Parameterkrommen > Totaalbeeld
12345Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1
a

geeft en dus de coördinaten .

b

geeft ( vervalt) en dus de coördinaten

Opgave 2

Opgave 3
a

De uitdrukkingen voor en zijn allebei sinusoïden, het is een lissajousfiguur. De periode van is en die van is . De periode van is 2.

b

Venster: .

c

De uiterste punten in de -richting:
geeft en hieruit volgt ofwel .
geeft en hieruit volgt ofwel .
Op zijn dit , en . De uiterste punten zijn:
en
De uiterste punten in de -richting:
geeft en hieruit volgt ofwel .
geeft en hieruit volgt ofwel .
Op zijn dit , , en . De uiterste punten zijn:
; ; en

d

De baansnelheid bepaal je met de snelheidsvector: .
De baansnelheid op is:

e

De versnellingsvector is .

De baanversnelling op is: .

f

De baansnelheid is .

GR: .

Je vind een maximale waarde van ongeveer .

Opgave 4
a

Punt doorloopt de gehele kromme vanaf tot .
In die tijd zit op de -as als , dit is als .
Het punt zit links van de -as en dat is de helft van de tijd die het nodig heeft om de kromme één keer geheel te doorlopen.

b

Er moet dan gelden .

geeft .
Dit levert de punten en op.

c


Voer de formule in op de GR in en bepaal het minimum.
Venster bijvoorbeeld: .
Dit geeft als minimale waarde ongeveer .

d


De snelheid is .
Voer deze formule in op de GR en bepaal het maximum.
Dit geeft .
Hieruit volgen de punten en .

Opgave 5

De figuur bestaat uit twee driehoeken en twee cirkels, achtereenvolgens gelabeld als 1, 2, 3 en 4.

De oppervlaktes zijn: , , en .

De totale oppervlakte is .

Het zwaartepunt van driehoek 1 is .
Het zwaartepunt van driehoek 2 is .
De zwaartepunten van de cirkels 3 en 4 zijn achtereenvolgens en .
De vector naar het zwaartepunt van de gehele figuur is:


Dus .

Opgave 6
a

op en minimaliseren.
Dit geeft .

Maar je kunt ook gewoon een loodlijn op opstellen door opstellen en het snijpunt berekenen, etc.

b

Omdat lijn evenwijdig is met lijn is een vergelijking voor .

Neem een punt op lijn , bijvoorbeeld en druk de afstand van tot uit in .

Omdat die afstand is gegeven kun je berekenen: .

Dus .

Opgave 7
a

Breng een assenstelsel aan door het punt . Verdeel de vlieger in twee driehoeken. Er geldt voor driehoek 1 en 2:

  • de coördinaten van de zwaartepunten zijn:

  • de oppervlaktes zijn:

De oppervlakte van de vlieger is .
De vector naar het zwaartepunt van de vlieger vind je met:

Hieruit volgt:

b

Het zwaartepunt ligt op dezelfde lijn als punt en punt . Een vectorvoorstelling van deze diagonaal is:

De andere diagonaal staat hier loodrecht op en gaat door het punt . Een vergelijking van deze diagonaal is daarmee .
Voor het snijpunt van deze diagonalen geldt: en dus , zodat .


en geeft de coördinaten .
Er geldt en hieruit volgt , .
Dit geeft en .
Hieruit volgt:

Met de abc-formule vind je vervolgens .

Omdat is en .
Met een vectorvoorstelling van lijn vind je de coördinaten van punt .

en geeft de coördinaten .

Opgave 8
a

Evenwijdig met de -as betekent :
geeft , ofwel , , en .
houdt stand op al deze tijdstippen. Dit geeft de punten:
; ; en
Evenwijdig met de -as betekent :
.

Dit geeft , ofwel . houdt stand voor al deze tijdstippen. De mogelijke waarden voor zijn ; ; en . Dit geeft de punten:
; ; en

b

Zie figuur, venster .

c

Uit a volgt al dat evenwijdig is aan de -as in de punten en , daar zijn de raaklijnen en .
Verder geeft de waarden , ofwel in onderhavig geval de waarden en . Het corresponderende snijpunt met de -as is twee keer .
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn bepaal je met de snelheidsvector:

Op is de helling:

Op is de helling:

De raaklijnen door zijn gespiegeld aan elkaar in de -as. Dit geeft de vergelijkingen:
en

d

Los op: .

Voer in: en
Venster bijvoorbeeld:
Intersect geeft: en

e

Een richtingsvector van is: ofwel .

In is de raaklijnvector van : .

Inproduct geeft een hoek van .

In is de raaklijnvector van : .

Inproduct geeft een hoek van .

Opgave 9Cycloïde
Cycloïde
a

Laat Q het punt op de x-as recht onder M en t de draaihoek tussen M Q en M P zijn. Dan is (teken een geschikt rechthoekig driehoekje): y P = M Q - cos ( t ) = 1 - cos ( t ) en x P = O M - sin ( t ) = t - sin ( t ) (want O M = boog ( Q P ) ).

b

Los op x ' ( t ) = 0 y ' ( t ) = 0 .

c

Dat zou toch 50% moeten zijn.
Controleer of dit klopt door 1 - cos ( t ) = 0 op te lossen.

Opgave 10De gravitatiewet van Newton
De gravitatiewet van Newton
a

Bepaal eerst de snelheidvector v = ( x ' ( t ) , y ' ( t ) ) en bereken daar de lengte van.
Bereken vervolgens de versnellingsvector a = ( x ' ( t ) , y ' ( t ) ) en bereken daar de lengte van.

b

c

d

4 π 2 k is een willekeurige constante die kan worden geschreven als G M als je veronderstelt dan hij afhankelijk is van M. Dan is G gewoon een andere constante.

Opgave 11Krommen in 3D
Krommen in 3D
a

Van boven gezien krijg je een eenheidscirkel. Vanuit de beide andere richtingen een sinusoïde.

b

Elke omwenteling van de schroeflijn is de diagonaal van de rechthoek die wordt gevormd door een uitgevouwen cilindermantel met een lengte van 2 π en een breedte van 0,2 2 π = 0,4 π .
De lengte van elk omwenteling is dus ( 2 π ) 2 + ( 0,4 π ) 2 = π 4,16 . En de afstand tussen twee punten die recht boven elkaar liggen op twee opeenvolgende omwentelingen is 0,4 π .

c

Die snelheid is altijd hetzelfde, namelijk v = ( - sin ( t ) ) 2 + ( cos ( t ) ) 2 + 0,2 2 = 1,04 .

d

( x , y , z ) = ( 4 sin ( 0,5 t ) , 4 cos ( 0,5 t ) , 1 π t )

e

Recht van boven gezien (vanuit de -richting) zie je de tweedimensionale kromme: . Dit is voor op een Lissajousfiguur in de vorm van een liggende acht. Deze kromme doorloop je in het -vlak.

In de -richting doorloop je tegelijkertijd twee keer een sinusoïde met amplitude en evenwichtsstand .
Is dat een achtbaan of niet...?

Opgave 12Een beweging door (0, 0)
Een beweging door <script xmlns:qti="http://www.imsglobal.org/xsd/imsqti_v2p1" class="asciimath" type="math/asciimath">(0, 0)</script>
a

x ' ( t ) = -15 sin ( 15 t ) - 2 sin ( t ) en y ' ( t ) = 15 cos ( 15 t ) + 2 cos ( t ) .
Hieruit volgt v = ( x ' ( 0 ) ) 2 + ( y ' ( 0 ) ) 2 = 17 .

b

Gebruik de formules van Simpson.

c

x ( t ) = 0 y ( t ) = 0 geeft 2 cos ( 6 1 2 t ) = 0 en dus t = 1 13 π + k 2 13 π .
Er zijn 13 verschillende tijdstippen op .

bron: examen wiskunde B vwo 2002, eerste tijdvak

Opgave 13Een driehoek draaiend over een cirkel
Een driehoek draaiend over een cirkel
a

Vul in de cirkelvergelijking in:

Dus en .

Omdat het beeld van is bij een rotatie om over 90° geldt:

Dit betekent dat en .

b

Een vergelijking van de cirkel is , waarbij het middelpunt van de cirkel is en de straal.

De cirkel snijdt de -as voor in en de -as voor in .

De cirkel gaat ook door .

Vul de drie punten in de vergelijking van de cirkel in. Je krijgt dan drie vergelijkingen:

De eerste twee vergelijkingen geeft .

De eerste en laatste vergelijking geeft .

Dit geeft als vergelijking voor de cirkel .

Vul (bijvoorbeeld) in op te bepalen:

Vergelijking cirkel: .

c

Als maximaal is dan ligt op dezelfde hoogte als het middelpunt.
Dit betekent dat: en , zodat .

Vul deze waarden van in .
Je krijgt dan () en ().

Omdat het om een maximale waarde gaat moet wel de waarde hebben.

bron: pilotexamen vwo B in 2016, eerste tijdvak

Opgave 14Een W
Een W
a

cos ( π 15 t ) = cos ( 4 π 15 t ) geeft op [ 0 , 15 ] de oplossing t = 0 t = 6 t = 10 t = 12 .
P zit onder de lijn y = x als t tussen 0 en 6 of tussen 10 en 12 inligt. Dat is in totaal 8 seconden.

b

x ( t ) = cos ( π 15 t ) = 0 geeft bijvoorbeeld t = 7,5 .
Het gaat nu alleen om de snelheid in de x-richting en die is op dat moment v = x ' ( 7,5 ) = - π 15 sin ( π 15 7,5 ) = - π 15 m/s.

bron: examen wiskunde B vwo 2012, eerste tijdvak

verder | terug