Parameterkrommen > Totaalbeeld
12345Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1
a

`2^(1/t) = 16 = 2^4` geeft `t = 1/4` en dus de coördinaten `(16, text(-)15/16)` .

b

`t^2 - 4t = 0` geeft `t = 4` ( `t = 0` vervalt) en dus de coördinaten `(root(4)(2), 0)`

Opgave 2

`P(x(t), y(t)) = (text(-)4 + 2sin(pi t), 5 + 2cos(pi t))`

Opgave 3
a

De uitdrukkingen voor `x` en `y` zijn allebei sinusoïden, het is een lissajousfiguur. De periode van `x` is `(2pi)/pi = 2` en die van `y` is `(2pi)/(2pi) = 1` . De periode van `k` is `2` .

b

Venster: `[text(-)4, 6]xx[text(-)3, 3]` .

c

De uiterste punten in de `x` -richting:
`x(t) = 6` geeft `cos(pi t) = 1` en hieruit volgt `pi t = k*2pi` ofwel `t = 2*k` .
`x(t) = text(-)4` geeft `cos(pi t) = text(-)1` en hieruit volgt `pi t = pi + k*2pi` ofwel `t = 1 + 2*k` .
Op `0 le t le 2` zijn dit `t = 0` , `t = 1` en `t = 2` . De uiterste punten zijn:
`(x(0), y(0)) = (x(2), y(2)) = (6, 0)` en `(x(1), y(1)) = (text(-)4, 0)` .
De uiterste punten in de `y` -richting:
`y(t) = 3` geeft `sin(2pi t) = 1` en hieruit volgt `2pi t = 1/2 pi + k*2pi` ofwel `t = 1/4 + k` .
`y(t) = text(-)3` geeft `sin(2pi t) = text(-)1` en hieruit volgt `2pi t = 3/2 pi + k*2pi` ofwel `t = 3/4 + k` .
Op `0 le t le 2` zijn dit `t = 1/4` , `t = 3/4` , `t = 1 1/4` en `t = 1 3/4` . De uiterste punten zijn:
`(x(1/4), y(1/4)) = (1 + 2 1/2 sqrt(2), 3)` ; `(x(3/4), y(3/4)) = (1 - 2 1/2 sqrt(2), text(-)3)` ; `(x(1 1/4), y(1 1/4)) = ` `(1 - 2 1/2 sqrt(2), 3)` en `(x(1 3/4), y(1 3/4)) = (1 + 2 1/2 sqrt(2), text(-)3)` .

d

De baansnelheid bepaal je met de snelheidsvector: `vec(v) = ((x'(t)), (y'(t))) = ((text(-)5pi sin(pi t)), (6pi cos(2pi t)))` .
De baansnelheid op `t = 1/4` is:

`v(1/4) = sqrt((x'(1/4))^2 + (y'(1/4))^2) = sqrt(25/2 pi^2) = 5/2 pi sqrt(2)`

e

De versnellingsvector is `vec(a) = ((x''(t)), (y''(t))) = ((text(-)5pi^2 cos(pi t)), (text(-)12pi^2 sin(2pi t)))` .

De baanversnelling op `t = 1/4` is: `v'(1/4) ~~ 34,9` .

f

De baansnelheid is `sqrt((text(-)5pi sin(pi t))^2 + (6pi cos(2pi t))^2)` .

GR: `y = sqrt((text(-)5pi sin(pi x))^2 + (6pi cos(2pi x))^2)` .

Je vind een maximale waarde van ongeveer `24,5` .

Opgave 4
a

Punt `P` doorloopt de gehele kromme vanaf `t = 0` tot `t = pi` .
In die tijd zit `P` op de `y` -as als `x(t) = cos(2t) = 0` , dit is als `t = 1/4 pi vv t = 3/4 pi` .
Het punt zit `3/4 pi - 1/4 pi = 1/2 pi` links van de `y` -as en dat is de helft van de tijd die het nodig heeft om de kromme één keer geheel te doorlopen.

b

Er moet dan gelden `x'(t)=0 ^^ y'(t)=0` .

`text(-)2sin(2t) = 0 ^^ text(-)3sin(3t) = 0` geeft `t = k * pi` .
Dit levert de punten `(1, 1)` en `(1, text(-)1)` op.

c

`|OP| = sqrt((cos(2t))^2 + (cos(3t))^2)`
Voer de formule in op de GR in en bepaal het minimum.
Venster bijvoorbeeld: `[0, pi] xx [0, 3]` .
Dit geeft als minimale waarde ongeveer `0,43` .

d

`((x'(t)),(y'(t))) = ((text(-)2sin(2t)),(text(-)3sin(3t)))`
De snelheid is `v = sqrt(4 sin^2(2t) + 9sin^2(3t))` .
Voer deze formule in op de GR en bepaal het maximum.
Dit geeft `t ~~ 0,56 vv t ~~ 2,58` .
Hieruit volgen de punten `(0,4; text(-)0,1)` en `(0,4; 0,1)` .

Opgave 5

De figuur bestaat uit twee driehoeken en twee cirkels, achtereenvolgens gelabeled als 1, 2, 3 en 4.

De oppervlaktes zijn: `A_1 = 1/2*2*4 = 4` , `A_2 = 1/2*3*5 = 7 1/2` , `A_3 = pi*1^2 = pi` en `A_4 = pi*(1 1/2)^2 = 2 1/4pi` .

De totale oppervlakte is `11 1/2 + 3 1/4pi` .

Het zwaartepunt van driehoek 1 is `(1 1/3, 1 1/3)` .
Het zwaartepunt van driehoek 2 is `(3, 3 1/3)` .
De zwaartepunten van de cirkels 3 en 4 zijn achtereenvolgens `(1, text(-)1)` en `(text(-)1 1/2, 0)` .
De vector naar het zwaartepunt `Z` van de gehele figuur is:
`vec(OZ) = 4/(11 1/2 + 3 1/4 pi) vec(v_1) + (7 1/2)/(11 1/2 + 3 1/4 pi) vec(v_2) + pi/(11 1/2 + 3 1/4pi) vec(v_3) + (2 1/4pi)/(11 1/2 + 3 1/4 pi)vec(v_4)`
`~~ 0,184((1 1/3),(1 1/3)) + 0,345((3),(3 1/3)) + 0,145((1),(text(-)1)) + 0,470((text(-)1 1/2),(0)) ~~ (({:0,721:}),({:1,252:}))`
Dus `Z = (0,721; 1,252)` .

Opgave 6
a

`P(x, 2x - 1 1/2)` op `l` en `|vec(AP)| = sqrt((x + 1)^2 + (2x - 6 1/2)^2)` minimaliseren.
Dit geeft `text(d)(A, l) ~~ 3,80` .

Maar je kunt ook gewoon een loodlijn op `l` opstellen door `A` opstellen en het snijpunt berekenen, etc.

b

Omdat lijn `m` evenwijdig is met lijn `l` is `4x - 2y = c` een vergelijking voor `m` .

Neem een punt op lijn `l` , bijvoorbeeld `B(3/4, 0)` en druk de afstand van `B` tot `m` uit in `c` .

Omdat die afstand is gegeven kun je `c` berekenen: `c = 3 + 8sqrt(5)` .

Dus `m: 4x - 2y = 3 + 8sqrt(5)` .

Opgave 7
a

Breng een assenstelsel aan door het punt `M` . Verdeel de vlieger in twee driehoeken. Er geldt voor driehoek 1 en 2:

  • de coördinaten van de zwaartepunten zijn:
    `Z_(1) = (0, 1/3 a)`
    `Z_(2) = (0, text(-)1/3 c)`

  • de oppervlaktes zijn:
    `A_1 = ab`
    `A_2 = bc`

De oppervlakte van de vlieger is `A_t = A_1 + A_2 = ab + bc` .
De vector naar het zwaartepunt `Z` van de vlieger vind je met:
`vec(MZ) = (ab)/(ab + bc) vec(MZ_(p1)) + (bc)/(ab + bc)vec(MZ_(p2)) = (ab)/(ab + bc)((0),(1/3 a)) + (bc)/(ab + bc)((0),(text(-)1/3 c)) = ((0),((a^2b - bc^2)/(3ab + 3bc)))`
Hieruit volgt:
`|MZ| = |(a^2b - bc^2)/(3ab + 3bc)|`

b

Het zwaartepunt `Z` ligt op dezelfde lijn als punt `B` en punt `D` . Een vectorvoorstelling van deze diagonaal is:
`vec(ZB) = ((x),(y)) = ((3),(2)) + t((3),(1))`
De andere diagonaal staat hier loodrecht op en gaat door het punt `A` . Een vergelijking van deze diagonaal is daarmee `3x + y = 14` .
Voor het snijpunt `M` van deze diagonalen geldt: `3(3 + 3t) + 2 + t = 14` en dus `t = 0,3` , zodat `M(3,9; 2,3)` .

`vec(AM) = ((x),(y)) = ((3),(5))+t((0,9),(text(-)2,7))`
`|AC| = 2|AM|` en `t = 2` geeft de coördinaten `C(4,8, text(-)0,4)` .
Er geldt `|AM| = sqrt((0,9)^2+(2,7)^2) = 0,9sqrt(10)` en hieruit volgt `a = 0,9sqrt(10)` , `|BM| = sqrt((2,1)^2 + (0,7)^2) = 0,7sqrt(10)` .
Dit geeft `b = 0,7sqrt(10)` en `|MZ_p| = sqrt((text(-)0,9)^2+(text(-)0,3)^2) = 0,3sqrt(10)` .
Hieruit volgt:

`(a^2b - bc^2)/(3ab + 3bc)` `=` `text(-)0,3sqrt(10)`
`(5,67sqrt(10) - 0,7sqrt(10)c^2)/(18,9 + 2,1sqrt(10)c)` `=` `text(-)0,3sqrt(10)`
`5,67sqrt(10) - 0,7sqrt(10)c^2` `=` `text(-)5,67sqrt(10) - 6,3c`
`text(-)0,7sqrt(10)c^2 + 6,3c + 11,34sqrt(10)` `=` `0`

Met de abc-formule vind je vervolgens `c = text(-)0,9sqrt(10) vv c = 1,8sqrt(10)` .

Omdat `c gt 0` is `c = 1,8sqrt(10)` en `|MD| = 1,8sqrt(10)` .
Met een vectorvoorstelling van lijn `MZ` vind je de coördinaten van punt `D` .
`vec(MZ) = ((x),(y)) = ((3),(2))+t(({:text(-)0,9:}),({:text(-)0,3:}))`
`|MD| = 6*|MZ|` en `t = 6` geeft de coördinaten `D(text(-)2,4; 0,2)` .

Opgave 8
a

Evenwijdig met de `x` -as betekent `y'(t) = 0 ^^ x'(t) != 0` :
`y'(t) = 4cos(2t) = 0` geeft `t = 1/4 pi + 1/2 pi*k` , ofwel `t = 1/4pi` , `t = 3/4pi` , `t = 1 1/4pi` en `t = 1 3/4pi` .
`x'(t) = 2cos(t) - 4sin(2t) != 0` klopt op al deze tijdstippen. Dit geeft de punten:
`(sqrt(2), 2)` ; `(sqrt(2), text(-)2)` ; `(text(-)sqrt(2), 2)` en `(text(-)sqrt(2), text(-)2)` .
Evenwijdig met de `y` -as betekent `x'(t) = 0 ^^ y'(t) != 0` :
`x'(t) = 2cos(t) - 4sin(2t) = 2cos(t) - 8cos(t)sin(t) = 2cos(t)(1 - 4sin(t)) = 0` .

Dit geeft `cos(t) = 0 vv sin(t) = 1/4` , ofwel `t = 1/2 pi + k*pi vv t ~~ 0,25 + k*2pi vv t ~~ 2,89 + k*2pi` . `y'(t) != 0` klopt voor al deze tijdstippen. De mogelijke waarden voor `t` zijn `t = 1/2 pi` ; `t = 1 1/2 pi` ; `t ~~ 0,25` en `t ~~ 2,89` . Dit geeft de punten:
`(0, 0)` ; `(text(-)4, 0)` ; `(2,3; 1,0)` en `(2,3; text(-)1,0)` .

b

Zie figuur, venster `[text(-)4, 3]xx[text(-)2, 2]` .

c

Uit a volgt al dat `k` evenwijdig is aan de `y` -as in de punten `(0, 0)` en `(text(-)4, 0)` , daar zijn de raaklijnen `x = 0` en `x = text(-)4` .
Verder geeft `y(t) = 2sin(2t) = 0` de waarden `t = 1/2 pi*k` , ofwel de waarden `t = 0` en `t = pi` . Het corresponderende snijpunt met de `x` -as is twee keer `(2, 0)` .
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn bepaal je met de snelheidsvector:
`(x'(t), y'(t)) = (2cos(t) - 4sin(2t), 4cos(2t))`
Op `t = 0` is de helling:
`(y'(0))/(x'(0)) = 4/2 = 2`
Op `t = pi` is de helling:
`(y'(pi))/(x'(pi)) = 4/(text(-)2) = text(-)2`
De raaklijnen door `(2, 0)` zijn gespiegeld aan elkaar in de `x` -as. Dit geeft de vergelijkingen:
`y = 2x - 4` en `y = text(-)2x + 4`

d

Los op: `2 sin(2t) = 1/2(2 sin(t) + 2 cos(2t)) + 2` .

Voer in: `y_1 = 2sin(2x)` en `y_2 = sin(x) + cos(2x) + 2` .
Venster bijvoorbeeld: `[0, 2pi]xx[text(-)3, 4]` .
Intersect geeft: `t ~~ 3,73` en `t ~~ 4,71` .

e

Een richtingsvector van `l` is: `((1),(1/2))` ofwel `((2),(1))` .

In `t ~~ 3,73` is de raaklijnvector van `k` : `((x'(3,73)),(y'(3,73))) ~~ ((text(-){:5,36:}),({:1,54:}))` .

Inproduct geeft een hoek van `~~42,9^@` .

In `t ~~ 4,71` is de raaklijnvector van `k` : `((x'(4,71)),(y'(4,71))) ~~ ((text(-){:0,02:}),(text(-){:4,00:}))` .

Inproduct geeft een hoek van `~~63,4^@` .

Opgave 9Cycloïde
Cycloïde
a

Laat Q het punt op de x-as recht onder M en t de draaihoek tussen M Q en M P zijn. Dan is (teken een geschikt rechthoekig driehoekje): y P = M Q - cos ( t ) = 1 - cos ( t ) en x P = O M - sin ( t ) = t - sin ( t ) (want O M = boog ( Q P ) ).

b

Los op x ' ( t ) = 0 y ' ( t ) = 0 .

c

Dat zou toch 50% moeten zijn.
Controleer of dit klopt door 1 - cos ( t ) = 0 op te lossen.

Opgave 10De gravitatiewet van Newton
De gravitatiewet van Newton
a

Bepaal eerst de snelheidsvector v = ( x ' ( t ) , y ' ( t ) ) en bereken daar de lengte van.
Bereken vervolgens de versnellingsvector a = ( x ' ( t ) , y ' ( t ) ) en bereken daar de lengte van.

b

`a = (4pi^2 R)/(T^2) = (4pi^2 R^2)/(T^2 R) = ((2pi R)/(T))^2*1/R = (v^2)/R`

c

`F=m*a=m*(4pi^2 R)/(T^2)=m*(4pi^2 R)/(k*R^3)=4pi^2 k * m/(R^2)`

d

4 π 2 k is een willekeurige constante die kan worden geschreven als G M als je veronderstelt dan hij afhankelijk is van M. Dan is G gewoon een andere constante.

Opgave 11Krommen in 3D
Krommen in 3D
a

Van boven gezien krijg je een eenheidscirkel. Vanuit de beide andere richtingen een sinusoïde.

b

Elke omwenteling van de schroeflijn is de diagonaal van de rechthoek die wordt gevormd door een uitgevouwen cilindermantel met een lengte van 2 π en een breedte van 0,2 2 π = 0,4 π .
De lengte van elk omwenteling is dus ( 2 π ) 2 + ( 0,4 π ) 2 = π 4,16 . En de afstand tussen twee punten die recht boven elkaar liggen op twee opeenvolgende omwentelingen is 0,4 π .

c

Die snelheid is altijd hetzelfde, namelijk v = ( - sin ( t ) ) 2 + ( cos ( t ) ) 2 + 0,2 2 = 1,04 .

d

( x , y , z ) = ( 4 sin ( 0,5 t ) , 4 cos ( 0,5 t ) , 1 π t )

e

Recht van boven gezien (vanuit de `z` -richting) zie je de tweedimensionale kromme: `(x(t),y(t)) = (8 sin(t),8 sin(2t))` . Dit is voor `t` op `[0, 2pi]` een Lissajousfiguur in de vorm van een liggende acht. Deze kromme doorloop je in het `Oxy` -vlak.

In de `z` -richting doorloop je tegelijkertijd twee keer een sinusoïde met amplitude `8` en evenwichtsstand `z = 10` .
Is dat een achtbaan of niet...?

Opgave 12Een beweging door (0, 0)
Een beweging door `(0, 0)`
a

x ' ( t ) = -15 sin ( 15 t ) - 2 sin ( t ) en y ' ( t ) = 15 cos ( 15 t ) + 2 cos ( t ) .
Hieruit volgt v = ( x ' ( 0 ) ) 2 + ( y ' ( 0 ) ) 2 = 17 .

b

Gebruik de formules van Simpson.

c

x ( t ) = 0 y ( t ) = 0 geeft 2 cos ( 6 1 2 t ) = 0 en dus t = 1 13 π + k 2 13 π .
Er zijn 13 verschillende tijdstippen op `0 le t le 2pi` .

(bron: examen wiskunde B vwo 2002, eerste tijdvak)

Opgave 13Een driehoek draaiend over een cirkel
Een driehoek draaiend over een cirkel
a

Vul `y=ax` in de cirkelvergelijking in:

`(x-1)^2+(ax)^2`

`=`

`1`

`(a^2+1)x^2-2x`

`=`

`0`

`x((a^2+1)x-2)`

`=`

`0`

`x`

`=`

`0 vv x=2/(a^2+1)`

Dus `x_S = 2/(a^2+1)` en `y_S = (2a)/(a^2+1)` .

`vec(OP) = vec(OS) + vec(SP)`

Omdat `vec(SP)` het beeld van `vec(SO)` is bij een rotatie om `S` over 90° geldt:

`vec(SP) = (((2a)/(a^2+1)),((text(-)2)/(a^2+1)))`

`vec(OP) = ((2/(a^2+1)),((2a)/(a^2+1))) + (((2a)/(a^2+1)),((text(-)2)/(a^2+1))) = (((2a+2)/(a^2+1)),((2a-2)/(a^2+1)))`

Dit betekent dat `x_P = (2a+2)/(a^2+1)` en `y_P = (2a-2)/(a^2+1)` .

b

Een vergelijking van de cirkel is `(x - m_x)^2 + (y - m_y)^2 = r^2` , waarbij `(m_x, m_y)` het middelpunt van de cirkel is en `r` de straal.

De cirkel snijdt de `x` -as voor `a = 1` in `P(2, 0)` en de `y` -as voor `a = text(-)1` in `P(0, text(-)2)` .

De cirkel gaat ook door `O(0, 0)` .

Vul de drie punten in de vergelijking van de cirkel in. Je krijgt dan drie vergelijkingen:

  • `(m_x)^2 + (m_y)^2 = r^2`

  • `(2 - m_x)^2 + (m_y)^2 = r^2`

  • `(m_x)^2 + (2 + m_y)^2 = r^2`

De eerste twee vergelijkingen geeft `m_x = 1` .

De eerste en laatste vergelijking geeft `m_y = text(-)1` .

Dit geeft als vergelijking voor de cirkel `(x-1)^2 + (y+1)^2 = r^2` .

Vul (bijvoorbeeld) `(0, 0)` in op `r^2` te bepalen: `r^2 = 2` .

Vergelijking cirkel: `(x-1)^2 + (y+1)^2 = 2` .

c

Als `P` maximaal is dan ligt `P` op dezelfde hoogte als het middelpunt.
Dit betekent dat: `(2a-2)/(a^2+1) = text(-)1` en `a^2+2a-1 = 0` , zodat `a = text(-)1 + sqrt(2) vv a = text(-)1 - sqrt(2)` .

Vul deze waarden van `a` in `x_P` .
Je krijgt dan `x_p = 1 + sqrt(2)` ( `~~2,41` ) en `x_P = 1 - sqrt(2)` ( `~~text(-)0,41` ).

Omdat het om een maximale waarde gaat moet `a` wel de waarde `text(-)1 + sqrt(2)` hebben.

(bron: pilotexamen vwo B in 2016, eerste tijdvak)

Opgave 14Een W
Een W
a

cos ( π 15 t ) = cos ( 4 π 15 t ) geeft op [ 0 , 15 ] de oplossing t = 0 t = 6 t = 10 t = 12 .
P zit onder de lijn y = x als t tussen 0 en 6 of tussen 10 en 12 inligt. Dat is in totaal 8 seconden.

b

x ( t ) = cos ( π 15 t ) = 0 geeft bijvoorbeeld t = 7,5 .
Het gaat nu alleen om de snelheid in de x-richting en die is op dat moment v = x ' ( 7,5 ) = - π 15 sin ( π 15 7,5 ) = - π 15 m/s.

(bron: examen wiskunde B vwo 2012, eerste tijdvak)

verder | terug