getekend.
Bereken de exacte snelheid van het punt op tijdstip .
De bewegingsvergelijkingen kunnen herleid worden tot:
met .
Toon dit aan.
Bij het doorlopen van zijn baan passeert het punt een aantal keren .
Bereken dit aantal langs algebraïsche weg.
(bron: examen wiskunde B vwo 2002, eerste tijdvak)
Gegeven is de cirkel met vergelijking
`(x −1)^2 + y^2 =1`
. Voor elke waarde van
`a`
is gegeven de lijn met vergelijking
`y = ax`
. Elk van deze lijnen snijdt de cirkel in twee punten, namelijk in
`O`
en
`S`
. De coördinaten van
`S`
zijn afhankelijk van
`a`
.
De vector
`vec(SP)`
is het beeld van
`vec(SO)`
bij een rotatie om
`S`
over
`90^@`
. Zie de figuur hiernaast, waarin ook driehoek
`OPS`
is weergegeven.
Voor de coördinaten van
`P`
geldt:
`x_P = (2a+2)/(a^2+1)` en `y_P = (2a-2)/(a^2+1)`
Bewijs dat de formules voor `x_P` en `y_P` correct zijn.
Bij elke waarde van `a` hoort een positie van `P.` In de twee figuren hieronder is voor twee waarden van `a` deze positie getekend. Als `a` varieert, beweegt `P` over een cirkel door `O` . Deze cirkel is gestippeld getekend.
Stel van de gestippelde cirkel een vergelijking op.
Er is een waarde van `a` waarvoor `x_P` maximaal is.
Bereken exact deze waarde van `a` .
(bron: pilotexamen vwo B in 2016, eerste tijdvak)
Een punt beweegt in het -vlak volgens de vergelijkingen:
Hierbij zijn en in meters, in seconden en .
De baan die doorloopt heeft de vorm van een W. Op tijdstip start in punt en op tijdstip bevindt zich voor het eerst in punt .
In de figuur zijn de baan die doorloopt, de punten en en de lijn met vergelijking getekend. Gedurende het tijdsinterval bevindt zich een aantal seconden onder de lijn met vergelijking .
Bereken dit aantal seconden.
Op zeker moment tijdens de beweging van naar passeert de -as. Daarbij neemt de -coördinaat van af.
Bereken exact de snelheid van de -coördinaat van op dat moment.
(bron: examen wiskunde B vwo 2012, eerste tijdvak)