`2^(1/t) = 16 = 2^4` geeft `t = 1/4` en dus de coördinaten `(16, text(-)15/16)` .
`t^2 - 4t = 0` geeft `t = 4` ( `t = 0` vervalt) en dus de coördinaten `(root(4)(2), 0)`
`P(x(t), y(t)) = (text(-)4 + 2sin(pi t), 5 + 2cos(pi t))`
De uitdrukkingen voor `x` en `y` zijn allebei sinusoïden, het is een lissajousfiguur. De periode van `x` is `(2pi)/pi = 2` en die van `y` is `(2pi)/(2pi) = 1` . De periode van `k` is `2` .
Venster: `[text(-)4, 6]xx[text(-)3, 3]` .
De uiterste punten in de
`x`
-richting:
`x(t) = 6`
geeft
`cos(pi t) = 1`
en hieruit volgt
`pi t = k*2pi`
ofwel
`t = 2*k`
.
`x(t) = text(-)4`
geeft
`cos(pi t) = text(-)1`
en hieruit volgt
`pi t = pi + k*2pi`
ofwel
`t = 1 + 2*k`
.
Op
`0 le t le 2`
zijn dit
`t = 0`
,
`t = 1`
en
`t = 2`
. De uiterste punten zijn:
`(x(0), y(0)) = (x(2), y(2)) = (6, 0)`
en
`(x(1), y(1)) = (text(-)4, 0)`
.
De uiterste punten in de
`y`
-richting:
`y(t) = 3`
geeft
`sin(2pi t) = 1`
en hieruit volgt
`2pi t = 1/2 pi + k*2pi`
ofwel
`t = 1/4 + k`
.
`y(t) = text(-)3`
geeft
`sin(2pi t) = text(-)1`
en hieruit volgt
`2pi t = 3/2 pi + k*2pi`
ofwel
`t = 3/4 + k`
.
Op
`0 le t le 2`
zijn dit
`t = 1/4`
,
`t = 3/4`
,
`t = 1 1/4`
en
`t = 1 3/4`
. De uiterste punten zijn:
`(x(1/4), y(1/4)) = (1 + 2 1/2 sqrt(2), 3)`
;
`(x(3/4), y(3/4)) = (1 - 2 1/2 sqrt(2), text(-)3)`
;
`(x(1 1/4), y(1 1/4)) = `
`(1 - 2 1/2 sqrt(2), 3)`
en
`(x(1 3/4), y(1 3/4)) = (1 + 2 1/2 sqrt(2), text(-)3)`
.
De baansnelheid bepaal je met de snelheidsvector:
`vec(v) = ((x'(t)), (y'(t))) = ((text(-)5pi sin(pi t)), (6pi cos(2pi t)))`
.
De baansnelheid op
`t = 1/4`
is:
`v(1/4) = sqrt((x'(1/4))^2 + (y'(1/4))^2) = sqrt(25/2 pi^2) = 5/2 pi sqrt(2)`
De versnellingsvector is `vec(a) = ((x''(t)), (y''(t))) = ((text(-)5pi^2 cos(pi t)), (text(-)12pi^2 sin(2pi t)))` .
De baanversnelling op `t = 1/4` is: `v'(1/4) ~~ 34,9` .
De baansnelheid is `sqrt((text(-)5pi sin(pi t))^2 + (6pi cos(2pi t))^2)` .
GR: `y = sqrt((text(-)5pi sin(pi x))^2 + (6pi cos(2pi x))^2)` .
Je vind een maximale waarde van ongeveer `24,5` .
Punt
`P`
doorloopt de gehele kromme vanaf
`t = 0`
tot
`t = pi`
.
In die tijd zit
`P`
op de
`y`
-as als
`x(t) = cos(2t) = 0`
, dit is als
`t = 1/4 pi vv t = 3/4 pi`
.
Het punt zit
`3/4 pi - 1/4 pi = 1/2 pi`
links van de
`y`
-as en dat is de helft van de tijd die het nodig heeft om de kromme één keer geheel
te doorlopen.
Er moet dan gelden `x'(t)=0 ^^ y'(t)=0` .
`text(-)2sin(2t) = 0 ^^ text(-)3sin(3t) = 0`
geeft
`t = k * pi`
.
Dit levert de punten
`(1, 1)`
en
`(1, text(-)1)`
op.
`|OP| = sqrt((cos(2t))^2 + (cos(3t))^2)`
Voer de formule in op de GR in en bepaal het minimum.
Venster bijvoorbeeld:
`[0, pi] xx [0, 3]`
.
Dit geeft als minimale waarde ongeveer
`0,43`
.
`((x'(t)),(y'(t))) = ((text(-)2sin(2t)),(text(-)3sin(3t)))`
De snelheid is
`v = sqrt(4 sin^2(2t) + 9sin^2(3t))`
.
Voer deze formule in op de GR en bepaal het maximum.
Dit geeft
`t ~~ 0,56 vv t ~~ 2,58`
.
Hieruit volgen de punten
`(0,4; text(-)0,1)`
en
`(0,4; 0,1)`
.
De figuur bestaat uit twee driehoeken en twee cirkels, achtereenvolgens gelabeled als 1, 2, 3 en 4.
De oppervlaktes zijn: `A_1 = 1/2*2*4 = 4` , `A_2 = 1/2*3*5 = 7 1/2` , `A_3 = pi*1^2 = pi` en `A_4 = pi*(1 1/2)^2 = 2 1/4pi` .
De totale oppervlakte is `11 1/2 + 3 1/4pi` .
Het zwaartepunt van driehoek 1 is
`(1 1/3, 1 1/3)`
.
Het zwaartepunt van driehoek 2 is
`(3, 3 1/3)`
.
De zwaartepunten van de cirkels 3 en 4 zijn achtereenvolgens
`(1, text(-)1)`
en
`(text(-)1 1/2, 0)`
.
De vector naar het zwaartepunt
`Z`
van de gehele figuur is:
`vec(OZ) = 4/(11 1/2 + 3 1/4 pi) vec(v_1) + (7 1/2)/(11 1/2 + 3 1/4 pi) vec(v_2) +
pi/(11 1/2 + 3 1/4pi) vec(v_3) + (2 1/4pi)/(11 1/2 + 3 1/4 pi)vec(v_4)`
`~~ 0,184((1 1/3),(1 1/3)) + 0,345((3),(3 1/3)) + 0,145((1),(text(-)1)) + 0,470((text(-)1
1/2),(0)) ~~ (({:0,721:}),({:1,252:}))`
Dus
`Z = (0,721; 1,252)`
.
`P(x, 2x - 1 1/2)`
op
`l`
en
`|vec(AP)| = sqrt((x + 1)^2 + (2x - 6 1/2)^2)`
minimaliseren.
Dit geeft
`text(d)(A, l) ~~ 3,80`
.
Maar je kunt ook gewoon een loodlijn op `l` opstellen door `A` opstellen en het snijpunt berekenen, etc.
Omdat lijn `m` evenwijdig is met lijn `l` is `4x - 2y = c` een vergelijking voor `m` .
Neem een punt op lijn `l` , bijvoorbeeld `B(3/4, 0)` en druk de afstand van `B` tot `m` uit in `c` .
Omdat die afstand is gegeven kun je `c` berekenen: `c = 3 + 8sqrt(5)` .
Dus `m: 4x - 2y = 3 + 8sqrt(5)` .
Breng een assenstelsel aan door het punt `M` . Verdeel de vlieger in twee driehoeken. Er geldt voor driehoek 1 en 2:
de coördinaten van de zwaartepunten zijn:
`Z_(1) = (0, 1/3 a)`
`Z_(2) = (0, text(-)1/3 c)`
de oppervlaktes zijn:
`A_1 = ab`
`A_2 = bc`
De oppervlakte van de vlieger is
`A_t = A_1 + A_2 = ab + bc`
.
De vector naar het zwaartepunt
`Z`
van de vlieger vind je met:
`vec(MZ) = (ab)/(ab + bc) vec(MZ_(p1)) + (bc)/(ab + bc)vec(MZ_(p2)) = (ab)/(ab + bc)((0),(1/3
a)) + (bc)/(ab + bc)((0),(text(-)1/3 c)) = ((0),((a^2b - bc^2)/(3ab + 3bc)))`
Hieruit volgt:
`|MZ| = |(a^2b - bc^2)/(3ab + 3bc)|`
Het zwaartepunt
`Z`
ligt op dezelfde lijn als punt
`B`
en punt
`D`
. Een vectorvoorstelling van deze diagonaal is:
`vec(ZB) = ((x),(y)) = ((3),(2)) + t((3),(1))`
De andere diagonaal staat hier loodrecht op en gaat door het punt
`A`
. Een vergelijking van deze diagonaal is daarmee
`3x + y = 14`
.
Voor het snijpunt
`M`
van deze diagonalen geldt:
`3(3 + 3t) + 2 + t = 14`
en dus
`t = 0,3`
, zodat
`M(3,9; 2,3)`
.
`vec(AM) = ((x),(y)) = ((3),(5))+t((0,9),(text(-)2,7))`
`|AC| = 2|AM|`
en
`t = 2`
geeft de coördinaten
`C(4,8, text(-)0,4)`
.
Er geldt
`|AM| = sqrt((0,9)^2+(2,7)^2) = 0,9sqrt(10)`
en hieruit volgt
`a = 0,9sqrt(10)`
,
`|BM| = sqrt((2,1)^2 + (0,7)^2) = 0,7sqrt(10)`
.
Dit geeft
`b = 0,7sqrt(10)`
en
`|MZ_p| = sqrt((text(-)0,9)^2+(text(-)0,3)^2) = 0,3sqrt(10)`
.
Hieruit volgt:
`(a^2b - bc^2)/(3ab + 3bc)` | `=` | `text(-)0,3sqrt(10)` | |
`(5,67sqrt(10) - 0,7sqrt(10)c^2)/(18,9 + 2,1sqrt(10)c)` | `=` | `text(-)0,3sqrt(10)` | |
`5,67sqrt(10) - 0,7sqrt(10)c^2` | `=` | `text(-)5,67sqrt(10) - 6,3c` | |
`text(-)0,7sqrt(10)c^2 + 6,3c + 11,34sqrt(10)` | `=` | `0` |
Met de abc-formule vind je vervolgens `c = text(-)0,9sqrt(10) vv c = 1,8sqrt(10)` .
Omdat
`c gt 0`
is
`c = 1,8sqrt(10)`
en
`|MD| = 1,8sqrt(10)`
.
Met een vectorvoorstelling van lijn
`MZ`
vind je de coördinaten van punt
`D`
.
`vec(MZ) = ((x),(y)) = ((3),(2))+t(({:text(-)0,9:}),({:text(-)0,3:}))`
`|MD| = 6*|MZ|`
en
`t = 6`
geeft de coördinaten
`D(text(-)2,4; 0,2)`
.
Evenwijdig met de
`x`
-as betekent
`y'(t) = 0 ^^ x'(t) != 0`
:
`y'(t) = 4cos(2t) = 0`
geeft
`t = 1/4 pi + 1/2 pi*k`
, ofwel
`t = 1/4pi`
,
`t = 3/4pi`
,
`t = 1 1/4pi`
en
`t = 1 3/4pi`
.
`x'(t) = 2cos(t) - 4sin(2t) != 0`
klopt op al deze tijdstippen. Dit geeft de punten:
`(sqrt(2), 2)`
;
`(sqrt(2), text(-)2)`
;
`(text(-)sqrt(2), 2)`
en
`(text(-)sqrt(2), text(-)2)`
.
Evenwijdig met de
`y`
-as betekent
`x'(t) = 0 ^^ y'(t) != 0`
:
`x'(t) = 2cos(t) - 4sin(2t) = 2cos(t) - 8cos(t)sin(t) = 2cos(t)(1 - 4sin(t)) = 0`
.
Dit geeft
`cos(t) = 0 vv sin(t) = 1/4`
, ofwel
`t = 1/2 pi + k*pi vv t ~~ 0,25 + k*2pi vv t ~~ 2,89 + k*2pi`
.
`y'(t) != 0`
klopt voor al deze tijdstippen. De mogelijke waarden voor
`t`
zijn
`t = 1/2 pi`
;
`t = 1 1/2 pi`
;
`t ~~ 0,25`
en
`t ~~ 2,89`
. Dit geeft de punten:
`(0, 0)`
;
`(text(-)4, 0)`
;
`(2,3; 1,0)`
en
`(2,3; text(-)1,0)`
.
Zie figuur, venster `[text(-)4, 3]xx[text(-)2, 2]` .
Uit a volgt al dat
`k`
evenwijdig is aan de
`y`
-as in de punten
`(0, 0)`
en
`(text(-)4, 0)`
, daar zijn de raaklijnen
`x = 0`
en
`x = text(-)4`
.
Verder geeft
`y(t) = 2sin(2t) = 0`
de waarden
`t = 1/2 pi*k`
, ofwel de waarden
`t = 0`
en
`t = pi`
. Het corresponderende snijpunt met de
`x`
-as is twee keer
`(2, 0)`
.
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn bepaal je met de snelheidsvector:
`(x'(t), y'(t)) = (2cos(t) - 4sin(2t), 4cos(2t))`
Op
`t = 0`
is de helling:
`(y'(0))/(x'(0)) = 4/2 = 2`
Op
`t = pi`
is de helling:
`(y'(pi))/(x'(pi)) = 4/(text(-)2) = text(-)2`
De raaklijnen door
`(2, 0)`
zijn gespiegeld aan elkaar in de
`x`
-as. Dit geeft de vergelijkingen:
`y = 2x - 4`
en
`y = text(-)2x + 4`
Los op: `2 sin(2t) = 1/2(2 sin(t) + 2 cos(2t)) + 2` .
Voer in:
`y_1 = 2sin(2x)`
en
`y_2 = sin(x) + cos(2x) + 2`
.
Venster bijvoorbeeld:
`[0, 2pi]xx[text(-)3, 4]`
.
Intersect geeft:
`t ~~ 3,73`
en
`t ~~ 4,71`
.
Een richtingsvector van `l` is: `((1),(1/2))` ofwel `((2),(1))` .
In `t ~~ 3,73` is de raaklijnvector van `k` : `((x'(3,73)),(y'(3,73))) ~~ ((text(-){:5,36:}),({:1,54:}))` .
Inproduct geeft een hoek van `~~42,9^@` .
In `t ~~ 4,71` is de raaklijnvector van `k` : `((x'(4,71)),(y'(4,71))) ~~ ((text(-){:0,02:}),(text(-){:4,00:}))` .
Inproduct geeft een hoek van `~~63,4^@` .
Laat het punt op de -as recht onder en de draaihoek tussen en zijn. Dan is (teken een geschikt rechthoekig driehoekje): en (want ).
Los op .
Dat zou toch % moeten zijn.
Controleer of dit klopt door op te lossen.
Bepaal eerst de snelheidsvector en bereken daar de lengte van.
Bereken vervolgens de versnellingsvector en bereken daar de lengte van.
`a = (4pi^2 R)/(T^2) = (4pi^2 R^2)/(T^2 R) = ((2pi R)/(T))^2*1/R = (v^2)/R`
`F=m*a=m*(4pi^2 R)/(T^2)=m*(4pi^2 R)/(k*R^3)=4pi^2 k * m/(R^2)`
is een willekeurige constante die kan worden geschreven als als je veronderstelt dan hij afhankelijk is van . Dan is gewoon een andere constante.
Van boven gezien krijg je een eenheidscirkel. Vanuit de beide andere richtingen een sinusoïde.
Elke omwenteling van de schroeflijn is de diagonaal van de rechthoek die wordt gevormd
door een uitgevouwen cilindermantel met een lengte van en een breedte van .
De lengte van elk omwenteling is dus . En de afstand tussen twee punten die recht boven elkaar liggen op twee opeenvolgende
omwentelingen is .
Die snelheid is altijd hetzelfde, namelijk .
Recht van boven gezien (vanuit de `z` -richting) zie je de tweedimensionale kromme: `(x(t),y(t)) = (8 sin(t),8 sin(2t))` . Dit is voor `t` op `[0, 2pi]` een Lissajousfiguur in de vorm van een liggende acht. Deze kromme doorloop je in het `Oxy` -vlak.
In de
`z`
-richting doorloop je tegelijkertijd twee keer een sinusoïde met amplitude
`8`
en evenwichtsstand
`z = 10`
.
Is dat een achtbaan of niet...?
en .
Hieruit volgt .
Gebruik de formules van Simpson.
geeft en dus .
Er zijn verschillende tijdstippen op
`0 le t le 2pi`
.
(bron: examen wiskunde B vwo 2002, eerste tijdvak)
Vul `y=ax` in de cirkelvergelijking in:
`(x-1)^2+(ax)^2` |
`=` |
`1` |
|
`(a^2+1)x^2-2x` |
`=` |
`0` |
|
`x((a^2+1)x-2)` |
`=` |
`0` |
|
`x` |
`=` |
`0 vv x=2/(a^2+1)` |
Dus `x_S = 2/(a^2+1)` en `y_S = (2a)/(a^2+1)` .
`vec(OP) = vec(OS) + vec(SP)`
Omdat `vec(SP)` het beeld van `vec(SO)` is bij een rotatie om `S` over 90° geldt:
`vec(SP) = (((2a)/(a^2+1)),((text(-)2)/(a^2+1)))`
`vec(OP) = ((2/(a^2+1)),((2a)/(a^2+1))) + (((2a)/(a^2+1)),((text(-)2)/(a^2+1))) = (((2a+2)/(a^2+1)),((2a-2)/(a^2+1)))`
Dit betekent dat `x_P = (2a+2)/(a^2+1)` en `y_P = (2a-2)/(a^2+1)` .
Een vergelijking van de cirkel is `(x - m_x)^2 + (y - m_y)^2 = r^2` , waarbij `(m_x, m_y)` het middelpunt van de cirkel is en `r` de straal.
De cirkel snijdt de `x` -as voor `a = 1` in `P(2, 0)` en de `y` -as voor `a = text(-)1` in `P(0, text(-)2)` .
De cirkel gaat ook door `O(0, 0)` .
Vul de drie punten in de vergelijking van de cirkel in. Je krijgt dan drie vergelijkingen:
`(m_x)^2 + (m_y)^2 = r^2`
`(2 - m_x)^2 + (m_y)^2 = r^2`
`(m_x)^2 + (2 + m_y)^2 = r^2`
De eerste twee vergelijkingen geeft `m_x = 1` .
De eerste en laatste vergelijking geeft `m_y = text(-)1` .
Dit geeft als vergelijking voor de cirkel `(x-1)^2 + (y+1)^2 = r^2` .
Vul (bijvoorbeeld) `(0, 0)` in op `r^2` te bepalen: `r^2 = 2` .
Vergelijking cirkel: `(x-1)^2 + (y+1)^2 = 2` .
Als
`P`
maximaal is dan ligt
`P`
op dezelfde hoogte als het middelpunt.
Dit betekent dat:
`(2a-2)/(a^2+1) = text(-)1`
en
`a^2+2a-1 = 0`
, zodat
`a = text(-)1 + sqrt(2) vv a = text(-)1 - sqrt(2)`
.
Vul deze waarden van
`a`
in
`x_P`
.
Je krijgt dan
`x_p = 1 + sqrt(2)`
(
`~~2,41`
) en
`x_P = 1 - sqrt(2)`
(
`~~text(-)0,41`
).
Omdat het om een maximale waarde gaat moet `a` wel de waarde `text(-)1 + sqrt(2)` hebben.
(bron: pilotexamen vwo B in 2016, eerste tijdvak)
geeft op de oplossing .
zit onder de lijn als tussen en of tussen en inligt. Dat is in totaal seconden.
geeft bijvoorbeeld .
Het gaat nu alleen om de snelheid in de -richting en die is op dat moment m/s.
(bron: examen wiskunde B vwo 2012, eerste tijdvak)