Parameterkrommen > Totaalbeeld
12345Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1
a

geeft coördinaten .

b

geeft coördinaten

Opgave 2

Opgave 3
a

Ja, de periode is 2.

b
c

; ; ; ; en

d

e

ongeveer 34,9

f

24,5

Opgave 4
a

Punt doorloopt de gehele kromme vanaf tot .
In die tijd zit op de -as als , dit is als .
Het punt zit links van de -as en dat is de helft van de tijd die het nodig heeft om de kromme één keer geheel te doorlopen.

b

en

c

ongeveer 0,43

d

en

Opgave 5

Opgave 6
a

op en minimaliseren.
Dit geeft .

Maar je kunt nu natuurlijk gewoon een loodlijn op opstellen door opstellen en het snijpunt berekenen, etc.

b

Omdat lijn evenwijdig is met lijn is een vergelijking voor .

Neem een punt op lijn , bijvoorbeeld en druk de afstand van tot uit in .

Omdat die afstand is gegeven kun je berekenen: .

Dus

Opgave 7
a

Breng een assenstelsel aan door het punt . Verdeel de vlieger in twee driehoeken. Er geldt voor driehoek 1 en 2:

  • de coördinaten van de zwaartepunten zijn:

  • de oppervlaktes zijn:

De oppervlakte van de vlieger is .
De vector naar het zwaartepunt van de vlieger vind je met:

Hieruit volgt:

b

en

Opgave 8
a

Evenwijdig met de -as:
; ; en
Evenwijdig met de -as:
; ; en

b
c

, , en

d

en

e

De hoek als is 42,9°.
De hoek als is 63,4°.

Opgave 9Cycloïde
Cycloïde
a

Laat Q het punt op de x-as recht onder M en t de draaihoek tussen M Q en M P zijn. Dan is (teken een geschikt rechthoekig driehoekje): y P = M Q cos ( t ) = 1 cos ( t ) en x P = O M sin ( t ) = t sin ( t ) (want O M = boog ( Q P ) ).

b

Los op x ( t ) = 0 y ( t ) = 0 .

c

Dat zou toch 50% moeten zijn.
Controleer of dit klopt door 1 cos ( t ) = 0 op te lossen.

Opgave 10De gravitatiewet van Newton
De gravitatiewet van Newton
a

Bepaal eerst de snelheidvector v = ( x ( t ) , y ( t ) ) en bereken daar de lengte van.
Bereken vervolgens de versnellingsvector a = ( x ( t ) , y ( t ) ) en bereken daar de lengte van.

b

Doen, gebruik het voorgaande.

c

Eigen antwoord.

d

4 π 2 k is een willekeurige constante die kan worden geschreven als G M als je veronderstelt dan hij afhankelijk is van M. Dan is G gewoon een andere constante.

Opgave 11Krommen in 3D
Krommen in 3D
a

Van boven gezien krijg je een eenheidscirkel. Vanuit de beide andere richtingen een sinusoïde.

b

Elke omwenteling van de schroeflijn is de diagonaal van de rechthoek die wordt gevormd door een uitgevouwen cilindermantel met een lengte van 2 π en een breedte van 0,2 2 π = 0,4 π .
De lengte van elk omwenteling is dus ( 2 π ) 2 + ( 0,4 π ) 2 = π 4,16 . En de afstand tussen twee punten die recht boven elkaar liggen op twee opeenvolgende omwentelingen is 0,4 π .

c

Die snelheid is altijd hetzelfde, namelijk v = ( - sin ( t ) ) 2 + ( cos ( t ) ) 2 + 0,2 2 = 1,04 .

d

( x , y , z ) = ( 4 sin ( 0,5 t ) , 4 cos ( 0,5 t ) , 1 π t )

e

Recht van boven gezien (vanuit de -richting) zie je de tweedimensionale kromme: . Dit is voor op een Lissajousfiguur in de vorm van een liggende acht. Deze kromme doorloop je in het -vlak.

In de -richting doorloop je tegelijkertijd twee keer een sinusoïde met amplitude en evenwichtsstand .
Is dat een achtbaan of niet...?

Opgave 12Een beweging door (0,0)
Een beweging door (0,0)
a

x ( t ) = -15 sin ( 15 t ) 2 sin ( t ) en y ( t ) = 15 cos ( 15 t ) + 2 cos ( t ) .
Hieruit volgt v = ( x ( 0 ) ) 2 + ( y ( 0 ) ) 2 = 17 .

b

Gebruik de formules van Simpson.

c

x ( t ) = 0 y ( t ) = 0 geeft 2 cos ( 6 1 2 t ) = 0 en dus t = 1 13 π + k 2 13 π .
Er zijn 13 verschillende tijdstippen op 0 t 2 π .

bron: examen wiskunde B vwo 2002, eerste tijdvak

Opgave 13Een driehoek draaiend over een cirkel
Een driehoek draaiend over een cirkel
a

Vul in de cirkelvergelijking in:

Dus en .

Omdat het beeld van is bij een rotatie om over 90° geldt:

Dit betekent dat en .

b

c

bron: examen vwo B 2016 : I (pilot)

Opgave 14Een W
Een W
a

cos ( π 15 t ) = cos ( 4 π 15 t ) geeft op [ 0 , 15 ] de oplossing t = 0 t = 6 t = 10 t = 12 .
P zit onder de lijn y = x als t tussen 0 en 6 of tussen 10 en 12 inligt. Dat is in totaal 8 seconden.

b

x ( t ) = cos ( π 15 t ) = 0 geeft bijvoorbeeld t = 7,5 .
Het gaat nu alleen om de snelheid in de x-richting en die is op dat moment v = x ( 7,5 ) = - π 15 sin ( π 15 7,5 ) = - π 15 m/s.

bron: examen wiskunde B vwo 2012, eerste tijdvak

verder | terug